精品解析：湖北省腾云联盟2026届高三上学期开学考试数学试卷

数学试卷 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简两个集合，结合交集的概念即可求解. 【详解】已知集合， 则，则. 故选：B. 2. 已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可. 【详解】由题意可得， 所以在复平面对应点，在第一象限， 故选：A 3. 已知直线，，是三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中的线面关系及面面垂直的性质定理，逐项分析判断即可求解. 【详解】若，，，，则或，故选项A不正确； 若，，则或，故选项B不正确； 若，，，则或，故选项C不正确； 由面面垂直的性质定理可知选项D正确. 故选：D. 4. 已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据 单价/元 40 50 60 70 80 90 /件 45 39 38 35 30 23 由表中数据，求得经验回归方程为，下列说法错误的是（　　） A. 产品的销售量和单价呈负相关 B. 该经验回归直线过点 C. 样本点的残差为 D. 当单价定为100元时，销量估计为21件 【答案】C 【解析】 【分析】由线性回归方程中的回归系数，即可判断选项A；由表中数据求得，，所以该经验回归直线必过样本中心点，即可判断选项B；由，解得，所以.当时，结合残差定义即可判断选项C；令时求出对应的即可判断选项D. 【详解】由线性回归方程中的回归系数，可知产品的销售量和单价呈负相关，故选项A正确； 由表中数据得，，所以该经验回归直线过点，故选项B正确； 由得，解得，所以. 当时，所以样本点的残差为，故选项C错误； 当时，所以当单价定为100元时，销量估计为21件，故选项D正确. 故选：C. 5. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 6. 已知函数，函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（　　） A. 函数图像关于对称 B. 函数在上单调递增 C. 函数图像在内有3个极值点 D. 函数图像关于中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】化简的解析式，利用图象的平移变换求得的解析式，利用余弦函数的性质逐项计算可判断其正误. 【详解】 ， 函数的图像向左平移个单位得函数的图象， 再向上平移1个单位长度得到函数的图象， 对于A，， 所以函数图像不关于对称，故A错误； 对于B，，，由在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B正确； 对于C，当时，， 由或，可得或是函数的极值点， 故函数图像在内有2个极值点， ， 所以函数图像关于中心对称，故D错误. 故选：B. 7. 设的外心为，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先结合圆的性质可得，，由数量积的运算律得，同理，，代入已知化简得，然后由正弦定理得，再利用余弦定理求解即可. 【详解】因为为的外心， 则在上的投影向量为，在上的投影向量为， 所以，， 所以， 同理根据外心的性质和数量积的几何意义得，， 由得， 即，又及正弦定理得， 所以，即，由余弦定理得. 故选：A 8. 已知定义在上的函数，若满足不等式的整数解的个数恰好为2个，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转换为不等式的整数解的个数恰好为2个，利用导数研究函数单调性，进一步列不等式即可求解. 【详解】已知定义在上的函数，若满足不等式的整数解的个数恰好为2个， 所以定义在时，不等式的整数解的个数恰好为2个， 令， 求导得， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增， 而， 所以存在，使得当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为当从0的右边趋于0时，，不满足不等式， 所以只能，解得. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则（　　） A. 最小值为1 B. 最小值为2 C. D. 最小值为4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BD 10. 如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　） A. BC⊥平面ACD B. 存在λ，使得PQ⊥平面ACD C. 存在λ，使得PQ∥平面BCD D. 若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过向量的方法解决空间中线面位置关系问题 【详解】因为平面，平面，所以； 因为，，与相交于点且都在平面上，所以平面； 故选项A正确. 因为直线，，两两垂直，所以，，可构成空间的一组基 进而化简得 若要使得与平面垂直，等价于与平面的法向量共线 即且同时成立，显然不存在这样的 故选项B错误. 要使与平面平行，等价于与平面的法向量垂直 当时，，即与平面平行 故选项C正确. 要使与平面垂直，等价于且 则，可得； ，将代入 得，即 故选项D正确. 11. 四边形内接于半径为的圆，如图所示，其中，，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. 四边形的面积为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】连接、，借助余弦定理可得、，即可得，从而可得A；再借助正弦定理可得B；借助面积公式计算可得C；求出后借助数量积公式计算即可得D. 【详解】对于A，连接，在中，，， ，，解得， ，即，故A正确； 对于B，， 由正弦定理得， 该外接圆的半径为，故B错误； 对于C，， ， 四边形的面积，故C正确； 对于D，连接，，， 解得，， 则，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，判断的组成情况. 【详解】对于，其展开式的通项为：， 易知，中不含项， 故令，则 要得到与，需要与（）中的相乘，即， 所以的系数为8. 故答案为：8 13. 已知等差数列的前项和分别为，且，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，结合性质即可求解. 【详解】由可得， 又， 故， 故答案为： 14. 设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过双曲线上任一点作两条渐近线的垂线，记垂足分别为，有，且当时，的面积为12，过点的直线与双曲线的右支交于两点，设分别为内切圆的圆心，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出双曲线C的方程为，设直线的方程为：，，与双曲线联立，由韦达定理得，设圆的半径分别为，则 ，因为，由三角形的内切圆性质，因此 ，由双曲线的定义得，由，即可求解范围． 【详解】因为点P是双曲线上一点，所以设点，则 , 因为双曲线C的渐近线方程为, 所以点P到两条渐近线的距离分别为:， 而 , 因此由，得， 即， 即，解得或， 所以由得: ， 因为当时，面积为12， 所以，即，因此， 所以双曲线C的方程为， 因为是双曲线C的左、右焦点，所以，， 因为过点的直线与双曲线C的右支交于两点， 所以设直线的方程为：， ， 由，整理得， 依题意得，，得， 因此， 设圆G与三边：分别切于点：， 由于点M在双曲线右支上，因此， 所以点是双曲线C的右顶点，且轴， 同理可得：轴， 因此若圆的半径分别为，则 ， 因为， 所以，及，而， 即，因此 ， 因为双曲线C的右准线为：，离心率， 所以双曲线的定义知： ， 因此 ， 因为，所以， 因此， 所以的取值范围是： 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． （1）小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？ （2）用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布列和期望． 【答案】（1）9 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理，结合组合即可求解， （2）根据超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列，由期望公式即可求解. 【小问1详解】 汤有一种选择；米面类美食三种里选择一种方法数为；其他菜类3种里选择2种方法数为； 不同组合共计（种） 【小问2详解】 的可能取值有0、1、2、3； 分布列为： X 0 1 2 3 所以； 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用即可得，构造等比数列即可求解； （2）由（1）得代入，进而得，利用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 令时，，即得， 时，①，②， 由①-②得，， 又由， 又， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列， 所以； 【小问2详解】 因为． 所以 ． 17. 在平面四边形中，，将沿边翻折至，得到三棱锥． （1）当二面角的大小为时，求三棱锥的体积； （2）当时，求二面角的余弦值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题给条件得出，从而求出底面的面积，结合二面角和已知条件得出点到平面的距离，根据体积公式求解. （2）根据已知条件推出平面，以为原点，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，平面的法向量为，结合图形根据求解. 【小问1详解】 ，则 过点作延长线的垂线，交于点，则, ． 因为二面角等于，所以点到平面的距离为， 所以三棱锥体积为. 【小问2详解】 由于，故，则 又，故平面． 以为原点，建立空间直角坐标系如图： ． 对于平面，，设其法向量为， 则，令得． 对于平面，，设其法向量为 则令得． 结合图形可知该二面角为锐角， ． 18. 已知． （1）若时，求在上的最大值和最小值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数判断出函数在上的单调性，再根据单调性求解即可； （2）当时，因为，不满足题；当时，利用导数求出函数的最大值，再根据求解即可； （3）由（2）知，当时，恒成立，即，令，则有，由时，，最后利用累加法即可得证. 【小问1详解】 因为， 当时，令， 因为函数定义域为，所以； 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以为的一个极大值点，也为最大值点， 所以 而， 又因为， 又因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 若时，因为，不满足题目要求， 若时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以为的一个极大值点，也为最大值点， 所以即可， 令， 因为单调递减，且， 所以； 【小问3详解】 证明：由（2）知，当时，恒成立， 即，等号成立当且仅当时取得． 所以. 令，代入化简即得， 又因为时，． 即得， 累加即得． 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，直线��不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的离心率及所过的点列式求出即可. （2）（i）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出；（ii）法一：利用椭圆对称性，结合（i）的结论求出的斜率，进而求出直线方程，再求出点横坐标即可；法二：由椭圆对称性，结合（i）的信息求出的坐标，再利用斜率坐标公式求出的斜率，进而求出直线方程，再求出点横坐标即可. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）由消去得，设点， 则，而，依题意， 所以. （ii）法一：设，由点关于原点的对称点为点，为中点，得， 直线的斜率，，， 由（i）得，解得，则直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 法二：由（i）得， 设，由点关于原点的对称点为点，得， 由三点共线，得，由三点共线，得， 则， 解得，因此直线方程为：， 由，消去得，而不恒为0，解得， 所以点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知直线，，是三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，则 4. 已知某企业对新品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据 单价/元 40 50 60 70 80 90 /件 45 39 38 35 30 23 由表中数据，求得经验回归方程为，下列说法错误的是（　　） A. 产品的销售量和单价呈负相关 B. 该经验回归直线过点 C. 样本点的残差为 D. 当单价定为100元时，销量估计为21件 5. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 2 6. 已知函数，函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（　　） A. 函数图像关于对称 B. 函数在上单调递增 C. 函数图像在内有3个极值点 D. 函数图像关于中心对称 7. 设的外心为，若，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，若满足不等式的整数解的个数恰好为2个，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则（　　） A. 最小值为1 B. 最小值为2 C. D. 最小值为4 10. 如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，M是AD的中点，P是BM的中点，，则下列结论正确的有（　　） A. BC⊥平面ACD B. 存在λ，使得PQ⊥平面ACD C. 存在λ，使得PQ∥平面BCD D. 若存在λ，使得PQ⊥平面ABD，则 11. 四边形内接于半径为的圆，如图所示，其中，，则下列结论正确的有（　　） A. B. C. 四边形的面积为 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在的展开式中，的系数为___________． 13. 已知等差数列的前项和分别为，且，则___________． 14. 设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过双曲线上任一点作两条渐近线的垂线，记垂足分别为，有，且当时，的面积为12，过点的直线与双曲线的右支交于两点，设分别为内切圆的圆心，则的取值范围是___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 高考结束后，小明一家四口到阳新仙岛湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有1种汤类，3种炒菜类，3种米面类，小明一家要点四道美食（每道不重复）． （1）小明家点一道汤和恰好一种米面类美食的不同组合方式有多少种？ （2）用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布列和期望． 16. 记为数列的前项和，已知． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 17. 在平面四边形中，，将沿边翻折至，得到三棱锥． （1）当二面角的大小为时，求三棱锥的体积； （2）当时，求二面角的余弦值． 18. 已知． （1）若时，求在上的最大值和最小值； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）设，证明：． 19. 已知椭圆，左右焦点分别为，左右顶点为，离心率为，点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于两点，直线��不过原点、椭圆顶点且不垂直于x轴． （i）设直线和的斜率分别为，用表示； （ii）设点关于原点的对称点为点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，其中为坐标原点，证明：点在一条定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $