第8讲轴对称和线段垂直平分线的性质及判定 暑假预习自学课2025-2026学年人教版数学八年级上册

暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第8讲轴对称和线段垂直平分线的性质及判定 ·内容一 图形的轴对称及性质 ·内容二 线段垂直平分线的性质及判定 ·内容三 对称轴的画法 ·内容四 课后作业 图形的轴对称及性质 1. 轴对称图形 定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线 就是它的对称轴. 2. 轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对 称，这条直线叫做对称轴. 3. 轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而 轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两 个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 【考点1、识别图形的轴对称】 例题1.下列图形中，与关于直线成轴对称的是  (    ) A. B. C. D. 变式1.下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是(    ) A. B. C. D. 【考点2、轴对称图形】 例题2.甲骨文是迄今为止我国发现的年代最早的成熟文字系统，下列甲骨文中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 变式2.如图所示，每组中的两个图形成轴对称的是(    ) A. B. C. D. 【考点3、根据轴对称的性质求角的度数】 例题3.如图，四边形纸片关于直线对称，，，那么的度数是(    ) A. B. C. D. 变式3.如图，和关于直线对称，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【考点4、根据轴对称的性质作出判断】 例题4.如图，直线是四边形的对称轴，是直线上的点，则下列判断错误的是  (    ) A. B. C. D. 变式4.如图，与关于直线对称，交于点，则下列结论不一定正确的是  (    ) A. B. C. D. 【考点5、根据轴对称的性质求图形面积】 例题5.如图，所在直线是的对称轴，，是上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是          ． 变式5.如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为           ． 【考点6、根据轴对称的性质求图形周长】 例题6.如图，五边形是轴对称图形，直线是对称轴，已知五边形的周长为，，则四边形的周长为______． 变式6.如图，六边形是轴对称图形，直线是其对称轴，已知五边形的周长是，，则六边形的周长为          ． 【考点7、镜子中的轴对称】 例题7.如图，这是某时刻在镜子中看到时钟的情况，则实际时间是          ． 变式7.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为          ． 【考点8、根据轴对称性质求线段长和角的度数解答题】 例题8.如图，与关于直线对称，点是与直线的交点． 若，求的长； 若，求的度数． 变式8（1）.如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． 求的长度；求的度数．   变式8（2）.如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． 图中点的对应点是点，的对应角是          ； 若，，则的长为          ； 若，，求的度数． 变式8（3）.如图，和关于直线对称，交直线于点． 写出图中相等的线段； 写出图中相等的角； 线段的垂直平分线是          ； 若，，，求五边形的周长． 线段垂直平分线的性质及判定 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的判定： 与一条线段两个端 点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【考点1、线段的垂直平分线的性质】 例题1.如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点．已知，则的长为  (    ) A. B. C. D. 例题2.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接若，，则的长是  (    ) A. B. C. D. 例题3.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，若的周长是，求的长． 变式1.如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，，则的周长是          ． 变式2.如图，是中边的垂直平分线，已知与的周长分别为和，则的长为          ． 变式3.如图，是的边的垂直平分线，垂足为，与交于点，连接若，，则          ． 变式4.如图，在中，垂直平分交于点，交于点，垂直平分交于，交于点，若，则的周长是          ． 变式5.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接，若，，则的长为          ． 变式6.如图，是的垂直平分线，的周长为，且，则的长为           ． 变式7.如图，是的垂直平分线，，的周长为求的长． 变式8.如图，在中，是边的垂直平分线，分别交，于点，，连接若，，，求的面积．   变式9.如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，过点作于点，且为的中点．求证：． 【考点2、线段的垂直平分线的判定】 例题1.如图，直线与线段交于点，点在直线上，且，则下列结论中，正确的有  (    ) ；；；点在线段的垂直平分线上． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 例题2.如图，是内的一点．若，则  (    ) A. 点在的平分线上 B. 点在的平分线上 C. 点在边的垂直平分线上 D. 点在边的垂直平分线上 变式1.如图，，，则(    ) A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 变式2.如图，点在的边上，且，则点在线段  (    ) A. 的垂直平分线上 B. 的垂直平分线上 C. 的垂直平分线上 D. 不能确定 变式3.如图，在四边形中，，边的垂直平分线经过点求证：点在线段的垂直平分线上． 变式4.如图，在中，已知点在上，且求证：点在的垂直平分线上． 变式5.如图，，求证：直线是线段的垂直平分线． 线段垂直平分线的画法 线段的垂直平分线的作法 如图，已知线段AB，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下： 第一步：分别以A和B为圆心，以a的长度为半径作弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线CD． 点P是直线CD上一点，则线段PA = PB． 例题1.如图的尺规作图是作(    ) A. 线段的垂直平分线 B. 一个半径为定值的圆 C. 一条直线的平行线 D. 一个角等于已知角 例题2.尺规作图 已知：． 利用直尺和圆规作出和的垂直平分线，它们交于点； 求证：点在的垂直平分线上． 变式1.如图，点在直线外，以点为圆心，大于点到直线的距离为半径画弧，交直线于点、；保持半径不变，分别以点、为圆心画弧，两弧交于点，则上述尺规作图的依据是(    ) A. 平行四边形的对边互相平行 B. 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C. 矩形的邻边互相垂直 D. 菱形的对角线互相垂直 变式2.如图，是作线段的垂直平分线的尺规作图，其中没有用到依据是(    ) A. 同圆或等圆的半径相等 B. 两点之间线段最短 C. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 D. 两点确定一条直线 变式3.如图，以的顶点为圆心，以为半径作弧交边于点，分别以点、点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于不同于点的另一点，再过点和点作直线则作出的直线是(    ) A. 线段的垂线但不一定平分线段 B. 线段的垂直平分线 C. 的平分线 D. 的中线 变式4.如图，在中，，，用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 变式5.如图，线段的长为，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：分别以点、为圆心，为半径作弧，两弧相交于点、；作直线直线就是线段的垂直平分线．由此可知，的值可能是  (    ) A. B. C. D. 变式6.已知线段，用尺规作它的垂直平分线时，分别以点和点为圆心、以为半径作弧，两弧相交于点和点下列说法正确的是  (    ) A. 无限制 B. C. D. 变式7.如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点；作直线直线就是线段的垂直平分线则的长可能是(    ) A. B. C. D. 变式8.对于嘉淇用尺规进行了如下操作如图： 分别以点和点为圆心，，为半径作弧，两弧相交于点 作直线交边于点， 根据嘉淇的操作方法，可知线段是(    ) A. 的高线 B. 的中线 C. 边的垂直平分线 D. 的角平分线 变式9.小聪在作线段的垂直平分线时，他是这样操作的：如图，分别以和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，则直线即为所求．根据他的作图方法可知四边形一定是 (    ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能确定 变式10.如图，已知． 尺规作图：求作点，使，且不写作法保留作图痕迹 （满分120分） 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，风筝的图案是以直线为对称轴的轴对称图形，下列结论不一定成立的是(    ) A. 垂直平分线段 B. C. 连接、，其交点在上 D. ， 3.如图，已知，，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，连接与相交于点，则的周长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，，，则有  (    ) A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 5.如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点，，连接，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形，其中，，则的度数是          ． 7.如图，在中，，于点，与关于所在直线对称，若，则的度数为          ． 8.小亮用一张长方形纸片折纸飞机，经过折叠得到如图所示关于直线对称的形状，为了使纸飞机更美观，他计划在阴影部分涂上颜色．已知该图形的总面积为，则涂上颜色的总面积为          ． 9.如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为          ． 10.如图，，点在上，，，则点在线段          的垂直平分线上． 三、解答题：本题共7小题，每题10分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.画出下列各图形的对称轴： 12.如图，与关于直线对称，与的交点在直线上，，，，． 求的长度；求的度数；连接，线段与直线有什么关系？ 13.如图，，，点在上求证：． 14.如图，点在上，垂直平分，垂足为，垂直平分，垂足为求证：． 15.如图，在中，点和点分别在，上，连接，过点作交于点，已知，． 求证：垂直平分；．   16.如图，是的角平分线，，分别是和的高．求证：垂直平分． 17.已知：如图，的平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，． 求证：； 若，，求的周长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习自学课新人教版2025-2026学年度第一学期八上数学 第8讲轴对称和线段垂直平分线的性质及判定 ·内容一 图形的轴对称及性质 ·内容二 线段垂直平分线的性质及判定 ·内容三 对称轴的画法 ·内容四 课后作业 图形的轴对称及性质 1. 轴对称图形 定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线 就是它的对称轴. 2. 轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对 称，这条直线叫做对称轴. 3. 轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而 轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两 个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 【考点1、识别图形的轴对称】 例题1.下列图形中，与关于直线成轴对称的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  变式1.下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【考点2、轴对称图形】 例题2.甲骨文是迄今为止我国发现的年代最早的成熟文字系统，下列甲骨文中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式2.如图所示，每组中的两个图形成轴对称的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【考点3、根据轴对称的性质求角的度数】 例题3.如图，四边形纸片关于直线对称，，，那么的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的是轴对称性质有关知识，根据轴对称的性质可知． 【解答】 解：依题意有，， 故， 那么的度数是的倍， 故． 变式3.如图，和关于直线对称，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【考点4、根据轴对称的性质作出判断】 例题4.如图，直线是四边形的对称轴，是直线上的点，则下列判断错误的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【解答】 解：直线是四边形的对称轴， 点与点对应， ，， 点是直线上的点， ，， ，，D正确，B错误， 故选B． 变式4.如图，与关于直线对称，交于点，则下列结论不一定正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意可得：，≌，，故ABC正确，不符合题意． 故选：． 根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【考点5、根据轴对称的性质求图形面积】 例题5.如图，所在直线是的对称轴，，是上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是          ． 【答案】  变式5.如图，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为           ． 【答案】  【考点6、根据轴对称的性质求图形周长】 例题6.如图，五边形是轴对称图形，直线是对称轴，已知五边形的周长为，，则四边形的周长为______． 【答案】  【解析】解：五边形是轴对称图形，直线是对称轴， ，，， 五边形的周长为，， ，即， ， ， 四边形的周长为． 故答案为：． 先根据轴对称的性质及周长的意义求出，即可得出结论． 本题考查轴对称图形和轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上． 变式6.如图，六边形是轴对称图形，直线是其对称轴，已知五边形的周长是，，则六边形的周长为          ． 【答案】  【考点7、镜子中的轴对称】 例题7.如图，这是某时刻在镜子中看到时钟的情况，则实际时间是          ． 【答案】时分  变式7.某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为          ． 【答案】  【考点8、根据轴对称性质求线段长和角的度数解答题】 例题8.如图，与关于直线对称，点是与直线的交点． 若，求的长； 若，求的度数． 【答案】(1)解：∵△AOB与△A′OB′关于直线l对称，且点O为AA′与直线l的交点， ∴直线l垂直平分AA′， ∴；   (2)由题意可知，A，O，A′共线， ∴∠AOB+∠A′OB′=180°-∠BOB′=180°-96°=84°， ∵△AOB与△A′OB′关于直线l对称， ∴．   变式8（1）.如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． 求的长度； 求的度数． 【答案】(1)解：∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，DE=5，CF=1， ∴BC=DE=5，∴BF=BC-CF=5-1=4；   (2)∵△ABC与△ADE关于直线MN对称，∠BAC=75°，∠EAC=60°， ∴∠DAE=∠BAC=75°， ∴∠CAD=∠DAE-∠EAC=75°-60°=15°．   变式8（2）.如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． 图中点的对应点是点，的对应角是          ； 若，，则的长为          ； 若，，求的度数． 【答案】(1)∠D  (2)3  (3)∵∠BAC=108°，∠BAE=30°，∴∠CAE=∠BAC-∠BAE=78°．由轴对称的性质，得∠EAM=∠CAM，∴．  变式8（3）.如图，和关于直线对称，交直线于点． 写出图中相等的线段； 写出图中相等的角； 线段的垂直平分线是          ； 若，，，求五边形的周长． 【答案】(1)AB=AB′，BC=B′C′，AC=AC′，CD=C′D  (2)∠BAC=∠B′AC′，∠B=∠B′，∠ACB=∠AC′B′， ACD=∠AC′D，∠CAD=∠C′AD，∠BAD=∠B′AD， ∠BCD=∠B′C′D，∠ADC=∠ADC′，∠BAC′=∠B′AC (3)直线l  (4)14  线段垂直平分线的性质及判定 线段的垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 线段的垂直平分线的判定： 与一条线段两个端 点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 【考点1、线段的垂直平分线的性质】 例题1.如图，直线是线段的垂直平分线，为直线上一点．已知，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  例题2.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接若，，则的长是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】是的垂直平分线，，． 例题3.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，若的周长是，求的长． 【答案】解：的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、， ，， 的周长是， ．  【解析】利用线段垂直平分线定理得到，，等量代换即可求出所求． 此题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解本题的关键． 变式1.如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，，，则的周长是          ． 【答案】  变式2.如图，是中边的垂直平分线，已知与的周长分别为和，则的长为          ． 【答案】  变式3.如图，是的边的垂直平分线，垂足为，与交于点，连接若，，则          ． 【答案】  变式4.如图，在中，垂直平分交于点，交于点，垂直平分交于，交于点，若，则的周长是          ． 【答案】  变式5.如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，连接，若，，则的长为          ． 【答案】  变式6.如图，是的垂直平分线，的周长为，且，则的长为           ． 【答案】  变式7.如图，是的垂直平分线，，的周长为求的长． 【答案】解：的周长，  ，是的垂直平分线，．  变式8.如图，在中，是边的垂直平分线，分别交，于点，，连接若，，，求的面积． 【答案】解：是边的垂直平分线，， ，， ， ，， ， ．   变式9.如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，连接，过点作于点，且为的中点．求证：． 【答案】证明：，且为的中点， 垂直平分． 是边的垂直平分线， ．   【考点2、线段的垂直平分线的判定】 例题1.如图，直线与线段交于点，点在直线上，且，则下列结论中，正确的有  (    ) ；；；点在线段的垂直平分线上． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质，根据线段垂直平分线的判定定理和性质判断即可． 【解答】 解：直线与线段交于点，点在直线上，且， ，直线不一定垂直于，所以直线不一定垂直平分，不一定等于，错误； ，理由同，错误； ，理由同，错误； ， 点在线段的垂直平分线上，正确． 故选A． 例题2.如图，是内的一点．若，则  (    ) A. 点在的平分线上 B. 点在的平分线上 C. 点在边的垂直平分线上 D. 点在边的垂直平分线上 【答案】D  【解析】解：， 在线段的垂直平分线上， 故选D． 根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由即可得出在线段的垂直平分线上． 本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理，注意：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，角平分线上的点到角的两边的距离相等． 变式1.如图，，，则(    ) A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 【答案】B  【解析】解：，， 是线段的垂直平分线． 故选B． 变式2.如图，点在的边上，且，则点在线段  (    ) A. 的垂直平分线上 B. 的垂直平分线上 C. 的垂直平分线上 D. 不能确定 【答案】B  【解析】，点在的垂直平分线上．故选B． 变式3.如图，在四边形中，，边的垂直平分线经过点求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】证明：如图，连接． 垂直平分， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上．   变式4.如图，在中，已知点在上，且求证：点在的垂直平分线上． 【答案】证明：，， ， 点在的垂直平分线上．  【解析】【分析】首先证明，然后根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上可得结论． 变式5.如图，，求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】证明：， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 直线垂直平分线段．  【解析】根据线段的垂直平分线的定义，分别证明、在线段的垂直平分线上即可解决问题． 本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定方法，属于中考常考题型． 线段垂直平分线的画法 线段的垂直平分线的作法 如图，已知线段AB，用尺规作它的垂直平分线．步骤如下： 第一步：分别以A和B为圆心，以a的长度为半径作弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线CD． 点P是直线CD上一点，则线段PA = PB． 例题1.如图的尺规作图是作(    ) A. 线段的垂直平分线 B. 一个半径为定值的圆 C. 一条直线的平行线 D. 一个角等于已知角 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查的是线段的垂直平分线的基本作图，根据与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可得图中的由两弧相交得到的两个点是这条线段垂直平分线上的点，根据两点确定一条直线可得过这两点的直线是这条线段的垂直平分线． 【解答】 解：设这条线段为，上边两弧的交点为，下面两弧的交点为． ， 点在的垂直平分线上， 同理点在的垂直平分线上， 垂直平分， 是线段的垂直平分线， 故选：． 例题2.尺规作图 已知：． 利用直尺和圆规作出和的垂直平分线，它们交于点； 求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1)解：如图：、即为所求；   (2)连接、、， 是、的垂直平分线的交点， ， 点在的垂直平分线上．   【解析】 根据作线段的垂直平分线的基本作法作图；  根据垂直平分线的性质定理和判定定理证明． 变式1.如图，点在直线外，以点为圆心，大于点到直线的距离为半径画弧，交直线于点、；保持半径不变，分别以点、为圆心画弧，两弧交于点，则上述尺规作图的依据是(    ) A. 平行四边形的对边互相平行 B. 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C. 矩形的邻边互相垂直 D. 菱形的对角线互相垂直 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查作图基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据作图方法可得出垂直直线，进而利用垂直平分线的性质得出答案． 【解答】 解：由题意可得：，则在线段的垂直平分线上，故， 即尺规作图的依据是：垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 故选B． 变式2.如图，是作线段的垂直平分线的尺规作图，其中没有用到依据是(    ) A. 同圆或等圆的半径相等 B. 两点之间线段最短 C. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 D. 两点确定一条直线 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质． 利用同圆或等圆的半径相等得到；利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上可判断点、在线段的垂直平分线上；利用两点确定一条直线得到直线． 【解答】 解：作线段的垂直平分线的尺规作图，其中用到的依据有：同圆或等圆的半径相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线． 故选：． 变式3.如图，以的顶点为圆心，以为半径作弧交边于点，分别以点、点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于不同于点的另一点，再过点和点作直线则作出的直线是(    ) A. 线段的垂线但不一定平分线段 B. 线段的垂直平分线 C. 的平分线 D. 的中线 【答案】A  【解析】解：由题意可知，是线段的垂直平分线，垂直但不一定平分， 故选：． 根据线段垂直平分线的作法解答即可． 此题考查线段垂直平分线，关键是根据线段垂直平分线的作法解答． 变式4.如图，在中，，，用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的画法，勾股定理的有关知识，根据垂直平分线的性质，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】 解：根据垂直平分线的性质可知：， 设， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 解得， ． 变式5.如图，线段的长为，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：分别以点、为圆心，为半径作弧，两弧相交于点、；作直线直线就是线段的垂直平分线．由此可知，的值可能是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  变式6.已知线段，用尺规作它的垂直平分线时，分别以点和点为圆心、以为半径作弧，两弧相交于点和点下列说法正确的是  (    ) A. 无限制 B. C. D. 【答案】B  【解析】由垂直平分线的画法可知， 变式7.如图，已知线段，利用尺规作的垂直平分线，步骤如下：分别以点，为圆心，的长为半径作弧，两弧分别相交于点和点；作直线直线就是线段的垂直平分线则的长可能是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】略 变式8.对于嘉淇用尺规进行了如下操作如图： 分别以点和点为圆心，，为半径作弧，两弧相交于点 作直线交边于点， 根据嘉淇的操作方法，可知线段是(    ) A. 的高线 B. 的中线 C. 边的垂直平分线 D. 的角平分线 【答案】A  【解析】解：由作法得垂直平分， 所以，， 即为边上的高． 故选：． 利用基本作图可判断垂直平分，然后利用三角形高的定义进行判断． 本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线． 变式9.小聪在作线段的垂直平分线时，他是这样操作的：如图，分别以和为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，则直线即为所求．根据他的作图方法可知四边形一定是 (    ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能确定 【答案】B  【解析】解：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，， ， 四边形一定是菱形， 故选B． 变式10.如图，已知． 尺规作图：求作点，使，且不写作法保留作图痕迹 【答案】解：如图，点即为所求； （满分120分） 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据轴对称图形的概念，、、都不是轴对称图形，只有是轴对称图形． 故选D． 2.如图，风筝的图案是以直线为对称轴的轴对称图形，下列结论不一定成立的是(    ) A. 垂直平分线段 B. C. 连接、，其交点在上 D. ， 【答案】D  【解析】【试题解析】 【分析】 本题主要考查了轴对称的性质和轴对称图形的知识点，属于基础题． 根据题意，进行求解即可． 【解答】 解：风筝的图案是以直线为对称轴的轴对称图形， ，被垂直平分， 垂直平分线段，，故A，均正确； 连接、，其交点在上，故C正确； 而，不一定成立， 故选：． 3.如图，已知，，分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，连接与相交于点，则的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质． 利用基本作图得到垂直平分，利用线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长． 【解答】 解：由作法得垂直平分， ， 的周长． 故选A． 4.如图，，，则有  (    ) A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 【答案】A  【解析】，，点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，垂直平分． 5.如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点，，连接，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形，其中，，则的度数是          ． 【答案】  7.如图，在中，，于点，与关于所在直线对称，若，则的度数为          ． 【答案】  8.小亮用一张长方形纸片折纸飞机，经过折叠得到如图所示关于直线对称的形状，为了使纸飞机更美观，他计划在阴影部分涂上颜色．已知该图形的总面积为，则涂上颜色的总面积为          ． 【答案】  9.如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，则的周长为          ． 【答案】  10.如图，，点在上，，，则点在线段          的垂直平分线上． 【答案】  三、解答题：本题共7小题，每题10分，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.画出下列各图形的对称轴： 【答案】解：如图所示．   12.如图，与关于直线对称，与的交点在直线上，，，，． 求的长度； 求的度数； 连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1)解:ABC与ADE关于直线MN对称,ED=4cm,FC=1cm, BC=ED=4cm, ​​​​​​​BF=BC-FC=3cm；  (2)解：ABC与ADE关于直线MN对称,BAC=,EAC=, EAD=BAC=, CAD=EAD-EAC=-=.  (3)解：直线MN垂直平分线段EC.理由如下: △ABC与△ADE关于直线MN对称，E,C两点是对称点， ∴E,C两点关于直线MN对称, 直线MN垂直平分线段EC.  13.如图，，，点在上求证：． 【答案】证明：如图，连接，，点在线段的垂直平分线上．，点在线段的垂直平分线上．是线段的垂直平分线．点在上，．   14.如图，点在上，垂直平分，垂足为，垂直平分，垂足为求证：． 【答案】证明：垂直平分，垂直平分，，．  15.如图，在中，点和点分别在，上，连接，过点作交于点，已知，． 求证： 垂直平分； ． 【答案】(1)证明：∵AB=BC，∴点B在AC的垂直平分线上， ∵AD=CD，∴点D在AC的垂直平分线上， ∴BD垂直平分AC；   (2)∵BD垂直平分线段AC，∴∠CAB=∠ACB，∠DAC=∠ACD， ∵∠ACD=∠E+∠CAE，∠DAC=∠DAF+∠CAF， ∴∠E+∠CAE=∠DAF+∠CAF， ∵AF// BC，∴∠ACB=∠CAF， ∴∠CAF=∠CAE，∴∠DAF=∠E．   16.如图，是的角平分线，，分别是和的高．求证：垂直平分． 【答案】证明：是的角平分线，，分别是和的高，  又，，，点，在的垂直平分线上．垂直平分．  17.已知：如图，的平分线与的垂直平分线交于点，，，垂足分别为，． 求证：； 若，，求的周长． 【答案】(1)证明：连接BD，CD． ∵点D在BC的垂直平分线上，∴BD=CD． ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC， ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°． 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴Rt△BDE Rt△CDF（HL）．∴BE=CF．   (2)19  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$