精品解析：湖南省永州市冷水滩区京华中学2024-2025学年七年级下学期第一次检测数学试题

2025年3月京华中学课后服务练习数学 一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题3分） 1. 化简5a•（2a2﹣ab），结果正确的是（　　） A ﹣10a3﹣5ab B. 10a3﹣5a2b C. ﹣10a2+5a2b D. ﹣10a3+5a2b 2. 若，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 3. 已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式不能用乘法公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A. 1 B. －1 C. － D. 0 6. 如下为小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名：小亮 得分： 填空 （每题 20 分，共 100 分） ①的平方根是； ②的绝对值是 ； ③； ④； ⑤的相反数是 2． A. 100 分 B. 80 分 C. 60 分 D. 40 分 7. 在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 若，则的值为（ ） A. B. 5 C. 15 D. 25 9. 小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（ ） A. 12 B. ﹣12 C. 12或﹣12 D. 36 10. 对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①的值为4；②若，则满足题意的m的整数值有2个，分别是2和3；③对110连续求根整数，第3次后结果为1；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．其中错误的说法有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题 (共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分) 11. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 12. 如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为__________． 13. 已知，则x的值为__________． 14. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为____． 15. 一个长方体的游泳池长为，宽为，高为，则这个游泳池的容积为____________． 16. 若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022末位数字是________． 17. 利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则_________． 18. 观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； … 请猜想的展开式第三项的系数为_________． 三、解答题 (共 8 小题，满分 66 分) 19. 求下列各式中x的值： （1） （2） 20. （1）计算：； （2）计算：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知x+4的平方根是±3，3x+y﹣1的立方根是3，求y2﹣x2的算术平方根． 23. 爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若，且，、都是正整数），则，例如：若，则．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 24. 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数) 的形式，则称这个数为 “和美数”．例如，10 是 “和美数”．理由：因为10= ．再如，(x，y是整数)，所以M也是 “和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“和美数” ；并判断40是否为“和美数” ； （2）若二次三项式(x是整数) 是 “和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论： （4）已知实数x，y满足，求的最小值是____． 25. 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）若，求的值； （4）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 26 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原 两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积 相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”例如，所以 和与和都是“友好数对”． （1）36和84______“友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为__________和____________． 因为它们是友好数对，所以______________________． 并试求，，，的等量关系． （3）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年3月京华中学课后服务练习数学 一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题3分） 1. 化简5a•（2a2﹣ab），结果正确是（　　） A. ﹣10a3﹣5ab B. 10a3﹣5a2b C. ﹣10a2+5a2b D. ﹣10a3+5a2b 【答案】B 【解析】 【分析】按照单项式乘以多项式的运算法则进行运算即可． 【详解】解：5a•（2a2﹣ab）＝10a3﹣5a2b， 故选：B． 【点睛】本题考查单项式乘多项式．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 2. 若，，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据，可得，然后根据，求出值即可．此题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）①，是正整数）；②是正整数）；（2）同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 3. 已知，，，，则这四个数从小到大排列顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小比较以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， 而， ∴． 故选：B． 4. 下列各式不能用乘法公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式和完全平方公式的运用．解题的关键是熟记平方差公式和完全平方公式的结构特征．根据平方差公式、完全平方公式判断求解即可． 【详解】解：A．，利用平方差公式，故A不符合题意； B．，利用平方差公式，故B不符合题意； C．，利用完全平方公式，故C不符合题意； D．，不能利用乘法公式，故D符合题意； 故选：D． 5. 已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A. 1 B. －1 C. － D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，根据整式不含x3项，可得三次项的系数为零． 【详解】（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）=-10x+6x2-2mx3+2nx4， 由（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）的结果中不含x3项，得-2m=0， 解得m=0， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 6. 如下为小亮的答卷，他的得分应是（ ） 姓名：小亮 得分： 填空 （每题 20 分，共 100 分） ①的平方根是； ②的绝对值是 ； ③； ④； ⑤的相反数是 2． A. 100 分 B. 80 分 C. 60 分 D. 40 分 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根，立方根，相反数，绝对值的定义，掌握相关定义是解题的关键．根据算术平方根及平方根的定义，立方根的定义，相反数，绝对值的定义分别计算各题，进而可求解 【详解】解：①的平方根是，故错误； ②的绝对值是 ，故正确； ③故正确； ④，故错误． ⑤的相反数是，故错误． （分）， ∴小亮的得分为40分， 故选：D． 7. 在实数，，，3.14，中，无理数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：无理数有：，共2个． 故选：A． 8. 若，则的值为（ ） A. B. 5 C. 15 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了运用非负数的性质和立方根进行求解的能力，先运用非负数的性质求得x，y的值，再代入求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴ 故选：A． 9. 小明在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为4a2■ab+9b2，则中间一项的系数是（ ） A 12 B. ﹣12 C. 12或﹣12 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：运用完全平方公式求出（2a±3b）2对照求解即可． 解：由（2a±3b）2=4a2±12ab+9b2， ∴染黑的部分为±12． 故选C． 考点：完全平方公式． 10. 对于一个正实数m，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为m的根整数，如：，．如果我们对m连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1．现有如下四种说法：①的值为4；②若，则满足题意的m的整数值有2个，分别是2和3；③对110连续求根整数，第3次后结果为1；④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255．其中错误的说法有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据的定义，逐项进行计算即可． 【详解】解：①∵=2，=2， ∴ =2+2=4，因此①正确； ②若，则满足题意的m的整数值有3个，分别是1、2、3，因此②不正确； ③=10→=3→=l， ∴对110连续求根整数，第3次后结果为1，因此③正确； ④∵=15→=3→=l， 而=16→=4→=2→=1， ∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为l的所有正整数中，最大的是255． 因此④正确；综上所述，错误的结论是：②，共1个，故选：A． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，理解的定义是得出正确答案的关键． 二、填空题 (共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分) 11. 比较大小：________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用作差法比较实数的大小；，可判断，即可求解；能根据“若，则．”进行比较大小是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， ， ； 故答案：． 12. 如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为2，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算，线段的和差计算，是解决问题的关键，先由正方形面积为2可知边长为，而后根据线段的和差即得． 【详解】∵正方形面积为2， ∴， ∵点A表示的数为2， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 13. 已知，则x的值为__________． 【答案】0或1或2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据立方根求原数．根据题意可得的立方根是它本身，则或，据此求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是它本身， ∴或， ∴或或， 故答案为：0或1或2． 14. 如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，单项式除以单项式等知识．熟练掌握多项式乘多项式的应用，单项式除以单项式是解题的关键． 由题意知，大长方形的面积为，根据大长方形的面积为A、B、C类卡片面积的和求解作答即可． 【详解】解：由题意知，大长方形的面积为， ∵， ∴需要C类卡片张数为张， 故答案为：． 15. 一个长方体的游泳池长为，宽为，高为，则这个游泳池的容积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了整式的乘法运算的应用，涉及的知识有：平方差公式，熟练掌握法则及公式是解本题的关键．根据长方体的容积长宽高列出关系式，利用平方差公式化简后即可得到结果． 【详解】解：游泳池的容积为 ． 则这个游泳池的容积是． 故答案为： 16. 若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，则A－2022的末位数字是________． 【答案】4 【解析】 【分析】将乘以（2－1），然后用平方差公式计算，再用列举法找出的个位数的规律，推出A的个位数，再代入式子计算即可． 【详解】（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1 ＝（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1 ＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1 ＝（24－1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1 ＝（28－1）（28＋1）(216＋1)＋1 ＝(216-1)(216＋1)＋1 =232-1+1 ＝232； ∵，，，， ，，，； ∴尾数是2，4，8，6，……四个一循环， ∵32÷4=8， ∴232末位数字是6， 即A的末位数字是6，则A－2022的末位数字是4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平方差公式、数字规律等知识点，根据题意凑出平方差公式以及发现尾数是2，4，8，6，……四个一循环是解答本题的关键． 17. 利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 ，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根和被开方数间关系．先根据表格得到规律，再根据规律确定结果． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∴， 故答案为：． 18. 观察下列各式及其展开式： ； ； ； ； … 请猜想的展开式第三项的系数为_________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘多项式，根据各式与展开式系数规律，确定出所求展开式第三项系数即可． 【详解】解：根据题意得：第五个式子系数为1，6，15，20，15，6，1， 第六个式子系数为1，7，21，35，35，21，7，1， 第七个式子系数为1，8，28，56，70，56，28，8，1， 第八个式子系数为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1， 第九个式子系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1， 则的展开式第三项的系数是45， 故答案为：45． 三、解答题 (共 8 小题，满分 66 分) 19. 求下列各式中x的值： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键． （1）移项后，利用平方根的意义解方程即可； （2）移项后用立方根的意义解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ∴， ∴， ∴， ∴ 20. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，实数的运算． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用乘方、算术平方根的性质、绝对值的性质、立方根的性质进行计算，然后再计算加减即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式运算法则进行化简，然后再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 【点睛】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式运算法则，准确计算． 22. 已知x+4的平方根是±3，3x+y﹣1的立方根是3，求y2﹣x2的算术平方根． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据平方根求出x的值，再根据立方根求出y的值，然后代入求值即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：x+4＝9， 解得：x＝5， 3x+y﹣1＝27， 解得y＝13， ∴y2﹣x2＝144， ∵122＝144， ∴y2﹣x2的算术平方根为12． 【点睛】本题考查了立方根与平方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键． 23. 爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若，且，、都是正整数），则，例如：若，则．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值． 【答案】（1）x=5 （2）x=2 【解析】 【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解； （2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解． 【小问1详解】 因为2×4x×32x=236， 所以2×22x×25x=236， 即21+7x=236， 所以1+7x=36， 解得：x=5； 【小问2详解】 因为3x+2+3x+1=108， 所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33， 即3x+1=33， 所以x+1=3， 解得：x=2． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 24. 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．我们定义：一个整数能表示成(a，b是整数) 的形式，则称这个数为 “和美数”．例如，10 是 “和美数”．理由：因为10= ．再如，(x，y是整数)，所以M也是 “和美数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“和美数” ；并判断40是否为“和美数” ； （2）若二次三项式(x是整数) 是 “和美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为 ； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“和美数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论： （4）已知实数x，y满足，求的最小值是____． 【答案】（1）4，是；（2）2；（3）；（4）4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解； （4）根据题意可得即可求解． 【详解】解：（1）∵，，，，，，， ∴小于10的“和美数”有：0或1或2或4或5或8或9（写出一个即可）； ∵， ∴是“和美数” 故答案为：4（答案不唯一）；是； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵，，， ∴要使S为“和美数”， 则； （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴最小值是4， 故答案为：4． 25. 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）若，求的值； （4）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； 【小问2详解】 由（1）可得， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， ， ； 【小问4详解】 设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 26. 阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原 两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积 相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”例如，所以 和与和都是“友好数对”． （1）36和84______“友好数对”．（填“是”或“不是”） （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为__________和____________． 因为它们是友好数对，所以______________________． 并试求，，，的等量关系． （3）若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 【答案】（1）是 （2），，， （3）31和39 【解析】 【分析】（1）计算和，根据定义判断； （2）利用“十位数字个位数字”表达出交换后的两位数，结合友好数对的定义列出等量关系，并化简； （3）根据（2）得，解方程得到，写出两个两位数． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴36和84是友好数对． 【小问2详解】 解：，，， ∵这两个数是友好数对， ∴， 化简得：． 【小问3详解】 解：由（2）得：， 解得：， ∴两个两位数为：31和39． 【点睛】本题考查了新定义，对于数的表示、整式的运算——多项式乘多项式、解一元一次方程，理解新定义列出方程是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$