精品解析：新疆乌鲁木齐市新市区第二十九中学2024-2025学年九年级上学期期末数学试题

乌鲁木齐市第二十九中学教育集团 2024-2025学年第一学期九年级数学学科测试（问卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（共9小题，每题4分，共36分） 1. 下面的图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下事件属于必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 旭日东升 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．设小路宽x米，则根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 9. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有（ ） A. 1个 B. 3个 C. 2个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 11. 党的二十大于2022年10月日在北京胜利召开，某校为学习“二十大精神”开展以“心系二十大”为主题的知识竞赛，竞赛由每班笔试初赛后推选2人参加学校现场面试决赛，我班笔试初赛由3男2女共5个同学获得100分，现从中抽取2人参加学校的现场面试决赛，则恰好抽到一男一女的概率是__________． 12. 二次函数图象的顶点坐标是________． 13. 若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 14. 如图，从直径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形，且点、、在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm． 15. 如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得．，则线段的最小值为______． 二、解答题 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 18. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某市某品牌新能源汽车经销商1至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆． （1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； （2）若该品牌新能源汽车的进价为6.2万元/辆，售价为6.7万元/辆，则该经销商1至3月份共盈利多少万元？ 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标； （2）画出关于原点对称的，并写出的坐标； （3）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标______． 20. 学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类；：好，：中，：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中，______，______，类的圆心角为______． （2）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中类1人，类2人，类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是类学生的概率． 21. 某超市销售一种成本为每千克元的商品，已知这种商品的月销售是（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为． （1）当这种商品的销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？ （2）如果这种商品的销售单价不超过元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本商品每千克的成本月销售量） 22. 如图，在中，为非直径弦，以为边作，边交于点D，且点D是劣弧的中点，是的角平分线． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求阴影部分的面积． 23. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第二十九中学教育集团 2024-2025学年第一学期九年级数学学科测试（问卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（共9小题，每题4分，共36分） 1. 下面的图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 以下事件属于必然事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 大海捞针 D. 旭日东升 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查事件的分类问题，理解必然事件的概念，必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，和不可能事件统称为确定事件，由此即可求解． 【详解】解：根据必然事件的定义，“旭日东升”是每天必然发生的事件， 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，根据配方法进行移项，配方即可得出选项． 【详解】解：， ， 配方得：， ， 故选：A． 4. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即， ∴顶点坐标为， 故选：D． 5. 如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的性质等知识点，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由旋转的性质推出，求出即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是． 故选：C． 6. 如图，点A，B是上两点，连接，交于点C，垂足为点D，优弧⊥一点E，连接，已知，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及圆周角定理，根据垂径定理可得，由圆周角定理可得即可求解． 【详解】∵交于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7. 如图，一矩形草坪的长为25米，宽为12米，在草坪上有两条互相垂直且宽度相等的矩形小路（阴影部分），非阴影部分的面积是230平方米．设小路宽x米，则根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．将两条小路平移到草坪的边上，设小路宽x米，则非阴影部分为一个矩形，其长为米，宽为米，根据“非阴影部分的面积是230平方米”即可列出方程． 【详解】解：设小路宽x米，根据题意，得 故选：B 8. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 9. 如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤；正确的结论有（ ） A. 1个 B. 3个 C. 2个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据二次函数的图象与系数的关系可判断①错误；由点可判断②正确；由对称轴为直线可判断③错误；由时，函数取得最小值，可判断④正确；由②③可求得和的值可判断⑤错误；据此即可求出答案． 【详解】解：①二次函数的图象开口向上，，函数的对称轴在轴右侧，则，而，故，故①错误，不符合题意； ②将点代入函数表达式得：，故②正确，符合题意； ③函数的对称轴为直线，即，故，故③错误，不符合题意； ④当时，函数取得最小值，又，则，即，故④错误，不符合题意； ⑤由②③得：，，则，故，故⑤错误，不符合题意； 综上，②正确． 故选：A． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 10. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 11. 党的二十大于2022年10月日在北京胜利召开，某校为学习“二十大精神”开展以“心系二十大”为主题的知识竞赛，竞赛由每班笔试初赛后推选2人参加学校现场面试决赛，我班笔试初赛由3男2女共5个同学获得100分，现从中抽取2人参加学校的现场面试决赛，则恰好抽到一男一女的概率是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查用树状图法求概率．结合题意，画树状图进行计算，即可得到答案. 【详解】解：画树状图为： 共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12， ∴恰好选中一男一女的概率是， 故答案为：． 12. 二次函数图象的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，化为顶点式进行求解．将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的顶点坐标． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的顶点坐标为， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式，再根据一元二次方程的定义，可得，即可解答． 【详解】解：由题意得， 即， 解得， 根据一元二次方程的定义，可得， 解得， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次根的判别式，熟知根的判别式的符号对应的根的情况是解题的关键． 14. 如图，从直径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形，且点、、在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，由于得到为圆形纸片的直径，则，根据弧长公式计算出扇形的弧的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算． 【详解】解：如下图所示，连结， 设圆锥的底面圆的半径为， 扇形的圆心角为， ，， 为圆形纸片的直径， ， ∵扇形可围成一个圆锥， ， 扇形的弧的长， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式． 15. 如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得．，则线段的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】以的中点O为圆心，为半径画圆，可得所画圆是的外接圆，弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦，可得，连接与圆的交点即为的最短距离，作于点H，可得是的中位线，根据勾股定理求出和的值，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，以的中点O为圆心，为半径画圆， 在矩形中，，， ∵， ∴所画圆是的外接圆， ∵弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦， ∴， 连接与圆的交点即为的最短距离， 作于点H，则， ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题的关键是综合利用以上知识找到点E． 二、解答题 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据配方法求解即可； （2）根据因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ∴ ∴； 【小问2详解】 解： ∴或 ∴． 【点睛】本题考查解一元二次方程．掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍，求a的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2）4 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，因式分解法解方程： （1）求出判别式的符号，判断即可； （2）因式分解法解方程，再根据其中一个根是另一个根的3倍，分两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴或， ∴， ∵方程的根都是整数，且其中一个根是另一个根的3倍， ∴或， 解得或（舍去）， ∴a的值为4． 18. 新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某市某品牌新能源汽车经销商1至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆． （1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； （2）若该品牌新能源汽车的进价为6.2万元/辆，售价为6.7万元/辆，则该经销商1至3月份共盈利多少万元？ 【答案】（1）该品牌新能源汽车月均增长率为 （2）该经销商1至3月份共盈利273万元 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，有理数运算的实际应用，掌握利用一元二次方程解决增长率问题是解题的关键． （1）设新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据3月份销售216辆列方程，再解方程即可得到答案； （2）利用1至3月份的总销量乘以每辆车的盈利，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设新能源汽车销售量的月均增长率为， 根据题意得， 解得：，（不合题意、舍去） 答：该品牌新能源汽车月均增长率为； 【小问2详解】 解：2月份销售新能源汽车（辆）， （万元） 答：该经销商1至3月份共盈利273万元． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的，并写出的坐标； （2）画出关于原点对称的，并写出的坐标； （3）在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标______． 【答案】（1）见解析，的坐标为； （2）见解析，的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作旋转图形，作中心对称图形，轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）作出三点旋转后的对应点，依次连接得到三角形，并写出的坐标； （2）作出关于原点对称的对应点，依次连接得到三角形，并写出的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，求出直线与轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所作，的坐标为； 【小问2详解】 如图，即为所作；的坐标为； 【小问3详解】 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求， 由对称可得D点坐标为， 设直线的解析式为，代入得：， ，解得：， ∴， 令，则，解得， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 20. 学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类；：好，：中，：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中，______，______，类的圆心角为______． （2）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中类1人，类2人，类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请求出全是类学生的概率． 【答案】（1）15，60，54°；（2） 【解析】 【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B的人数求得C类人数，分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比，由360°乘以C类所占比例得C类的圆心角度数； （2）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【详解】解：（1）全班学生总人数为：10÷25%＝40（人）； ∵C类人数为：40－（10＋24）＝6（人）， ∴C类所占百分比为×100%＝15%， C类的圆心角为360°×=54°， B类百分比为×100%＝60%， ∴a＝15，b＝60； 故答案为： 15，60，54°； （2）列表如下： A B B C A （A，B） （A，B） （A，C） B （A，B） （B，B） （B，C） B （A，B） （B，B） （B，C） C （A，C） （B，C） （B，C） 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类学生的有2种结果， ∴全是B类学生的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 某超市销售一种成本为每千克元的商品，已知这种商品的月销售是（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为． （1）当这种商品的销售单价定为多少时，每月可获得最大利润？ （2）如果这种商品的销售单价不超过元/千克，超市想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是多少元？（月投资总成本商品每千克的成本月销售量） 【答案】（1）销售单价定为元时，每月可获得最大利润 （2）月投资总成本最少是元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用．读懂题意，找到等量关系，正确列出函数关系是解题关键． （1）根据利润=（售价进价）销售量求解即可，结合题意即可直接得出自变量的取值范围； （2）根据二次函数的性质求解即可； 【小问1详解】 解：设利润为，则由题意得 ， ， 答：这种商品的销售单价定为元时，每月可获得最大利润； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：，， ， 抛物线开口向下， 时，， ， 当时，， 设成本为元，由题意，得：， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：想要每月通过销售这种商品获得的利润不低于元，那么该超市对这种商品的月投资总成本最少是元； 22. 如图，在中，为非直径弦，以为边作，边交于点D，且点D是劣弧的中点，是的角平分线． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接，，， 点D是劣弧的中点， ， ， ， ， ， 又∵是的角平分线， ， ， 即， 是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，扇形面积公式等； （1）连接，，，由线段垂直平分线判定定理得由等腰三角形的性质得，从而可得，即可求证； （2）由垂径定理得，设，由直角三角形的特征得 ，由勾股定理得，可求出，由即可求解； 掌握切线的判定方法“连半径，证垂直”，割补法求面积是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 在中， ， ， ， ， 设，则有 ， 在中， ， ， 解得：，(舍去)， ， ． 23. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为． （1）求二次函数的解析式； （2）点为该二次函数的图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点，当、、、为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求出点B，C的坐标，再利用待定系数法求解； （2）先求出直线的解析式，作轴于点D，交直线于点E，设点，用含p的二次函数表示出的面积，即可求解； （3）设点Q的坐标为，分点P在第一、二、四象限三种情况，利用平行四边形的性质列方程，即可求解 【小问1详解】 解：中，令，得， 令，则，解得， ，， 将，，代入， 得：，解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为． 如图，作轴于点D，交直线于点E， 设点，则， ， ， 当时，取最大值4， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：设点Q的坐标为，分三种情况， 当点Q在第一象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 同理，当点Q在第四象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 当点Q在第二象限时，， 即， 解得， 点Q的坐标为； 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数的图象和性质，二次函数的最值，平行四边形的性质等，第二问的关键是用二次函数表达出，第三问的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $