精品解析：2025年四川省眉山市东坡区苏洵初级中学中考数学模拟试卷6

苏洵初级中学2025年中考模拟试卷6 一、选择题（共12小题，共48分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 2. 我国的“天问一号”火星探测器成功着陆火星，据测算，地球到火星的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，点在上，，垂足为．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 若一个正多边形的各个内角都是 ，则这个正多边形是（ ） A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形 6. 化简分式的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 某校举办主题为“关爱身心健康，致敬可爱守护者”的演讲比赛，进入决赛的6名选手的成绩（单位：分）分别为：9.0，8.4，9.2，8.5，9.2，9.5，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 9.1，9.2 B. 9.1，9.5 C. 9.0，9.2 D. 8.5，9.5 8. 小丽画出了左图几何体从一个方向看的图形，你认为它是从（ ）看到的 A. 正面 B. 上面 C. 左面 D. 正面或左面 9. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的直径，点在上，点是弧的中点，交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点 O， ， ，点 F 在线段 上从点 A 至点 O 运动，连接，以  为边作等边三角形，点 E 和点 A 分别位于两侧，下列结论：① ；②  ；③  ；④点 E 运动的路程是；其中正确结论的序号为（　　） 如图，在矩形中，对角线，相交于点 O， ， ，点 F 在线段 上从点 A 至点 O 运动，连接，以  为边作等边三角形，点 E 和点 A 分别位于两侧，下列结论：① ；②  ；③  ；④点 E 运 A. ①④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共6小题，共24分） 13. 分解因式：________． 14. 设、是方程的两个根，且，则_____． 15. 当__________时，解关于的方程会产生增根． 16. 如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船、船，船在船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在的东北方向，的北偏东方向有一我国渔政执法船，求此时船与船的距离是______．（结果保留根号） 17. 已知整数浦足下列条件：，，以此类推，则值为______． 18. 在平面直角坐标系中，已知，A（2，0），C（0，﹣1），若P为线段OA上一动点，则CP+AP的最小值为_____． 三、解答题（共8小题） 19. 计算：． 20. 解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有整数解． 21. 为迎接运动会，某校开设了A:篮球，B:建球，C:跳绳，D:健美操四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的同学必须选择而且只能在4中体育活动中选择一种）．将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）． （1）这次调查中，一共查了___________名学生； （2）请补全两幅统计图； （3）若该校共有1500名学生，试估计该校选择跳绳体育运动的学生有___________人． （4）若有3名最喜欢毽球运动的学生，1名最喜欢跳绳运动的学生组队外出参加一次联谊互活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），则两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率___________． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为15，求平移后的直线的函数表达式． 23. 如图，为庆祝2022年北京冬奥会圆满落幕，学校开展了以冬奥为主题的体育活动，计划购买A，B两种钢笔用来奖励表现突出的学生，已知B种单价比A种单价多5元，且用200元购买A种的支数与用300元购买B种的支数相同． （1）求购买A，B两种钢笔的单价各是多少元； （2）若购买A种钢笔的数量是B种钢笔数量的2倍，且资金不超过600元，则购买B种钢笔的数量最多是多少支? 24. 如图，为直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接CD，过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． （1）求证：为的切线； （2）当时，求的长． 25. 四边形是正方形，且，，点E是直线上的一点，连接，以为一边作正方形（C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序），连接，直线与直线交于点H． （1）如图1，当点E在线段上时，探究线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，连接，直接写出的长度； （3）若，则点F到的距离为 ___________ ． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为，点D坐标为，点P为第一象限内抛物线上一点． （1）b的值为___________； （2）如图1，连接，，设与交于点E，若，求点E坐标； （3）如图2，设直线与线段所夹锐角为，若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏洵初级中学2025年中考模拟试卷6 一、选择题（共12小题，共48分） 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，根据只有符号不同的两个数互为相反数直接求解即可． 【详解】解：， ∴的相反数是， 故选：B 2. 我国的“天问一号”火星探测器成功着陆火星，据测算，地球到火星的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法，关键是掌握n的值的确定方法，当原数大于等于10时，n等于原数的整数数位减1． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方运算法则分别判断即可． 【详解】解：Ａ．, 原选项计算错误，故A不符合题意； B. , 原选项计算错误，故B不符合题意； C. , 原选项计算错误，故C不符合题意； D. ，计算正确，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方，熟练掌握这些知识是解题的关键 4. 如图，直线，点在上，，垂足为．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，垂线．由平行线的性质得到，由垂直的定义得到，由三角形外角的性质就求出． 【详解】解：直线， ， ， ， ， ． 故选：D． 5. 若一个正多边形的各个内角都是 ，则这个正多边形是（ ） A. 正七边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正多边形内角与外角的关系（内角 外角 ）先求出外角，再依据多边形外角和恒为 计算边数，也可通过内角和公式验证．本题主要考查正多边形内角和、外角和的性质，熟练掌握“内角与外角互补”及“多边形外角和恒为 ”是解题的关键． 【详解】解：正多边形的每个内角为，则每个外角为． 正多边形的外角和恒为，因此边数 验证内角公式： 与题意一致．故该正多边形是正九边形， 故选C． 6. 化简分式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握完全平方公式、平方差公式及分式的运算法则是解题的关键． 分别利用完全平方公式和平方差公式对前两项的分母分解因式，然后将除法运算转化为乘法运算，约分后再与第三项通分并计算加减，即可得出答案． 【详解】解： ， 故选：． 7. 某校举办主题为“关爱身心健康，致敬可爱守护者”的演讲比赛，进入决赛的6名选手的成绩（单位：分）分别为：9.0，8.4，9.2，8.5，9.2，9.5，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 9.1，9.2 B. 9.1，9.5 C. 9.0，9.2 D. 8.5，9.5 【答案】A 【解析】 【分析】将题目中的数据，按照从小到大排列，即可得到这组数据的众数和中位数． 【详解】解：将6名选手的成绩（单位：分）按照从小到大排列是：8.4，8.5，9.0，9.2，9.2，9.5， 故这组数据的众数是9.2，中位数是（9.0+9.2）÷2=9.1， 故选：A． 【点睛】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，找出相应的众数和中位数． 8. 小丽画出了左图几何体从一个方向看的图形，你认为它是从（ ）看到的 A. 正面 B. 上面 C. 左面 D. 正面或左面 【答案】D 【解析】 【分析】分别描述从正面看，左面看，上面看的图形，即可得到答案． 【详解】解：从正面看可以看到分为上下两层，下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，故正面看符合题意； 从左面看可以看到分为上下两层，下面一层有2个正方形，上面一层左边有1个正方形，故左面看符合题意； 从上面看可以看到分为上下两层，下面一层右边有1个正方形，上面一层有2个正方形，故上面看不符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了小正方体组成的几何体的三视图 ，熟知三视图的定义是解题的关键． 9. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则另外一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据两根之积求解即可． 【详解】解：设方程另外一个根为t， 根据一元二次方程根与系数的关系得， 解得． 故选：C． 10. 如图，是的直径，点在上，点是弧的中点，交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形两锐角互余，对顶角相等，由是的直径得到，进而得到，由点是弧的中点，得到，即可得到，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 11. 已知抛物线：经过平移后得到抛物线：．若抛物线上点P的坐标是，则点P平移后的对应点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据题意求得抛物线向下平移2个单位后得到抛物线，故点P向下平移2个单位得到Q，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线：向下平移2个单位后得到抛物线：， ∴点平移后的对应点Q的坐标是， 故选：C． 12. 如图，在矩形中，对角线，相交于点 O， ， ，点 F 在线段 上从点 A 至点 O 运动，连接，以  为边作等边三角形，点 E 和点 A 分别位于两侧，下列结论：① ；②  ；③  ；④点 E 运动的路程是；其中正确结论的序号为（　　） 如图，在矩形中，对角线，相交于点 O， ， ，点 F 在线段 上从点 A 至点 O 运动，连接，以  为边作等边三角形，点 E 和点 A 分别位于两侧，下列结论：① ；②  ；③  ；④点 E 运 A. ①④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据，，得出为等边三角形，再由为等边三角形，得，即可得出结论①正确； ②如图，连接，利用证明，再证明，即可得出结论②正确； ③通过等量代换即可得出结论③正确； ④如图，延长至，使，连接，通过，，可分析得出点F在线段上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到，从而得出结论④正确． 【详解】解：①∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故结论②正确； ③∵， ∴，即， 故结论③正确； ④如图，延长至，使，连接， ∵，， ∴点F在线段上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∴点E运动的路程是， 故结论④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形性质，等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，点的运动轨迹，锐角三角函数的应用等，熟练掌握全等三角形判定和性质、等边三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 二、填空题（共6小题，共24分） 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式，公式法因式分解是关键． 先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 设、是方程的两个根，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，，再求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 当__________时，解关于的方程会产生增根． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 16. 如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船、船，船在船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在的东北方向，的北偏东方向有一我国渔政执法船，求此时船与船的距离是______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 先过点B作于点D，再利用正弦求得，然后利用正弦求出即可． 【详解】解：过点B作于点D， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 已知整数浦足下列条件：，，以此类推，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，根据前几个数字找出最后数值与顺序数之间的规律是解答本题的关键． 根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值，顺序数为奇数时，其最后的数值，从而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 当为偶数时，，当为奇数时，， ， 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，已知，A（2，0），C（0，﹣1），若P为线段OA上一动点，则CP+AP的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】可以取一点D（0，1），连接AD，作CN⊥AD于点N，PM⊥AD于点M，根据勾股定理可得AD＝3，证明△APM∽△ADO得，PM＝AP．当CP⊥AD时，CP+AP＝CP+PM的值最小，最小值为CN的长． 【详解】如图， 取一点D（0，1），连接AD，作CN⊥AD于点N，PM⊥AD于点M， 在Rt△AOD中， ∵OA＝2，OD＝1， ∴AD＝＝3， ∵∠PAM＝∠DAO，∠AMP＝∠AOD＝90°， ∴△APM∽△ADO， ∴， 即， ∴PM＝AP， ∴PC+AP＝PC+PM， ∴当CP⊥AD时，CP+AP＝CP+PM的值最小，最小值为CN的长． ∵△CND∽△AOD， ∴， 即 ∴CN＝． 所以CP+AP的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查勾股定理，三角形相似的判定及性质，最短路径问题，如何找到AP的等量线段与线段CP相加是解题的关键，由此利用勾股定理、相似三角形做辅助线得到垂线段PM，使问题得解. 三、解答题（共8小题） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用算术平方根、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 20. 解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有整数解． 【答案】， 如图， 整数解有： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 如图， 整数解有：． 21. 为迎接运动会，某校开设了A:篮球，B:建球，C:跳绳，D:健美操四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的同学必须选择而且只能在4中体育活动中选择一种）．将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）． （1）这次调查中，一共查了___________名学生； （2）请补全两幅统计图； （3）若该校共有1500名学生，试估计该校选择跳绳体育运动的学生有___________人． （4）若有3名最喜欢毽球运动的学生，1名最喜欢跳绳运动的学生组队外出参加一次联谊互活动，欲从中选出2人担任组长（不分正副），则两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率___________． 【答案】（1） （2） 补图如下： （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了扇形图与概率的知识，解题时要注意认真审题，理解题意；在用列举法求概率时，一定要注意不重不漏．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数； （2）用整体减去A、C、D类所占的百分比，即可求出B所占的百分比；用总人数乘以C所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形； （3）让全校总人数去乘以C组所占的百分比即可解题 （4）根据题意采用列举法，举出所有的可能，注意要做到不重不漏，再根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：调查的总学生是（名）； 故答案为：． 【小问2详解】 B所占的百分比是， C的人数是：（名）， 【小问3详解】 解：（人） 故答案为：． 【小问4详解】 用，，表示名喜欢毽球运动的学生，B表示名跳绳运动的学生，则从人中选出人的情况有：（，），（，），（，B），（，），（，B），（，B），共计种，选出的人都是最喜欢毽球运动的学生有（，），（，），（，）共计种，则两人均是最喜欢毽球运动的学生的概率． 故答案为：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在点B右侧），已知点A的坐标是，点B的纵坐标是． （1）求反比例函数和直线的表达式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）将直线沿y轴向上平移后的直线与反比例函数在第一象限内交于点C，如果的面积为15，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形的面积． （1）将点代入，求出反比例函数的表达式；可求出B点坐标，再将A，B两点的坐标代入，利用待定系数法求出直线的表达式； （2）找出一次函数落在反比例函数图象下方（含交点）的部分对应的自变量x的取值范围即可； （3）设直线与x轴交于点E，平移后的直线与x轴交于点D，连接，则，依据，即可得出的面积与的面积相等，可求得，即可得出平移后的直线的函数表达式． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点A，点A的坐标是， ∴，即， ∴反比例函数的表达式为， ∵反比例函数的图象过点B，B的纵坐标是， ∴时，， ∴． 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：观察图象得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方（含交点）， ∴的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与x轴交于点E，平移后的直线与x轴交于点D，连接，则， ∵， ∴的面积与的面积相等， ∵的面积为15， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴平移后的直线的函数表达式为． 23. 如图，为庆祝2022年北京冬奥会圆满落幕，学校开展了以冬奥为主题的体育活动，计划购买A，B两种钢笔用来奖励表现突出的学生，已知B种单价比A种单价多5元，且用200元购买A种的支数与用300元购买B种的支数相同． （1）求购买A，B两种钢笔的单价各是多少元； （2）若购买A种钢笔的数量是B种钢笔数量的2倍，且资金不超过600元，则购买B种钢笔的数量最多是多少支? 【答案】（1）购买A种钢笔的单价为10元，B种钢笔的单价为15元 （2）17支 【解析】 【分析】（1）设购买A种钢笔的单价为元，则购买B种钢笔的单价为元，根据“用200元购买A种的支数与用300元购买B种的支数相同”列出分式方程求解即可； （2）设购买B种钢笔m支，则购买A种钢笔支，根据资金不超过600元列出不等式求出最大整数解即可． 【小问1详解】 设购买A种钢笔的单价为元，则购买B种钢笔的单价为元， 由题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解． 则． 即购买A种钢笔的单价为10元，B种钢笔的单价为15元． 【小问2详解】 设购买B种钢笔m支，则购买A种钢笔支． 由题意，得． 解得． ∵为正整数， ∴的最大值为17． 即购买B种钢笔的数量最多是17支． 【点睛】本题考查了分式方程的应用题，理解题意并根据等量关系列分式方程是解题的关键． 24. 如图，为直径，C、D为上不同于A、B的两点，，连接CD，过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． （1）求证：为的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵为的半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】(1) 连接，如图，只要证得，即可得到，再加上，可证得，进而可得为的切线； (2) 连接，只要证得可得，结合求得，然后在中，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接． ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 在中， ∴ 【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 25. 四边形是正方形，且，，点E是直线上的一点，连接，以为一边作正方形（C、E、F、G四个点按照逆时针方向排序），连接，直线与直线交于点H． （1）如图1，当点E在线段上时，探究线段与线段的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，连接，直接写出的长度； （3）若，则点F到的距离为 ___________ ． 【答案】（1） ，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是本题的关键． （1）根据正方形的性质，利用证明，可得，，再利用角度之间的互余关系即可证明结论； （2）同（1）可知，，则，过点C作，连接，进而可知，则平分，则为等腰直角三角形，得，结合正方形的性质，结合勾股定理可得，再根据等面积法求得即可求解； （3）分两种情况：点E在点A左侧或右侧，由正方形的性质证明，过点F作于点N，过点C作于点M，由勾股定理求出的长，即为的长，证明，可得，由勾股定理列出方程，可求的长，即可得点F到的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：同（1）可知，， 则， 如图，过点C作，连接， ∵， ∴， 则平分， ∴， 则为等腰直角三角形， ∴， 在正方形中，， 则， ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 当点E在线段上时，如图，过点F作于点N，过点C作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F到的距离； 当点E在点A右侧时，如图，过点F作于点N，过点C作于点M， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F到的距离， 故答案为：或． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为，点D坐标为，点P为第一象限内抛物线上一点． （1）b的值为___________； （2）如图1，连接，，设与交于点E，若，求点E坐标； （3）如图2，设直线与线段所夹锐角为，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或，或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可． （2）连接，过点E作垂足为H，根据第（1）问中求出的抛物线解析式，可以求出点A、点C的坐标，从而证明，根据全等三角形的性质得出和题中条件，可得，，从而证出，求出的长，设直线的解析式，代入B、C两点坐标，即可求出答案． （3）分两种情况讨论：（1）过点A作，垂足为F，过点E作，垂足为G，根据A、B、C两点坐标可求出，、是等腰直角三角形，从而求出其边长，根据直线的解析式求出E点坐标，从而求出直线的解析式，最后根据点P为抛物线和直线的交点求解即可；（2）过点D作，垂足为H，根据A、B、C两点坐标可证出和是等腰直角三角形，从而求出其边长，根据直线的解析式表示出M点坐标，从而求出直线的解析式，最后根据点P为抛物线和直线的交点求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：连接，过点作，垂足为，如图所示， 由（1）得：抛物线解析式为， ∴当时，， ∴C点坐标为， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，即， 解得：，， ∴ A点坐标为， ∵点D坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ∴， ∴， ∵点C坐标为，点B坐标为， ∴设直线的解析式为， 把B、C两点坐标代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， ∴当时，， ∴E点坐标为； 【小问3详解】 ①解：过点A作，垂足为F，过点E作，垂足为G，如图所示， 由第（2）问得：，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴是等腰直角三角形且， ∴， ∴也是等腰直角三角形，且， ∴设， 由勾股定理得：， 解得：， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 由第（2）问得：直线的解析式为， ∴设E点坐标为， ∵D点坐标为， ∴， 解得：， ∴E点坐标为， 设直线的解析式为， 把点D、点E坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P为抛物线和直线的交点， ∴， 解得：，， 将、代入得： ，， ∴点P坐标为或 ②解：过点D作，垂足为H，如图所示， 由第（2）问得：，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得直线的解析式为， 设点M的坐标为， ∴， 解得：， ∴M点坐标为， 设直线的解析式为， 把D点、M点坐标代入得：， 解得： ， ∴直线的解析式为， ∵点P为抛物线和直线的交点， ∴， 解得：，， 把、代入直线的解析式得：，， ∴点P坐标为或， 综上所述：点P坐标为或、或 【点睛】本题考查了抛物线的综合题，难度较大，涉及到等腰三角形的判定和性质、三角形全等的判定和性质，灵活运用所学知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $