精品解析：2025年江西省宜春市樟树市樟树第二中学中考模拟数学试题

学考总复习·试题猜想·九年级 数学模拟试题（四） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 在，3，，中，最大的是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 中国队在2024年巴黎奥运会上的成绩非常出色，金牌数与美国队并列第一，创造了多项历史纪录．下列图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，已知，平分，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：____________． 8. 函数y=中自变量x的取值范围是________． 9. 2023年前三季度江西省的地区生产总值为24149.8亿元，按不变价格计算，同比增长．其中南昌市实现地区生产总值5398.51亿元，总量继续领跑．5398.51亿用科学记数法表示为_______． 10. 二次函数的顶点坐标为________． 11. 一项工程，若甲、乙两个工程队合作8天可以完成，甲工程队单独做24天可以完成，则乙工程队单独做需要______天可以完成． 12. 已知为的半径，是的弦，且，，点P在上，若点P到直线的距离为2，则的度数为_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程： 14. 解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学： 两边同时除以， 得， 则． 乙同学： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． （1）解一元二次方程的基本思想是____________（填“降次”或“消元”）； （2）请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 15. 南昌大学，拥有前湖校区与青山湖校区等多个教学区域，校方后勤部精心安排了A，B，C三条专用车线，服务于教职工的日常通勤需求，确保往返于工作地点与生活社区之间的便捷通行．现有甲、乙两名教师各自随机选择搭乘一辆校车返程回家． （1）“甲、乙两名老师同坐A车”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名教师刚好搭乘同一辆校车的概率是多少？ 16. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）． （1）在图1中找一个格点E，使BE平分； （2）在图2中作以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形是中心对称图形． 17. 为了鼓励学生培养关爱社会、乐于奉献的精神，学校组织了一场慈善义卖活动，旨在将所筹款项捐给本地孤儿院的孩子们．九年级二班的学生们决定通过售卖手工艺品来贡献自己的力量．经过集体讨论，他们选择了两种特别的手工艺品——手工编织的围巾和手工制作的扇子来进行义卖．以下是他们的采购情况总结：第一次采购时，学生们购买了毛线和精品竹条，总共花费了210元；第二次采购，学生们购买了毛线和精品竹条，这次的总费用达到了400元． （1）毛线的单价和精品竹条的单价各是多少元？ （2）销售完前两次购进的手工艺品后，同学们决定开展第三次义卖活动，购进毛线和精品竹条一共，且投入的资金不超过1300元，最少需要购进精品竹条多少kg？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，与y轴相交于点D，已知点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）连接，求的面积． 19. 如图，在中，，点E在上，以为直径的半圆O交于点D，点F在上，且． （1）求证：是半圆O的切线； （2）若，，，求半圆O的半径长． 20. 滕王阁（图1）位于江西省南昌市东湖区沿江路，是南昌市的地标性建筑，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名于世．滕王阁与湖南岳阳楼、湖北黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一，世称“西江第一楼”．如图2，在被誉为“西江第一楼”的滕王阁前，有一段风景优美的斜坡，斜坡AB的坡度，全长恰好为12米．为了计算滕王阁的高度，游客们使用高科技测角设备，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D处的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为． （1）求斜坡的高度； （2）求滕王阁的高度． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了深入探索青少年体质发展与体育教育成效，某市教委开展了一项名为“阳光青春·活力校园”的专项调研项目．该项目旨在通过科学测评，监测并提升全市中学生体育健康水平．作为项目的一部分，研究人员从城区多所学校的九年级学生中随机选取了一批样本对象，对其进行了全面而系统的体能测试．测试内容覆盖了耐力跑，跳远、跳绳等多项运动技能，依据学生的表现划分为四个能力层级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了_______名学生； （2）求扇形统计图B级所在的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； （3）若城区九年级学生有27000人，如果他们全部参加这次体能测试，请估计优秀和不及格的人数． 22. 秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一． 某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离泉眼中心，如图2，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求水管的长度， （2）若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与之间的水平距离， ②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学考总复习·试题猜想·九年级 数学模拟试题（四） （满分：120分 时长：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 在，3，，中，最大的是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴在这四个数，3，，中，最大的实数是． 故选：C． 2. 中国队在2024年巴黎奥运会上的成绩非常出色，金牌数与美国队并列第一，创造了多项历史纪录．下列图案是2024年巴黎奥运会部分运动项目的示意图，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用中心对称图形的识别方法：在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与自身重合，那么这两个图形就称为关于这个点成中心对称，这个点被称为对称中心，分别判断即可． 【详解】解：A中、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、平方差公式、合并同类项、同底数幂的除法，根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；平方差公式；合并同类项法则；同底数幂相除，底数不变，指数相减；对各选项分析判断后得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，一元二次方程的定义，根据题意得出关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 5. 如图，已知，平分，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，邻补角的性质，角平分线的定义，由可得，由邻补角的性质得，由角平分线的性质得，进而由平行线的性质即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据a、b的正负不同，则函数与函数的图象所在的象限也不同，针对a、b进行分类讨论，从而可以选出正确选项． 【详解】解：若，，则经过一、二、三象限，开口向上，对称轴为，在y轴右侧，故A正确、C错误； 若，，则经过二、三、四象限，开口向下，对称轴为，在y轴右侧，故B、D错误； 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，观察多项式，两项均含有公因式，直接提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 函数y=中自变量x的取值范围是________． 【答案】x≥﹣2且x≠2 【解析】 【分析】根据函数的解析式的自变量的取值范围就是使函数的解析式有意义来列出式子，求出其值就可以了． 【详解】解：由题意，得： 解得：x≥﹣2且x≠2． 故答案为x≥﹣2且x≠2． 【点睛】本题是一道有关函数的解析式的题目，考查了函数自变量的取值范围，要求学生理解自变量的取值范围就是使其解析式有意义． 9. 2023年前三季度江西省的地区生产总值为24149.8亿元，按不变价格计算，同比增长．其中南昌市实现地区生产总值5398.51亿元，总量继续领跑．5398.51亿用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：5398.51亿用科学记数法表示为， 故答案为：． 10. 二次函数的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，牢记“二次函数的顶点坐标是”是解题的关键． 利用二次函数的性质，可求出二次函数的顶点坐标． 【详解】解：，，， ，， 二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 11. 一项工程，若甲、乙两个工程队合作8天可以完成，甲工程队单独做24天可以完成，则乙工程队单独做需要______天可以完成． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用分式方程解实际工程问题，解题的关键是找准等量关系． 设乙工程队单独做需要天完成，按照两队合作关系列出方程，求解即可． 【详解】解：设乙工程队单独做需要天完成，根据题意得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 故答案为：12． 12. 已知为的半径，是的弦，且，，点P在上，若点P到直线的距离为2，则的度数为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】作于H，由垂径定理得，根据三角函数的定义可得，．由点P在上，且点P到直线的距离为2，可知满足条件的P点有3个．延长交于，过点O作直线交于，．根据等腰三角形的性质分别求解即可解决问题． 本题考查圆垂径定理、等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作于H， 则， ∵， ∴， ∴． ∵点P在上，且点P到直线的距离为2， ∴满足条件的P点有3个． 延长交于，此时， 过点O作直线交于，，此时，到直线的距离为2． 连接，，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ∴． 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解分式方程、实数的运算、零指数幂，熟练掌握实数的运算法则、分式方程的解法是解答本题的关键． （1）根据实数的运算法则计算即可． （2）将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可． 【详解】解：（1）原式． （2）方程两边都乘以，得， 解得． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 14. 解方程，下面是甲、乙两同学的部分运算过程． 甲同学： 两边同时除以， 得， 则． 乙同学： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． （1）解一元二次方程的基本思想是____________（填“降次”或“消元”）； （2）请判断他们的解法是否正确？若其中有一位同学正确，请写出一种异于该同学解法的正确解答过程；若都错误，请写出你认为正确的解答过程． 【答案】（1）降次 （2） 解：都错误． 正确的解答过程如下： 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是解题过程中注意符号的选择． （1）根据解一元二次方程的思想是降次直接选即可得到答案； （2）根据一元二次方程的解法直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：解一元二次方程的基本思想是降次， 故答案为：降次； 【小问2详解】 略 15. 南昌大学，拥有前湖校区与青山湖校区等多个教学区域，校方后勤部精心安排了A，B，C三条专用车线，服务于教职工的日常通勤需求，确保往返于工作地点与生活社区之间的便捷通行．现有甲、乙两名教师各自随机选择搭乘一辆校车返程回家． （1）“甲、乙两名老师同坐A车”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两名教师刚好搭乘同一辆校车的概率是多少？ 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（1）甲、乙两名老师可能同时坐A车，也可能不同时坐A车，因此“甲、乙两名老师同坐A车”是随机事件； （2）列表格表示出甲、乙两名老师搭乘校车的所有可能结果，找出甲、乙两名教师刚好搭乘同一辆校车的结果，再根据概率的计算公式计算即可． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握用列表法或画树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解： “甲、乙两名老师同坐A车”是随机事件； 故答案为：随机． 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 乙 A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中甲、乙两名教师刚好搭乘同一辆校车的结果有3种， ∴P（甲，乙两名教师刚好搭乘同一辆校车）． 16. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）． （1）在图1中找一个格点E，使BE平分； （2）在图2中作以A，B，C，D为顶点的四边形，使该四边形是中心对称图形． 【答案】（1） 如图，格点，即为所求． （2） 如图2，四边形和四边形即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、中心对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由图可得为等腰三角形，取的中点，作射线，则射线所经过的格点均满足题意． （2）画以，，，为顶点的平行四边形即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，， ， 为等腰三角形． 由矩形的性质，对角线互相平分，得点是的中点， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵，， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形和四边形都是中心对称图形． 17. 为了鼓励学生培养关爱社会、乐于奉献的精神，学校组织了一场慈善义卖活动，旨在将所筹款项捐给本地孤儿院的孩子们．九年级二班的学生们决定通过售卖手工艺品来贡献自己的力量．经过集体讨论，他们选择了两种特别的手工艺品——手工编织的围巾和手工制作的扇子来进行义卖．以下是他们的采购情况总结：第一次采购时，学生们购买了毛线和精品竹条，总共花费了210元；第二次采购，学生们购买了毛线和精品竹条，这次的总费用达到了400元． （1）毛线的单价和精品竹条的单价各是多少元？ （2）销售完前两次购进的手工艺品后，同学们决定开展第三次义卖活动，购进毛线和精品竹条一共，且投入的资金不超过1300元，最少需要购进精品竹条多少kg？ 【答案】（1）毛线的单价为20元，精品竹条的单价为3元 （2）最少需要购进精品竹条 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列方程和不等式是关键． （1）设毛线的单价为x元，精品竹条的单价为y元，根据两次购买的情况列出方程组并解方程组即可； （2）设第三次购进精品竹条，则购进毛线，根据投入的资金不超过1300元列不等式并解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设毛线的单价为x元，精品竹条的单价为y元， 由题意得， 解得， 答：毛线的单价为20元，精品竹条的单价为3元． 【小问2详解】 解：设第三次购进精品竹条，则购进毛线， 由题意得：， 解得． 答：最少需要购进精品竹条． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，直线与双曲线相交于A，B两点，与x轴相交于点C，与y轴相交于点D，已知点A的坐标为，点B的坐标为． （1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为； 一次函数的解析式为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，求三角形的面积等内容，解题的关键是掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求两个函数的解析式即可； （2）利用间接求面积法，即，来求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：点A的坐标为，点B的坐标为， 代入得，， 解得 反比例函数的解析式为； ， 点． ， 点， 将，代入得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 点， ， ． 19. 如图，在中，，点E在上，以为直径的半圆O交于点D，点F在上，且． （1）求证：是半圆O的切线； （2）若，，，求半圆O的半径长． 【答案】（1） 证明：（1）连接，如图1． ∵中， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴． ∵是半径， ∴是半圆O的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，易得，根据，得出，则，即可求证； （2）连接，，易得，设半圆O的半径长为r，则，在中，根据勾股定理可得：，在中，根据勾股定理可得：，则，列方程求解即可． 本题考查了切线的判定“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”和勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，如图2，在中，． ∵，， ∴． 设半圆的半径为r，则． ∵， ∴，． 在中，根据勾股定理可得： , 在中，根据勾股定理可得： , ∵， ∴，解得， ∴半圆O的半径长为． 20. 滕王阁（图1）位于江西省南昌市东湖区沿江路，是南昌市的地标性建筑，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而闻名于世．滕王阁与湖南岳阳楼、湖北黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一，世称“西江第一楼”．如图2，在被誉为“西江第一楼”的滕王阁前，有一段风景优美的斜坡，斜坡AB的坡度，全长恰好为12米．为了计算滕王阁的高度，游客们使用高科技测角设备，利用测角仪在斜坡底的点B处测得塔尖点D处的仰角为，在斜坡顶的点A处测得塔尖点D的仰角为． （1）求斜坡的高度； （2）求滕王阁的高度． 【答案】（1）斜坡的高度为6米 （2）滕王阁的高度为米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用． （1）由题意得，则，在中求得，即可根据角的直角三角形的性质解答即可； （2）过点A作，垂足为点F，则米，，在中求得，设米，根据正切求出和长，根据列方程解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得． ∵斜坡的坡度， ∴， 在中，， ∴， ∴（米）． 答：斜坡的高度为6米． 【小问2详解】 解：如图，过点A作，垂足为点F． 由题意得米，． 在中，米， ∴ （米）． 设米， ∴米． 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴米． ∵， ∴， 解得， ∴米． 答：滕王阁的高度为米． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为了深入探索青少年体质发展与体育教育成效，某市教委开展了一项名为“阳光青春·活力校园”的专项调研项目．该项目旨在通过科学测评，监测并提升全市中学生体育健康水平．作为项目的一部分，研究人员从城区多所学校的九年级学生中随机选取了一批样本对象，对其进行了全面而系统的体能测试．测试内容覆盖了耐力跑，跳远、跳绳等多项运动技能，依据学生的表现划分为四个能力层级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息回答下列问题： （1）本次调查共抽取了_______名学生； （2）求扇形统计图B级所在的圆心角度数，并把条形统计图补充完整； （3）若城区九年级学生有27000人，如果他们全部参加这次体能测试，请估计优秀和不及格的人数． 【答案】（1） （2）， 补全条形统计图如下： （3）估计优秀人数为5400人，不及格人数为4320人 【解析】 【分析】（1）根据级人数以及级所占百分比可计算出抽样总人数； （2）用乘级所占比例可得级所在的圆心角度数；用总人数减去其他级别人数即可计算出级人数，再把条形统计图补充完整即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图和扇形统计图知， 参与这次学校调查的学生共有 (人) 【小问2详解】 解：B级所在的圆心角度数为． C级人数为 （人）， 【小问3详解】 解：优秀人数： （人）， 不及格人数： （人）． 答：估计优秀人数为5400人，不及格人数为4320人． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 秋水广场，位于江西省南昌市红谷滩新区的赣江之滨，紧邻行政中心广场是一座集休闲、娱乐，观光于一体的大型城市公共空间．它因紧邻赣江，设计巧妙地融入了水元素，尤其是其拥有的亚洲最大的音乐喷泉群（图1）而闻名遐迩，成为南昌市标志性的旅游景点之一． 某一个泉眼从点O向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，在泉眼中心竖直放置一根水管，在水管的顶端A安装一个喷水头，喷出的抛物线形水柱在与泉眼中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离泉眼中心，如图2，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求水管的长度， （2）若在第一象限的泉眼中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与之间的水平距离， ②现计划降低水管高度，使落水点恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少？ 【答案】（1）水管的长度为 （2）①景观射灯与之间的水平距离为；②水管要下降 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的应用． （1）用待定系数法求出抛物线的表达式，令求出y值，即可求解； （2）①把代入解析式，即可求解； ②求出降低水管后的水柱所在抛物线的解析式，然后代入求出y值，然后求出解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线顶点N的坐标为，点B的坐标为， ∴设第一象限抛物线的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴第一象限抛物线的解析式为． ∵当时，， ∴． 答：水管的长度为． 【小问2详解】 解：①当时，， ， ， 解得（不合题意，舍去）． 答：景观射灯与间的水平距离为． ②设降低水管后，水柱所在的抛物线的解析式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴． 当时，， ∴， 答：水管要下降． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，的最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $