精品解析：黑龙江省大庆市景园中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

大庆市景园中学 2024—2025学年度第一学期 初三年级 月考数学试卷 注意事项： 1．考试时间90分钟． 2．全卷共25题，总分120分． 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2、答题注意事项：作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡上对应题目选项的相应的位置，务必涂黑，涂满格 3、考试时间120分钟 一．选择题（共10题，满分30分） 1. 已知，则下列结论不成立的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算中，错误的是 （　　） A. B. C. D. 3. 如果解集是，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. a任意有理数 4. 下列各式中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若式子不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是(　　) A. m≥1 B. m>1 C. m≤1 D. m<1 6. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 7. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点M，作射线交于点F，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点H．若，则的度数为（　　） A. 100° B. 106° C. 110° D. 120° 8. 一次函数y3xb和ykx1的图像如图所示，其交点为P(3,4)，则不等式kx13xb的解集在数轴上表示正确的是（） A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，等边三角形△ABC的边长为2，点O是△ABC的重心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②BD＋BE＝2；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共10题，满分30分） 11. 计算______． 12. 分解因式：的结果是___________． 13. 若分式的值为负数，则x的取值范围是________． 14. 若，则__________． 15. 已知，其中A，B，C常数，则_________． 16. 对于分式，当______时，分式的值为 17. 若（x﹣y﹣2）2+|xy+3|＝0，则（﹣）÷值是_____． 18. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 19. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是边BC的中点，连接AE，把△ABE沿AE对折得到△AFE，延长AF与CD交于点G，则DG的长为________． 20. 在等边中，点D在的延长线上，点E在上，，交于点F，连接，，则的长为_____． 三．解答题（共5小题，满分60分） 21 把下列各式分解因式或计算： （1）（分解因式） （2）（分解因式） （3）（分解因式） （4）（计算 ） 22. （1）先化简，再从，0，中选取适合的数求这个代数式的值． （2）已知，求的值． 23. 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴，∴， ∴，且，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求=___________； （2）已知，，则___________． （3）已知的三边长分别是a、b、c，满足，求的最大边c的范围； 24. 如图，在中，点为上一点，过点作于点于点．连接． （1）若，求的面积； （2）若，求证：． 25. 已知是等边三角形， （1）如图1，若，点D在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点E是延长线上一点，，交的外角平分线于点F，求证：； （3）如图3，若，动点M从点B出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边，取中点H，连接，请直接写出的最小值及此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大庆市景园中学 2024—2025学年度第一学期 初三年级 月考数学试卷 注意事项： 1．考试时间90分钟． 2．全卷共25题，总分120分． 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2、答题注意事项：作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡上对应题目选项的相应的位置，务必涂黑，涂满格 3、考试时间120分钟 一．选择题（共10题，满分30分） 1. 已知，则下列结论不成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可． 【详解】A、由，可得，成立； B、由，可得，不成立； C、由，可得，成立； D、由，可得，成立； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 2. 下列运算中，错误的是 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的基本性质．利用分式的基本性质，逐一分析各选项，即可得到答案． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D 3. 如果的解集是，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. a是任意有理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．据此求解，可得答案． 【详解】解：如果的解集是， 得， ∴， 故选：B． 4. 下列各式中，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解就是把多项式变形成几个整式的积的形式，根据提公因式法和公式法进行判断求解． 【详解】解：A、不能分解，故错误，不合题意； B、，不能分解，故错误，不合题意； C、，故错误，不合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服． 5. 若式子不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是(　　) A. m≥1 B. m>1 C. m≤1 D. m<1 【答案】B 【解析】 【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0，列式求解即可． 【详解】分式不论x取何值总有意义，则其分母必不等于0， 把分母整理成（a+b）2+k（k＞0）的形式为（x2-2x+1）+m-1=（x-1）2+（m-1）， 因为不论x取何值（x2-2x+1）+m-1=（x-1）2+（m-1）都不等于0， 所以m-1＞0，即m＞1． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；完全平方式是非负数． 6. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被2整除 B. 被3整除 C. 被5整除 D. 被7整除 【答案】B 【解析】 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 7. 如图，在中，，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点M，作射线交于点F，以点A为圆心，的长为半径作弧，交于点H．若，则的度数为（　　） A. 100° B. 106° C. 110° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形及可求得度数，再由作图知是角平分线，则可得 的度数，由等腰三角形的性质可求得的度数，最后由三角形外角的性质即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， 由作法得平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线的定义、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，掌握用尺规作图：作角平分线是关键． 8. 一次函数y3xb和ykx1的图像如图所示，其交点为P(3,4)，则不等式kx13xb的解集在数轴上表示正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像与不等式的关系由图像直接写出解集. 【详解】∵一次函数 y 3x b 和 y kx 1 的图像交点为 P(3, 4) ， ∴不等式kx 1 3x b 的解集为x≥3， 在数轴表示为： 故选B. 【点睛】此题主要考查函数与不等式，解题的关键是熟知函数图像与不等式的关系. 9. 如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过D作于F，由角平分线的性质定理即可求出，再计算出，最后根据，即可求出的值． 【详解】解：过D作于F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，的面积为9， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，等边三角形△ABC的边长为2，点O是△ABC的重心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②BD＋BE＝2；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂线段最短计算判断即可． 【详解】解：连接OB、OC，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵点O是△ABC的中心， ∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30° ∴∠BOC＝120°，即∠BOE＋∠COE＝120°， 而∠DOE＝120°，即∠BOE＋∠BOD＝120°， ∴∠BOD＝∠COE，且BO＝CO，∠OBD＝∠OCE， ∴△BOD≌△COE（ASA）， ∴BD＝CE，OD＝OE， 所以①正确； ∴BD＋BE＝CE＋BE＝BC＝2， 所以②正确； ∴S△BOD＝S△COE， ∴四边形ODBE的面积＝＝， 所以③正确； 作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH， ∵∠DOE＝120°， ∴∠ODE＝∠OEH＝30°， ∴OH＝OE，HE＝OH＝OE， ∴DE＝OE， ∵BD＝CE， ∴△BDE的周长＝BD＋BE＋DE＝CE＋BE＋DE＝BC＋DE＝2＋DE＝2＋OE， 当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝， ∴△BDE周长的最小值＝2＋1＝3， ∴④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂线段最短，熟练掌握等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键． 二、填空题（共10题，满分30分） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的乘法运算，根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 12. 分解因式：的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可因式分解． 【详解】解∶， 故答案为∶ ． 13. 若分式的值为负数，则x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】分式值为负数，那么分子、分母异号，可据此列出不等式组求出其解集即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴ 或， 解得或， ∴若分式的值为负数，则的取值范围为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分式的性值的正负性及求不等式组解集的方法，一定要正确把每个不等式解出来，再根据“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则，把不等式的解集表示出来． 14. 若，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】先由得，再运用分式中法法则计算得，然后把代入计算得． 【详解】解：∵ ∴ ． 故答案：1． 【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 15. 已知，其中A，B，C为常数，则_________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法、三元一次方程组的应用，熟练掌握分式的加法法则是解题关键．根据分式的加法法则可得，则可得，解方程组求出的值，由此即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， 又∵都为常数， ∴， 解得， ∴， 故答案为：13． 16. 对于分式，当______时，分式的值为 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的值为的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于，熟练掌握分式的值为的条件是解答本题的关键． 根据分式的值为的条件进行解答即可． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 17. 若（x﹣y﹣2）2+|xy+3|＝0，则（﹣）÷的值是_____． 【答案】- 【解析】 【分析】首先括号内的式子利用分式的减法法则求得，把除法转化为乘法，计算乘法即可化简，然后利用非负数的性质求得x-y和xy的值，代入化简后的式子即可求解． 【详解】原式= , ∵|xy+3|=0， ∴x−y−2=0且xy+3=0， ∴x−y=2，xy=−3. ∴原式== . 故答案为 . 【点睛】本题考查分式的化简求值，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方. 18. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，找直线在上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知：两条直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∴，即直线在直线的上方， ∵当时，直线在直线的上方， ∴解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 19. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E是边BC的中点，连接AE，把△ABE沿AE对折得到△AFE，延长AF与CD交于点G，则DG的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据折叠的性质可知：EB=EF，AB=AF，，根据点E是边BC的中点，可得CE=BE=EF，连接EG，可证得，可得GC=GF，设GC=GF=x，则DG=4−x，AG=4+x，再根据勾股定理即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知：EB=EF，AB=AF，， ∵点E是边BC的中点， ∴CE=BE， ∴CE=BE=EF， 如图：连接EG， ∵DC⊥CE，EF⊥AC， ∴， 在与中， ， ∴GC=GF， 设GC=GF=x，则DG=4−x，AG=4+x， 在Rt△DAG中，AD2+DG2=AG2， 即32+(4−x)2=(4+x)2， 解得：， ∴ 故答案：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，证得GC=GF是解决本题的关键． 20. 在等边中，点D在的延长线上，点E在上，，交于点F，连接，，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】如图所示，延长到H，使得，连接，作于G ，证明，推出，设，则，可得，推出，推出，利用三角形的面积公式构建方程求出a，再证明即可解决问题． 【详解】解：延长到H，使得，连接，作于G ， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共5小题，满分60分） 21. 把下列各式分解因式或计算： （1）（分解因式） （2）（分解因式） （3）（分解因式） （4）（计算 ） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，异分母分式减法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法，分组分解法等． （1）先利用平方差公式因式分解，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提公因式3，再利用十字相乘法分解即可； （3）利用分组分解法，结合提公因式，完全平方公式分解即可； （4）根据异分母分式减法法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 22. （1）先化简，再从，0，中选取适合的数求这个代数式的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1），选取，值为；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的乘法等知识，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选取，代入计算即可得； （2）先根据已知等式可得，再代入化简即可得． 【详解】解：（1）原式 ， ∵， ∴， ∴选取代入得：原式． （2）∵， ∴， ∴， ∴ ． 23. 阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴，∴， ∴，且，∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求=___________； （2）已知，，则___________． （3）已知的三边长分别是a、b、c，满足，求的最大边c的范围； 【答案】（1）2 （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值再代入求值即可； （2）把代入，可得，可得：，，从而可得答案； （3）首先根据，应用因式分解的方法，判断出，求出、的值；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出的最大边的范围即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查配方法的应用，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题． 24. 如图，在中，点为上一点，过点作于点于点．连接． （1）若，求的面积； （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意易得为的角平分线，，然后根据三角形面积计算公式可求解； （2）延长到点，使，连接，则有，进而得到，故，然后根据全等三角形的性质及等腰三角形可进行求解． 【详解】（1）解： 为的角平分线 ； （2）证明：延长到点，使，连接， 在四边形中，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 等腰三角形， ， ，， ． 【点睛】本题主要考查等腰三角形性质与判定及全等三角形的判定与性质，关键是根据全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质得到角、线段的等量关系，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 25. 已知是等边三角形， （1）如图1，若，点D在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点E是延长线上一点，，交的外角平分线于点F，求证：； （3）如图3，若，动点M从点B出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边，取中点H，连接，请直接写出的最小值及此时的长． 【答案】（1） （2）见详解 （3）的最小值为，此时 【解析】 【分析】（1）过点D作于点E，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解； （2）在线段上截取一点G，使得，连接，由题意易得是等边三角形，则有，，然后可证，进而问题可求证； （3）连接，由题意易证，则有，然后可得点N在的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得的最小值，及此时的长． 【小问1详解】 解：过点D作于点E，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：； 【小问2详解】 证明：在线段上截取一点G，使得，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点N在的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知当时，最短， ∵点H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、垂线段最短及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$