精品解析：辽宁省抚顺市新宾县木奇镇中学2024-2025学年下学期九年级3月份第二周数学模拟测试带

辽宁省抚顺市新宾县木奇镇中学2024-2025学年下学期九年级3月第二周数学模拟测试 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，于年2月7日至2月14日在黑龙江省哈尔滨市举行．的相反数是（　　） A. B. C. D. 3. 从最高大的建筑到最细小的零件，从最坚硬到最柔软的材料，人类一直致力于超越各种“之最”．世界上最轻固体材料一一石墨烯，是一种由碳原子以杂化轨道组成六角蜂巢晶格的二维碳纳米材料，其厚度仅为，是世界上最薄的二维材料，用科学记数法表示0.0000033是（　　） A. B. C. D. 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算中，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 对称之美是我国传统文化中重要的美学特征之一，是中国人把和谐平衡的精神之美转化到生活中的一种具体的形式，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 7. 小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有5根木棒供他选择，其长度分别为，，，，．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（　　） A. B. C. D. 1 8. 小明一家计划五一小长假从成都自驾去九寨沟旅游，手机导航系统推荐两条线路，线路①全程约公里，线路②全程约公里．由于路况原因，线路②用时预计比线路①用时少一个小时，汽车在线路②的平均时速是线路①的平均时速的倍，假设汽车在线路①的平均时速为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为8的正方形中，是上一点，是的延长线上一点，连接，平分交于点．若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：__________．（填或） 12. 点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，则___________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为_____________． 14. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点的横坐标在和之间，现有下列结论：①；②；③；④；⑤关于的方程有实数根．其中正确的是___________．（填序号） 15. 如图，在矩形中，是边上一点，且，连接，将绕点逆时针旋转至点与点重合时停止，且点的对应点恰好落在上，连接并延长交于点，连接交于点．已知，则___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分：解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 为推进基于探究实践的科学教育，激发中小学生的好奇心、想象力和探求欲，培养学生的科学兴趣，引导学生广泛参与探究实践，某学校计划购买A，B两种实验器材以方便学生更好地在实践中感受科学的魅力，培养他们的创新实践能力．已知购买1件A种实验器材与2件种实验器材共需要700元，购买2件种实验器材与3件种实验器材共需要1200元． （1）求种实验器材和种实验器材的单价； （2）该学校计划购买种实验器材和种实验器材共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种实验器材多少件？ 18. 2023年10月24日，十四届全国人大常委会第六次会议表决通过《中华人民共和国爱国主义教育法》，该法律自2024年1月1日起正式施行．《中华人民共和国爱国主义教育法》规定了爱国主义教育的主要内容，规定面向全体公民开展爱国主义教育的同时，突出学校和家庭对青少年和儿童的教育．为衡量某教育集团教职工对于教育法的学习情况，某校开展了关于爱国主义教育法知识竞答活动，学校随机抽取了部分教职工的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．已知组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79．根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了___________名教职工，其中成绩在B组的有___________名教职工； （2）在扇形统计图中，A组所在的扇形圆心角的度数是___________； （3）求随机抽取的这部分教职工的成绩的中位数； （4）该校要对成绩在组的教职工进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为3：7，请估计该校500名教职工中获得一等奖的人数． 19. 在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． （1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． （2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 20. 嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． （1）书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． （2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 21. （1）尺规作图：作出图1中的外接圆．（不写作图过程，但保留作图痕迹） （2）如图2，是的外接圆，是的直径，，与交于点．连接，且． ①求证：是的切线． ②若，，求的长． 22. 数学活动《折纸与证明》中提道：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 【初步体验】 操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点的对应点为．（如图1所示） 操作②：沿剪开，易得一张正方形纸，把正方形对折后再展开，折痕为． 操作③：在上选一点（点不与点重合），沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，延长交于点，连接．（如图2所示） 问题1：当点在上时，猜想的度数并证明． 【初步探究】 同学们受到老师所提问题的启发，改变点在上的位置，如图3． 问题2：判断与的数量关系，并说明理由． 问题3：猜想线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 问题4：若正方形纸片的边长为8，当时，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若点在某一个函数的图象上，且，则称该点是这个函数图象上的“和点”．例如：点（0，2）是函数图象上的“和2点”． 【基础应用】 （1）在函数：①；②；③；④的图象上，存在“和1点”的函数是___________．（填序号） （2）如图1，设函数与函数的图象的“和0点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值． 【拓展提升】 （3）如图2，若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的函数图象上只有1个“和点”时，求点的坐标． （4）在（3）的条件下，函数图象的顶点为，与轴交于点，线段轴，交函数图象于点．平移函数图象，使其顶点始终在直线上运动，当平移后的图象与射线只有一个公共点时，设此时图象的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省抚顺市新宾县木奇镇中学2024-2025学年下学期九年级3月第二周数学模拟测试 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的考号、学校、班级和姓名． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效． 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试题卷共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的图形是： 故选：B． 2. 2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，于年2月7日至2月14日在黑龙江省哈尔滨市举行．的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：B． 3. 从最高大的建筑到最细小的零件，从最坚硬到最柔软的材料，人类一直致力于超越各种“之最”．世界上最轻固体材料一一石墨烯，是一种由碳原子以杂化轨道组成六角蜂巢晶格的二维碳纳米材料，其厚度仅为，是世界上最薄的二维材料，用科学记数法表示0.0000033是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：用科学记数法表示0.0000033是， 故选：D． 4. 将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角板的认识，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 由平行线的性质可得的度数，从而可得，根据三角形外角的性质，计算即可． 【详解】解：根据三角板各角的度数可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5. 下列计算中，结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、幂的乘方与积的 、多项式乘以多项式，根据运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 6. 对称之美是我国传统文化中重要的美学特征之一，是中国人把和谐平衡的精神之美转化到生活中的一种具体的形式，下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的概念是解题关键． 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据该概念即可求解 ． 【详解】解：根据轴对称图形的概念，可知： A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，故本选项符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 7. 小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有5根木棒供他选择，其长度分别为，，，，．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（　　） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查概率公式，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．先利用小明有两根长度分别为和的木棒确定第三边的长度取值范围，再判断可供选择的木棒中有几种满足，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵小明有两根长度分别为和的木棒，他想钉一个三角形的木框， ∴三角形木框的第三边长的取值范围是，即， ∴，，，，共5种等可能情况，其中满足的有2种， ∴恰好能够组成一个三角形的概率为， 故选：A． 8. 小明一家计划五一小长假从成都自驾去九寨沟旅游，手机导航系统推荐两条线路，线路①全程约公里，线路②全程约公里．由于路况原因，线路②用时预计比线路①用时少一个小时，汽车在线路②的平均时速是线路①的平均时速的倍，假设汽车在线路①的平均时速为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程与行程问题，掌握分式方程，行程中的数量关系是解题的关键． 根据题意可得线路①的时间为，线路②的时间为，根据线路②用时预计比线路①用时少一个小时，列分式即可求解． 【详解】解：设汽车在线路①的平均时速为， ∴线路①的时间为，线路②的平均时速是， ∴线路②的时间为， ∴，即，   故选：D ． 9. 如图，在边长为8的正方形中，是上一点，是的延长线上一点，连接，平分交于点．若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，勾股定理等知识，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明，利用角平分线的性质及三角形全等的判定及性质，证明，设，则，，，在中根据勾股定理求解即可，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ，， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 10. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点的坐标为，与轴交于点，是反比例函数在第一象限内图象上的一个动点．当时，点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求出反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为，从而可得点．即，设点，则，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把点代入，得． 反比例函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． 当时，， ∴点．即， 设点， 则． 解得， ∵点在第一象限， ， ∴点的坐标为． 故选： C． 第二部分非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：__________．（填或） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角的单位换算及大小比较，熟练掌握角的单位换算及大小比较是解题的关键；将转换为度分形式，再与比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 故答案为：． 12. 点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，，将线段平移至，若点，的坐标分别为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中的平移，熟练掌握平移法则是解题的关键． 由题意，线段由线段向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到，即可得出答案． 【详解】解：由题意知：、的坐标分别为和， 点、的坐标分别为和， ，， ∴线段由线段向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到， ∴，， ∴． 故答案为： ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，与是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为，点C的坐标为，且，则点D的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 过点A作轴于点M，过点D作轴于点N．利用相似三角形的性质求出，即可解答． 【详解】解：过点A作轴于点M，过点D作轴于点N． ∵与是以点C为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵轴， 轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点的横坐标在和之间，现有下列结论：①；②；③；④；⑤关于的方程有实数根．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点问题，根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对五个选项进行判断即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下 ∴， ∵对称轴为直线 ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴 ∴， ∴．故①正确； ∵，， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在0和1之间． 又∵抛物线开口向下， ∴当时，函数值小于零，即．故③正确； ∵， ∴， ∴．故④错误； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的图象与直线有交点， ∴关于x的方程有实根．故⑤正确． ∴结论正确的是①③⑤． 故答案为：①③⑤． 15. 如图，在矩形中，是边上一点，且，连接，将绕点逆时针旋转至点与点重合时停止，且点的对应点恰好落在上，连接并延长交于点，连接交于点．已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质和旋转的性质证明，得到，设，则，在中，由勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， ， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质和判定、等边对等角、全等三角形的性质和判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分：解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的加减乘除混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先计算有理数的乘方，负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再进行加减运算即可； （2）根据分式的加减乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 ． 17. 为推进基于探究实践的科学教育，激发中小学生的好奇心、想象力和探求欲，培养学生的科学兴趣，引导学生广泛参与探究实践，某学校计划购买A，B两种实验器材以方便学生更好地在实践中感受科学的魅力，培养他们的创新实践能力．已知购买1件A种实验器材与2件种实验器材共需要700元，购买2件种实验器材与3件种实验器材共需要1200元． （1）求种实验器材和种实验器材的单价； （2）该学校计划购买种实验器材和种实验器材共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种实验器材多少件？ 【答案】（1）A种实验器材的单价为300元，B种实验器材的单价为200元 （2）最多能购买种实验器材100件 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；找出等量关系式及不等关系式是解题的关键． （1）等量关系式：购买1件A种实验器材的费用2件种实验器材的费用700元，购买2件种实验器材的费用3件种实验器材的费用1200元，据此列方程组，即可求解； （2）购买种实验器材件的费用购买种实验器材（）件的费用 50000元，据此列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设种实验器材的单价为元，种实验器材的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：A种实验器材的单价为300元，B种实验器材的单价为200元． 【小问2详解】 解：设购买种实验器材件，则购买种实验器材件， 根据题意，得， 解得， 答：最多能购买种实验器材100件． 18. 2023年10月24日，十四届全国人大常委会第六次会议表决通过《中华人民共和国爱国主义教育法》，该法律自2024年1月1日起正式施行．《中华人民共和国爱国主义教育法》规定了爱国主义教育的主要内容，规定面向全体公民开展爱国主义教育的同时，突出学校和家庭对青少年和儿童的教育．为衡量某教育集团教职工对于教育法的学习情况，某校开展了关于爱国主义教育法知识竞答活动，学校随机抽取了部分教职工的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．已知组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79．根据以上数据，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查随机抽取了___________名教职工，其中成绩在B组的有___________名教职工； （2）在扇形统计图中，A组所在的扇形圆心角的度数是___________； （3）求随机抽取的这部分教职工的成绩的中位数； （4）该校要对成绩在组的教职工进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为3：7，请估计该校500名教职工中获得一等奖的人数． 【答案】（1）50，10 （2）36° （3）中位数是分 （4）估计该校500名教职工中获得一等奖的人数约为24名 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图、抽样调查以及中位数，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去四个组的人数得到组的人数，即可补全频数分布直方图； （2）用乘以组所占的百分比即可； （3）将抽取的教职工数据按顺序排列，居于中间位置的数就是中位数； （4）根据一等奖的人数占抽取样本的比例求出该校一等奖的人数即可． 【小问1详解】 解：根据频数分布直方图和扇形统计图组的情况，可知本次随机抽查的人数为：（人） 组的人数为（人） 故答案为：； 【小问2详解】 扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为： 故答案为：； 【小问3详解】 随机抽取了人 中位数是第和第中间的成绩的平均数 ∵A组和B组人数和为，A组和B组、C组人数和为， ∴根据题意，第名和第名教职工的成绩分别为：， 中位数是： 故答案为：； 【小问4详解】 （名） ∴估计该校500名教职工中获得一等奖的人数约为24名． 19. 在巴黎奥运会乒乓球混双决赛中，中国组合王楚钦和孙颖莎击败朝鲜组合夺冠，这是中国乒乓球队历史上首枚奥运混双金牌，填补了国乒在奥运会混双项目上的空白，标志着中国乒乓球在奥运项目上的全面覆盖． （1）据市场调研发现，某体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知月共销售乒乓球拍副，每月的月销售增长率相同，月共销售副，求该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率． （2）已知某体育用品店乒乓球拍平均每天可销售副，每副盈利元，每下降元，则每天可多售副，该乒乓球拍的日销售利润能否达到元？如果能，请求出每副乒乓球拍的售价；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为 （2） 日销售利润不能达到元，理由如下： 设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副． 根据题意，得． 整理得． , 此方程无解． 日销售利润不能达到元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每月增长率为，利用月销售量月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每副乒乓球拍降价元，则每副乒乓球拍盈利元，平均每天可售出副，利用总利润每副的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得或（不合题意，舍去）． 答：该乒乓球拍月份到月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 略 20. 嘉嘉使用桌上书架如图1所示．嘉嘉发现，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． （1）书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长． （2）如图2这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处，书上有一点，旋转点到点的距离为，嘉嘉看点的俯角为，眼睛到桌面高度为点到点的距离为，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而利用弧长公式求解即可． （）过点作，于点、，则四边形是矩形，，在中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴边缘点到走过的路径长． 【小问2详解】 解：过点作，于点、，则四边形是矩形，，， ∵，， ∴， ∴， ∵向下看的俯角为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、度直角三角形的性质、求弧长以及矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形、度直角三角形的性质是解题的关键． 21. （1）尺规作图：作出图1中的外接圆．（不写作图过程，但保留作图痕迹） （2）如图2，是的外接圆，是的直径，，与交于点．连接，且． ①求证：是的切线． ②若，，求的长． 【答案】 （1）如图，即为所求． （2）①证明：是的直径，， ，． ， ． ，， ∴． ． ， ． ，即． ． 是的半径， 是的切线． ② 【解析】 【分析】（1）先作出、的垂直平分线交于点，再以为圆心，为半径画圆即可； （2）①由圆周角定理可得，由等边对等角可得，结合等边对等角求出，即可得证；②证明，结合题意可得，设，则，．再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②，， ，． ． ， ． 设，则，． 在中，，由勾股定理，得， 即． 解得，（舍去）． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、切线的判定定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22. 数学活动《折纸与证明》中提道：折纸，常常能够为证明一个命题提供思路和方法． 【初步体验】 操作①：取一张矩形纸，将边折叠到边上，折痕为，点的对应点为．（如图1所示） 操作②：沿剪开，易得一张正方形纸，把正方形对折后再展开，折痕为． 操作③：在上选一点（点不与点重合），沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，延长交于点，连接．（如图2所示） 问题1：当点在上时，猜想的度数并证明． 【初步探究】 同学们受到老师所提问题的启发，改变点在上的位置，如图3． 问题2：判断与的数量关系，并说明理由． 问题3：猜想线段之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 问题4：若正方形纸片的边长为8，当时，求的长． 【答案】 问题1：． 证明：如图，连接． 垂直平分， ∴， 由折叠的性质，得， 四边形是正方形， ． ， 是等边三角形， ， ． ． 问题2：，理由如下： 四边形是正方形， ． 由折叠的性质，得， ． ， ∴， ． 问题3：，理由如下： 由折叠的性质，得：． ， ∴， ， ∴， ∴， ． 问题4： 【解析】 【分析】问题1：连接．根据正方形的性质得出．证明是等边三角形，得出，求出即可； 问题2：证明，得出即可． 问题3：根据折叠得出．证明，得出，即可得出． 问题4：设，则根据勾股定理得出，求出，再根据，即可求出结果． 【详解】解：问题1：略 问题2：略 问题3：略 问题4：设，则． 由问题3，知． 在Rt中，， 由勾股定理，得， 即， 解得：， ． ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握正方形的性质． 23. 在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若点在某一个函数的图象上，且，则称该点是这个函数图象上的“和点”．例如：点（0，2）是函数图象上的“和2点”． 【基础应用】 （1）在函数：①；②；③；④的图象上，存在“和1点”的函数是___________．（填序号） （2）如图1，设函数与函数的图象的“和0点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值． 【拓展提升】 （3）如图2，若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的函数图象上只有1个“和点”时，求点的坐标． （4）在（3）的条件下，函数图象的顶点为，与轴交于点，线段轴，交函数图象于点．平移函数图象，使其顶点始终在直线上运动，当平移后的图象与射线只有一个公共点时，设此时图象的顶点的横坐标为，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）②③；（2）的值为或或1或0；（3）点的坐标为；（4）或 【解析】 【分析】题目主要考查对新定义的理解，包括一次函数和二次函数综合问题，旋转的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据“和1点”的定义，依次求解计算判断即可； （2）根据题意得出“和0点”在函数的图象上，然后联立两个函数求解得出点，再根据等腰三角形的定义分情况分析求解即可； （3）根据题意得出抛物线的顶点坐标为，设点的坐标为，再由旋转的性质确定旋转后的图象的顶点坐标为，旋转后的图象的解析式为，然后求解即可； （4）由（3）得旋转后的图象的解析式为，确定点，，．利用待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，然后分三种情况，作出图象分析即可 【详解】解：（1）根据“和1点”的定义，得 ∴“和1点”在函数的图象上． 联立无解．故①不成立． 联立 解得故②成立． 联立 解得 故③成立． 联立无解． 故④不成立． 故答案为：②③． （2）根据“和0点”的定义，得． “和0点”在函数的图象上． 联立， 解得：和， 点． 轴， 点． 联立， 解得 点， ． ①当时，即． 解得． ②当时，即． 解得． ③当时，即． 解得（与点重合，舍去）． 综上所述，的值为或或1或0． （3）， 抛物线的顶点坐标为． 设点的坐标为． 将函数的图象绕轴上一点旋转， 为一对对应点的中点． 旋转后的图象的顶点坐标为． 旋转后的图象的解析式为． 旋转后的函数图象上只有一个“和点”， 联立 整理，得． 旋转后的函数图象上只有1个“和点”， 方程只有一个实数根， ∴ 解得． 点的坐标为． （4）在（3）的条件下，， 旋转后的图象的解析式为． 点，，． 设直线的解析式为， 代入得：， 解得： 直线的解析式为， 同理：直线的解析式为． 平移函数图象使其顶点始终在直线上运动， 平移后的图象的顶点的坐标为． 平移后的函数图象的解析式为． 平移后的图象与射线只有一个公共点， 联立 整理，得． 平移后的图象与射线只有一个公共点， ． 解得． 当时，如图1所示，平移后的函数图象与射线只有一个公共点． 当函数图象的顶点为时，与射线交于点和点， 将的图象沿向右移动时，函数图象与射线有1个交点，如图2所示，此时， 当函数图象经过点时，此时只有1个交点，如图3所示． 把点代入，得． 解得（舍去），． 当时，平移后的图象与射线只有一个公共点． 综上所述，当或时，平移后的图象与射线只有一个公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $