精品解析： 辽宁省抚顺市清原县北三家乡中学2024-2025学年下学期九年级4月月考数学试题

2025年辽宁省抚顺市清原县北三家乡中学九年级4月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数的倒数中，最大的是（ ） A. B. 1 C. D. 7 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，是中心对称图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为( ) A. B. C. D. 6. 已知点在第四象限内，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 9. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑（xǔ）酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？下面是甲、乙两种解答方案，则（ ） 甲：设换了清酒斗，列方程为，…； 乙：设用斗谷子换清酒，列方程为，… A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 10. 如图，已知菱形的顶点，且，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（ ） A. B. C. （1，2） D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使式子有意义，则的取值范围是______． 12. 某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”．八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为______． 13. 在四边形中，，，，则__________． 14. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______________． 15. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算． （1）； （2）． 17. 某校七年级周末开展了“沈阳红色路线”研学活动．第一站是周六上午8：00乘车前往离学校150千米的沈阳故宫．活动当天，大家在学校集合，1号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线出发，结果两辆车同时到达目的地．已知2号车的平均速度是1号车平均速度的． （1）求1号车从学校到沈阳故宫所用的时间． （2）学校决定从沈阳故宫附近的文创店购买A，B两种纪念品共40件奖励此次活动中表现比较好的同学．已知A种纪念品的单价为12元/件，B种纪念品的单价为10元/件，由于资金有限，总费用不能超过462元，则最多购买A种纪念品多少件？ 18. “文明城市，你我共建”．下面是某学校数学社团的同学们在对4个电动车骑行规则进行调查时设计的问卷．他们随机抽取了部分市民进行问卷调查，并将调查结果制成了如下两幅不完整的统计图． “电动车骑行规则知多少”调查问卷 您好： 我们来自××学校数学社团，为了解我市市民骑行电动车的安全意识，请您抽出一点时间填写这份问卷，谢谢合作！ 规则1：不准在机动车道内骑行．______ 规则2：不准逆向行驶、越线停车．______ A．知道 B．不知道 A．知道 B．不知道 规则3：骑车时驾、乘人均须戴头盔．______ 规则4：不准私自加篷改装．______ A．知道 B．不知道 A．知道 B．不知道 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求被调查的市民总人数，并直接补全条形统计图． （2）求扇形统计图中“4个规则全知道”所对圆心角的度数． （3）社团里小明同学分析问卷情况认为：应加强对市民电动车骑行安全意识教育，你同意小明的看法吗？请综合以上信息写出一条理由． 19. 中国传统手工艺品，如中国结、油纸伞、团扇等，是先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店购进一批团扇，每把进价为20元，按每把25元销售，每月可售出210把．现店方想采用提高售价的方法来增加利润（售价不超过32元）．经试验，每把团扇的售价每提高1元，每月就会少卖出10把． （1）求每月团扇的销售量y（把）与每把售价x（元）之间的函数关系式． （2）当每把团扇的售价定为多少时，每月的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？ 20. 高空抛物极其危险，被称为“悬挂在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，已知某一型号的摄像头安装完成后的示意图如图2，镜头B与地面的距离为2.7米，镜头拍摄扩角，为基准线（的角平分线），为水平线，摄像头与水平方向夹角为30°，图3是安装完成后投入使用的示意图： （1）当摄像头刚好能拍到大楼底部C时，摄像头应装在离大楼约多远的位置？ （2）在（1）的条件下，请问该摄像头能拍摄到的最高距离约为多少米？（参考数据，，结果精确到1米） 21. 如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． （1）如图1，若，，求的半径； （2）如图2，若，求证：． 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 23. 我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”，例如：点的特征线有，，，． （1）直接写出点所有的特征线． （2）如图，在平面直角坐标系中有正方形，点B在第一象限，，分别在x轴和y轴上，抛物线经过，两点，顶点在正方形内部，点有一条特征线是． ①求此抛物线对应的函数表达式； ②点在与一、三象限角平分线平行的点的特征线上，当的值最小时，求这个最小值； ③点是边上除点外的任意一点，连接，将沿折叠，点落在点的位置，当点在平行于坐标轴的点的特征线上时，将抛物线向下平移，使其顶点落在上，求平移距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省抚顺市清原县北三家乡中学九年级4月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数的倒数中，最大的是（ ） A. B. 1 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】求得各数的倒数后再比较大小即可． 【详解】解：的倒数为，1的倒数为1，的倒数是5，7的倒数是， 则， 所以倒数最大的数是， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的大小比较和倒数，结合已知条件求得各数的倒数是解题的关键． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的基本概念是关键． 几何体的俯视图即为从上往下看所看到的平面图形，据此判断即可． 【详解】解：俯视图是： 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【详解】解：A. ，原计算错误，不合题意； B. ，原计算错误，不合题意； C. ，计算正确，符合题意； D. ，原计算错误，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方、完全平方公式和平方差公式，掌握相关公式是解题的关键． 4. 下列图形中，是中心对称图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握这两个知识点． 在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此即可求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 6. 已知点在第四象限内，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件“点为第四象限内的点”推知、的符号，由它们的符号可以得到一次函数的图象所经过的象限． 【详解】解：点为第四象限内的点， ，， ∴， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，观察选项，A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 7. 如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，交于点F，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先得出，求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则： ， 解得：， 即蜡烛火焰的高度为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 9. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑（xǔ）酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？下面是甲、乙两种解答方案，则（ ） 甲：设换了清酒斗，列方程为，…； 乙：设用斗谷子换清酒，列方程为，… A. 只有甲对 B. 只有乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设未知数，找等量关系列方程即可得到答案． 【详解】解：甲：设换了清酒斗，则醑酒斗， 列方程为； 乙：设用斗谷子换清酒，则用斗谷子换醑酒， 列方程为； 甲正确、乙错误， 故选：A． 【点睛】本题考查列方程解实际应用题，读懂题意，找准等量关系是解决问题的关键． 10. 如图，已知菱形的顶点，且，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（ ） A. B. C. （1，2） D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先证明△ABC是等边三角形，求出A，C的坐标，证明AE＝EC，可得结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA＝BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵AO⊥CB， ∴OB＝OC＝4，AB＝2OB＝8， ∴OA＝， 由作图可知，BP平分∠ABC， ∴AE＝EC， ∵C（4，0），A（0，4）， ∴E（2，2）， 故选：A． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的性质，等边三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”．八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解决本题的关键 ． 先求出总的情况，再求出满足“八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后”的情况数，由概率公式计算即可 ． 【详解】解：根据题意，八年级与九年级的选择为： （鸦片战争，香港回归），（鸦片战争，改革开放），（香港回归，改革开放）， （香港回归，鸦片战争），（改革开放，鸦片战争），（改革开放，香港回归），共6种情况； 新中国成立以后得事件为：“香港回归”，“改革开放”， 八年级与九年级的选择为： （香港回归，改革开放），（改革开放，香港回归），共2种情况； ∴八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为 ． 故答案为： ． 13. 在四边形中，，，，则__________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定和性质，根据题意可知，，所以为平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：由题意可知∵，， ∴为平行四边形（两组对边分别相等的四边形）， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点D，且点D为线段AB的中点．若点C为x轴上任意一点，且△ABC的面积为4，则k=______________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，利用即可求出k的值． 【详解】解：设点， ∵点D为线段AB的中点．AB⊥y轴 ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查利用面积求反比例函数的k的值，解题的关键是找出． 15. 如图，在四边形中，，对角线相交于点．若，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作于点H，延长，交于点E，根据等腰三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，根据等腰三角形性质得出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，根据，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：过点A作于点H，延长，交于点E，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，分式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据实数的混合计算法则和零指数幂，负整数指数幂，绝对值计算法则求解即可； （2）根据分式的混合计算法则求解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 某校七年级周末开展了“沈阳红色路线”研学活动．第一站是周六上午8：00乘车前往离学校150千米的沈阳故宫．活动当天，大家在学校集合，1号车先出发，0.5小时后，2号车沿同样路线出发，结果两辆车同时到达目的地．已知2号车的平均速度是1号车平均速度的． （1）求1号车从学校到沈阳故宫所用的时间． （2）学校决定从沈阳故宫附近的文创店购买A，B两种纪念品共40件奖励此次活动中表现比较好的同学．已知A种纪念品的单价为12元/件，B种纪念品的单价为10元/件，由于资金有限，总费用不能超过462元，则最多购买A种纪念品多少件？ 【答案】（1）1号车从学校到沈阳故宫所用的时间是2.5小时； （2）最多购买A种纪念品31件． 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用； （1）设1号车的平均速度为x千米/时，则2号车的平均速度为千米/时，再利用时间关系建立方程求解即可； （2）设购买A种纪念品a件，则购买B种纪念品件，利用总费用不能超过462元，再建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设1号车的平均速度为x千米/时，则2号车的平均速度为千米/时， 根据题意，得， 解得． 经检验是所列方程的解，且符合题意． ∴（小时）． 答：1号车从学校到沈阳故宫所用的时间是2.5小时． 【小问2详解】 解：设购买A种纪念品a件，则购买B种纪念品件， 根据题意，得， 解得． 答：最多购买A种纪念品31件． 18. “文明城市，你我共建”．下面是某学校数学社团的同学们在对4个电动车骑行规则进行调查时设计的问卷．他们随机抽取了部分市民进行问卷调查，并将调查结果制成了如下两幅不完整的统计图． “电动车骑行规则知多少”调查问卷 您好： 我们来自××学校数学社团，为了解我市市民骑行电动车的安全意识，请您抽出一点时间填写这份问卷，谢谢合作！ 规则1：不准在机动车道内骑行．______ 规则2：不准逆向行驶、越线停车．______ A．知道 B．不知道 A．知道 B．不知道 规则3：骑车时驾、乘人均须戴头盔．______ 规则4：不准私自加篷改装．______ A．知道 B．不知道 A．知道 B．不知道 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求被调查的市民总人数，并直接补全条形统计图． （2）求扇形统计图中“4个规则全知道”所对圆心角的度数． （3）社团里小明同学分析问卷情况认为：应加强对市民电动车骑行安全意识教育，你同意小明的看法吗？请综合以上信息写出一条理由． 【答案】（1）被调查的市民总人数为200， 补全条形统计图如下： ； （2）扇形统计图中“4个规则全知道”所对圆心角的度数为； （3） 解：同意小明的看法，应加强对市民电动车骑行安全意识教育．理由：因为从题图信息中可以看出，抽查的市民中4个规则全不知道和4个规则不全知道的有160人，占大多数，故应加强对市民电动车骑行安全意识教育．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，能准确从统计图中获取信息是解题的关键． （1）用“知道2个规则”的人数除以其占总人数的百分比，即可求解；分别求出“知道3个规则”和“4条规则都不知道”的人数，即可补全条形统计图； （2）“4个规则全知道”所占的百分比乘以，即可求解； （3）根据调查的统计图分析结果，即可求解． 【小问1详解】 解：（人）． 答：被调查的市民总人数为200． “知道3个规则”的人数为（人）． “4个规则全不知道”的人数为（人）． 【小问2详解】 解：． 答；扇形统计图中“4个规则全知道”所对圆心角的度数为； 【小问3详解】 略 19. 中国传统手工艺品，如中国结、油纸伞、团扇等，是先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店购进一批团扇，每把进价为20元，按每把25元销售，每月可售出210把．现店方想采用提高售价的方法来增加利润（售价不超过32元）．经试验，每把团扇的售价每提高1元，每月就会少卖出10把． （1）求每月团扇的销售量y（把）与每把售价x（元）之间的函数关系式． （2）当每把团扇的售价定为多少时，每月的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）每把团扇的售价定为32元时，每月的销售利润最大，最大利润为1680元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意，构造二次函数，运用函数的性质解决问题即可． (1) 根据总销售量等于基础销售量减去销售减少量，列式计算即可． (2) 根据总利润等于单件的利润乘以销售件数，列出等式即可． 【小问1详解】 根据题意，基础销售量为210件，提价销售减少量为，根据题意，得． 【小问2详解】 根据题意，得． ， 当时，w随x的增大而增大． ， 当时，w取得最大值，为． 答：当每把团扇的售价定为32元时，每月的销售利润最大，最大利润为1680元． 20. 高空抛物极其危险，被称为“悬挂在城市上空的痛”，我们应该主动杜绝高空抛物的行为．某小区为了防止高空抛物，已知某一型号的摄像头安装完成后的示意图如图2，镜头B与地面的距离为2.7米，镜头拍摄扩角，为基准线（的角平分线），为水平线，摄像头与水平方向夹角为30°，图3是安装完成后投入使用的示意图： （1）当摄像头刚好能拍到大楼底部C时，摄像头应装在离大楼约多远的位置？ （2）在（1）的条件下，请问该摄像头能拍摄到的最高距离约为多少米？（参考数据，，结果精确到1米） 【答案】（1）摄像头应装在离大楼约10m远的位置 （2）该摄像头能拍摄到的最高距离约为40米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，构造直角三角形，掌握锐角三角函数，是解题的关键． （1）解直角三角形，求出的长即可； （2）解直角三角形，求出，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：过点作，则四边形为矩形， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：摄像头应装在离大楼约10m远的位置； 【小问2详解】 由①可知：， ∵， ∴， ∴， ∴； 答：该摄像头能拍摄到的最高距离约为40米． 21. 如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． （1）如图1，若，，求的半径； （2）如图2，若，求证：． 【答案】（1）的半径为3； （2） 证明：过O作于F， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可； （2）过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 解得， 即的半径为3； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键． 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】 【数学思考】证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 【解决问题】； 【拓展研究】或 【解析】 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：略 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 23. 我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”，例如：点的特征线有，，，． （1）直接写出点所有的特征线． （2）如图，在平面直角坐标系中有正方形，点B在第一象限，，分别在x轴和y轴上，抛物线经过，两点，顶点在正方形内部，点有一条特征线是． ①求此抛物线对应的函数表达式； ②点在与一、三象限角平分线平行的点的特征线上，当的值最小时，求这个最小值； ③点是边上除点外的任意一点，连接，将沿折叠，点落在点的位置，当点在平行于坐标轴的点的特征线上时，将抛物线向下平移，使其顶点落在上，求平移距离． 【答案】（1）点所有的特征线有，，，； （2）①此抛物线对应的函数表达式为；②的最小值为；③抛物线顶点落在上的平移距离为或． 【解析】 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解，解本题的关键是用正方形的性质求出点的坐标． （1）根据一个点的“特征线”的定义即可求出点所有的特征线； （2）①根据得出顶点，点，由点有一条特征线是得到，根据抛物线的对称性得出，由正方形的性质得出，根据点纵坐标为6得出，求出，即可求得此抛物线对应的函数表达式； ②作点B关于直线的对称点，连接交直线于点Q，如图1，则此时的值最小，最小值为的长； ③分两种情形当点落在直线上时，如图2；当点落在直线上时，如图3，分别求出直线的解析式，求出直线与对称轴的交点坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点平行于x轴的直线为：， 平行于y轴的直线为：， 平行于一、三象限的角平分线的直线设为 代入，有，则 过点平行于一、三象限的角平分线的直线为： 平行于二、四象限的角平分线的直线设为 带入，有，则 过点平行于二、四象限的角平分线的直线为： 综上点所有的特征线有，，，． 【小问2详解】 ①抛物线的顶点为P，与y轴交于点C， ，． 点P有一条特征线是， ． 点B，C均在抛物线上，四边形为正方形， ， ，解得， 此抛物线对应的函数表达式为． ②由（1）可知，点Q在与一、三象限角平分线平行的点P的特征线为． 作点B关于直线的对称点，连接交直线于点Q，如图1， 则此时的值最小， ， 当时，，则， ， ，，， 过点作轴于点D， 则，． 在中，， ， 的最小值为． ③当点落在直线上时，如图2． 设直线与x轴交于点E，与交于点F， 则，，． 在中，，， ， ， 在中，， 由（1）可知， 抛物线顶点落在上的平移距离为． 当点落在直线上时，如图3． 设直线与y轴交于点G，与交于点H，则，． ，， ． ， ， ． 在中，， ， ， ， 直线的函数表达式为． 当时，， 抛物线顶点落在上的平移距离为． 综上所述，抛物线顶点落在上的平移距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $