精品解析：黑龙江省鹤岗市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题

鹤岗市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解. 【详解】命题“”的否定是, 故选：D 2. 求值：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式求得结果. 【详解】. 故选：B. 3. 已知向量与的方向相反，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线定理，可得两向量的数乘关系，设出向量坐标，建立方程，可得答案. 【详解】∵与的方向相反，∴（）．设，则， 于是由，得，即，∴， ∴，∴． 故选：C. 4. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 150° D. 30°或150° 【答案】A 【解析】 【分析】运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可. 【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因为，所以，所以． 故选：A 5. 在四边形中，若，且，则该四边形一定是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性关系及加减的几何意义判断四边形的形状即可. 【详解】由，此时四边形 为平行四边形， 因为，所以 ，即对角线长相等， 故四边形为矩形  故选：C． 6. 已知的三边长分别为1，，，则它的最大内角的度数是（ ） A. 90° B. 135° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理即可算出答案. 【详解】因为的三边长分别为1，，， 所以边长为的边所对的角最大，其余弦值为 所以最大内角的度数是 故选：B 【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单. 7. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，即可得到本题答案. 【详解】由题意得： . 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算法则.属于容易题. 8. 前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔．已知前卫斜塔的塔身长，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出图象，然后利用余弦公式求解即可 【详解】如图所示，线段为塔身长，线段为投影长度，， 所以在中，， 因为，所以， 故选：A 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 C. 终边在x轴上的角的集合为 D. 已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用三角函数的定义即可判断；对于B，举反例即可；对于C，直接写出对应角的集合；对于D，利用扇形的面积和弧长公式即可 【详解】对于A，若θ是第一或第四象限角，根据三角函数的定义可得，故正确； 对于B，若，则，但此时θ不是第一或第四象限角，故错误； 对于C，终边在x轴上的角的集合为，故错误； 对于D，设扇形的圆心角的弧度数为，半径为， 则，解得，故正确 故选：AD 10. 已知函数，则（    ）． A. B. 在上单调递增 C. 为的一个对称中心 D. 最小正周期为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接求解判断A选项；由函数正切函数的单调区间、对称轴公式、周期公式进行求解分别判断B、C、D选项. 【详解】对于A，已知函数，，故A错误； 对于B，，，解得，当时，， 所以在上单调递增，，故B正确； 对于C，把带代入，，为的一个对称中心，故C正确； 对于D，最小正周期为，故D正确. 故选：BCD. 11. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 和能构成一组基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对于A选项，，A选项错误. 对于B选项，，B选项正确. 对于C选项，由于八边形ABCDEFGH为正八边形，故，且， 故，所以选项C正确. 对于D选项，由于和不共线，故和能构成一组基底，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为_____________米． 【答案】90 【解析】 【分析】根据仰角分别得出,，在中由余弦定理求解即可. 【详解】在中，，所以， 在，，所以，即， 在中，，， 由余弦定理，， 即，解得或（舍去）， 即黄河楼的估计高度为米. 故答案为： 13. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设分别为△ABC内角的对边，表示△ABC的面积，其公式为.若，则△ABC面积的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理，求出，然后代入面积公式化简得到，最后利用二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】由正弦定理得，得， 因为，的面积， 所以当即时，有面积S有最大值为． 故答案为：. 14. 若函数在区间上单调递增，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用正弦函数的单调性与区间的关系列不等式即可求解. 【详解】∵，∴， 要使在上单调递增，则，解得， 又∵，∴，则的最大值是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果； （2）先由题意求出，， 根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为为锐角，所以，， 又，所以， ， 所以 . 【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）若，求实数的值； （3）若，求证：为偶函数，并求的解集. 【答案】（1） （2） （3）证明：因为， 由，得或，则的定义域为， 又，所以为偶函数； 由，得，则，所以或， 所以的解集为或. 【解析】 【分析】（1）由有意义，列出不等式求解即可； （2）由题意列出方程求解可； （3）利用偶函数的定义证明；根据的解析式，不等式可化为，求解即可. 【小问1详解】 要使得有意义，只需，得，故得， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 因为，得，即，解得； 【小问3详解】 证明略，不等式的解集为或或. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数为，若不等式在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由图象得出函数的最小正周期，可求得的值，再将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围可求得的值，由此可得出函数的解析式； （2）利用三角函数图象变换求得，由已知可得，利用余弦函数的基本性质求出函数在区间上的最大值，进而可得出实数的取值范围. 【详解】（1）的周期为，所以， 又因为函数的图象过点，则有，且函数在附近单调递减， 所以，所以， 又因为，所以，所以； （2）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得函数的图象， 再将的图象向右平移个单位长度， 得， 不等式在恒成立，即， 因为，所以， 所以当，即时，取最大值，最大值为，即. 综上可得，实数s的取值范围实数. 【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 18. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点. （1）求； （2）求的余弦值. 【答案】（1） （2）的余弦值为 【解析】 【分析】(1)由条件可得，两边平方结合数量积的性质可求，(2) 与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小. 【小问1详解】 又已知为的中点， 所以， 所以， 所以， 又，，， 所以， 所以， 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 又， 所以, 所以， ， 所以， 又与的夹角相等， 所以， 所以的余弦值为. 19. 如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线分别交BC，CD于G，H，设，长方形QGCH的面积为S. （1）求关于的函数解析式； （2）求的最大值. 【答案】（1），；（2）5. 【解析】 【分析】（1）先根据题意计算在竖直方向上和水平方向上的投影的长度，即可计算的长度，计算长方形QGCH的面积再化简即得结果； （2）先换元，确定新元的范围和函数，再根据二次函数求最值即得结果. 【详解】解：⑴，则在竖直方向上的投影的长度为，在水平方向上的投影长度为， 故，， ，， 整理得：，； （2），， 令，即，平方可得， 当时，可求得. ，， 根据二次函数对称性可知，当时，. 【点睛】方法点睛： 求含有正余弦函数的和（或差）及乘积的函数求最值（范围）时，常进行三角换元，令和（或差）为新变量，形成二次函数，求二次函数最值（范围）即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹤岗市第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 求值：（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量与的方向相反，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 30° B. 45° C. 150° D. 30°或150° 5. 在四边形中，若，且，则该四边形一定是（ ） A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形 6. 已知的三边长分别为1，，，则它的最大内角的度数是（ ） A. 90° B. 135° C. 120° D. 150° 7. 已知是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 8. 前卫斜塔位于辽宁省葫芦岛市绥中县，始建于辽代，又名瑞州古塔，其倾斜度（塔与地面所成的角）远超著名的意大利比萨斜塔，是名副其实的世界第一斜塔．已知前卫斜塔的塔身长，一旅游者在正午时分测得塔在地面上的投影长为，则该塔的倾斜度（塔与地面所成的角）为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 给出下列四个命题，其中是真命题的为（ ） A. 如果θ是第一或第四象限角，那么 B. 如果，那么θ是第一或第四象限角 C. 终边在x轴上的角的集合为 D. 已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为2 10. 已知函数，则（    ）． A. B. 在上单调递增 C. 为的一个对称中心 D. 最小正周期为 11. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 和能构成一组基底 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C、D两观测点，且C、D与黄河楼底部B在同一水平面上，在C、D两观测点处测得黄河楼顶部A的仰角分别为，并测得，则黄河楼的估计高度为_____________米． 13. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，可以看出我国古代已具有很高的数学水平.设分别为△ABC内角的对边，表示△ABC的面积，其公式为.若，则△ABC面积的最大值为________ 14. 若函数在区间上单调递增，则的最大值是__________. 四、解答题 15. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）若，求实数的值； （3）若，求证：为偶函数，并求的解集. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数为，若不等式在恒成立，求实数的取值范围. 18. 如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点. （1）求； （2）求的余弦值. 19. 如图，正方形ABCD边长为5，其中AEF是一个半径为4的扇形，在弧EF上有一个动点Q，过Q作正方形边长BC，CD的垂线分别交BC，CD于G，H，设，长方形QGCH的面积为S. （1）求关于的函数解析式； （2）求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $