第01讲 乘法公式与因式分解-2025年初高中衔接数学提升讲义

初高中衔接提升第 01 讲：乘法公式与因式分解 一、乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式； （2）完全平方公式； （3）三项完全平方 【例1】计算： 变式：计算： 【例2】计算： (1) (2) (3) (4) 【例3】已知，求的值。 变式：已知，求的值。 二、因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，初中课本涉及到的常用方法主要有：提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），因式分解与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等。 1.公式法（立方和、立方差公式） 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： （立方和公式） （立方差公式） 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。 【例4】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) (2) 变式：分解因式： (1) (2) 2.分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来因式分解的方法叫作分组分解法。分组分解法的关键在于如何分组。 【例5】把分解因式。 变式：把分解因式。 3．分组后能直接运用公式 【例6】把分解因式。 变式：把分解因式。 4.十字相乘法 【例7】把下列各式因式分解： (1) (2) 变式：把下列各式因式分解： (1) (2) 5.一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行。 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫作十字相乘法。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。 【例8】把下列各式因式分解： (1) (2) 变式：因式分解： (1) (2) 6.其它因式分解的方法 【例9】分解因式 变式：分解因式 1 学科网（北京）股份有限公司 $$