精品解析：上云南省煤炭第二中学2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试题

2024－2025学年上云南省煤炭第二中学九年级12月月考数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 据文化和旅游部数据中心测算，2025年春节假期8天（1月28日至2月4日），全国国内出游亿人次，出游人次用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是三角形的几何体为（ ） A. B. C. D. 6. 新考法正多边形纸片的缺失如图，正n边形纸片被撕掉左边一部分后，发现其中两边，所在直线夹的锐角，则n的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 7. 如图，矩形中，，点P在上，，连接并延长，交的延长线于点Q，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 数学兴趣小组调查某路段私家车与公交车在不同时间段的车流量，并根据调查结果绘制了如图的统计图．根据统计图提供的信息，下列说法正确的是（　　） A. 私家车的车流量比公交车的车流量稳定 B. 私家车的车流量的平均数较大 C. 私家车与公交车的车流量在同一时间段达到最小值 D. 私家车与公交车的车流量的变化趋势相同 9. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的25元降到16元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 30% 10. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，据此规律第14个单项式为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，直线与双曲线相交于点和，已知点的坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 13. 如图，四边形内接于平分，若，则（　　） A. 5 B. C. 6 D. 4 14. 以下剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 16. 把多项式因式分解的结果是______． 17. 若点在轴上，则点在第__________象限． 18. 如图，在中，，点为中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，则的长为___________． 19. 优秀的中华民族有很多传统习俗，其中端午节吃粽子就是一种．某食品厂为了了解市民对去年销售较好的四种粽子的喜好情况．在端午节前通过发放粽子对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），其中种粽子发放了70个，种粽子发放了220个，根据不完整扇形统计图，种粽子所在扇形的圆心角的度数是__________． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 20. （1）计算：； （2）解方程：． 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，，时，求的长． 22. 杭州湾跨海大桥，它是中国第一座真正意义上的跨海大桥，全长40千米，现计划经过路面改造，实施提高限速，提高限速后比提高限速前增加了20千米/小时，汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟，大桥在现有条件下安全行驶速度不得超过100千米/小时，请你用学过的知识说明在大桥的现有条件下是否还可以再提高限速？ 23. 陕西是中华文明与文化的发祥地，其饮食文化源远流长，洋溢着浓郁的西北风情.青青一家三口打算在下个周末前往西安进行一日游，决定从“.biangbiang面”“.秦镇凉皮”“.羊肉泡馍”“.蜜枣甑糕”这4种特色美食中随机选取2种进行品尝，由于一时间不知道如何选择，于是青青做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别写有这4种美食，将卡片背面朝上洗匀后，让妈妈先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，爸爸再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，爸爸妈妈抽取的两张卡片上写的是哪2种美食，他们就去品尝哪2种美食. （1）妈妈抽取的卡片正面是“.羊肉泡馍”的概率为______. （2）请用列表法或画树状图的方法求青青一家最终选择品尝“.秦镇凉皮”和“.蜜枣甑糕”这2种美食的概率. 24. 已知：如图，平分，于点D． （1）尺规作图：作直线，使，与相交于点E．（请保留作图痕迹） （2）在上题条件下已知，，求的长． 25. 已知A地、汽修厂、B地依次在同一条直线上，A，B两地相距，汽修厂离B地．某天业务员小张驾车从A地出发去B地，当他匀速行驶了后，汽车故障灯报警，于是按原路匀速返回，行驶了到达刚经过的汽修厂，在汽修厂停留了进行检修，修好车后，匀速行驶了到达B地．下面图中x表示时间，y表示离B地的距离．图象反映了这个过程中小张离B地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 86 （2）填空：A地到汽修厂的距离为________；小张从汽修厂出发到B地的速度为________； （3）当时，请直接写出小张离B地的距离y关于时间x的函数解析式． 26. 如图，抛物线过点，与轴交于点，，对称轴是，．矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； （3）当矩形周长最大时，保持矩形不变，把抛物线向下平移个单位，要使抛物线与矩形只有两个交点，直接写出的取值范围． 27. 如图①，已知是⊙的直径，是上的一个动点（点与点、不重合），连接．是的中点，作弦，垂足为． （1）若点和点不重合，连接、和．当是等腰三角形时，求的度数． （2）若点和点重合，如图②．探索与的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年上云南省煤炭第二中学九年级12月月考数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面四个数中，最小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数是：． 故选：B． 2. 据文化和旅游部数据中心测算，2025年春节假期8天（1月28日至2月4日），全国国内出游亿人次，出游人次用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：亿， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，积的乘方运算法则，即可判断答案． 【详解】解：A、因为，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 4. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列几何体放置在水平面上，其中俯视图是三角形的几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图中的俯视图．根据题意逐项判断即可． 【详解】解：A.俯视图是圆，此选项不符合题意； B. 俯视图是三角形，此选项符合题意； C. 俯视图是长方形，此选项不符合题意； D. 俯视图是带圆心的圆，此选项不符合题意． 故选：B． 6. 新考法正多边形纸片的缺失如图，正n边形纸片被撕掉左边一部分后，发现其中两边，所在直线夹的锐角，则n的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质，圆满周角定理，熟练掌握正多边形和圆的相关知识是解题的关键． 连接，，作正n边形的外接圆，，连接，，，， 先证明，从而由三角形内角和求得，由圆周角定理求得，从而可求得正n边形的中心角，即可求解． 【详解】解：连接，，作正n边形的外接圆，连接，，，，如图， ∵正n边形 ∴，， ∴ ∴，即， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵正n边形的外接圆为， ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B． 7. 如图，矩形中，，点P在上，，连接并延长，交的延长线于点Q，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，等边对等角，结合对顶角相等，两直线平行，内错角相等，得到，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵矩形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 数学兴趣小组调查某路段私家车与公交车在不同时间段的车流量，并根据调查结果绘制了如图的统计图．根据统计图提供的信息，下列说法正确的是（　　） A. 私家车的车流量比公交车的车流量稳定 B. 私家车的车流量的平均数较大 C. 私家车与公交车的车流量在同一时间段达到最小值 D. 私家车与公交车的车流量的变化趋势相同 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图表示的是事物的变化情况．也考查了统计量的选择以及平均数的意义．根统计图信息解答即可． 【详解】解：由统计图可知： 公交车的车流量比私家车的车流量稳定，故选项A不符合题意； 私家车的车流量的平均数较大，故选项B符合题意； 私家车与公交车的车流量不在同一时间段达到最小值，故选项C不符合题意； 私家车与公交车的车流量的变化趋势不相同，私家车先升后降再升，公交车呈先升后降趋势，故选项D不符合题意； 故选：B． 9. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的25元降到16元，则平均每次降价的百分率为（ ） A. 10% B. 15% C. 20% D. 30% 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为x，然后根据商品经过连续两次降价，销售单价由原来的25元降到16元，列出方程求解即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得或（舍去）， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． 10. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，据此规律第14个单项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是数字的变化规律和单项式，根据题意可知，第个单项式为：，即可得出第14个单项式为：．从题目中找出数字间的变化规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，按一定规律排列的单项式：，，，，，…， ∴第个单项式为：， ∴第14个单项式为：， 故选：C． 11. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正切函数，由图得，即可求解． 【详解】解：如图， 在中，． 故选：B． 12. 如图，直线与双曲线相交于点和，已知点的坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由反比例函数的中心对称性得出点的坐标为， 由函数图象即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：直线与双曲线相交于点和，已知点的坐标为， 点的坐标为， 由图象可得，不等式的解集为或， 故选：D． 13. 如图，四边形内接于平分，若，则（　　） A. 5 B. C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了平行线的性质，圆周角定理，等角对等边，连接，根据，得出，根据角平分线得出， 等量代换得出，等角对等边得出，圆周角定理和等量代换得出，等角对等边得出． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 14. 以下剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 15. 如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形与圆锥之间的关系，勾股定理，弧长公式；理解扇形与圆锥之间的关系是解题的关键．由弧长公式得圆锥的底面圆的周长为，再由圆锥的底面圆的半径、高、母线之间的关系，即可求解． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 则这个圆锥形容器的高为（）， 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 16. 把多项式因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 17. 若点在轴上，则点在第__________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征以及象限的判断．解题的关键是根据点在y轴上的坐标特点求出m的值，再确定点N的坐标，进而判断其所在象限． 先根据点在y轴上，可知其横坐标为0，求出m的值；再将m的值代入点的坐标中，得到点N的具体坐标；最后根据各象限内点的坐标特征判断点N所在的象限． 【详解】解：∵点在y轴上， 又∵y轴上点的横坐标为0， ∴ 解得． 将代入点的坐标中， 可得点N的坐标为，即 ∵第三象限内的点横坐标为负，纵坐标为负， 而点N的横坐标，纵坐标， ∴点N在第三象限． 故答案为：三． 18. 如图，在中，，点为中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，取中点，连接，设（），求得，证明，得到，即，解出，再利用勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：取中点，连接，如图： ∵，点是中点， ∴， 设（）， ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，点分别是中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 19. 优秀的中华民族有很多传统习俗，其中端午节吃粽子就是一种．某食品厂为了了解市民对去年销售较好的四种粽子的喜好情况．在端午节前通过发放粽子对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），其中种粽子发放了70个，种粽子发放了220个，根据不完整扇形统计图，种粽子所在扇形的圆心角的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求扇形统计图某项的圆心角，涉及扇形统计图、求扇形统计图某项圆心角的度数，先由扇形统计图及题中数据求出种粽子的占比，再计算种粽子所在扇形的圆心角的度数，熟练掌握扇形统计图中计算某项圆心角的度数的方法是解决问题的关键． 【详解】解：由扇形统计图中占比为，种粽子发放了220个， 粽子的总投放量为个， 种粽子的占比为， 种粽子的占比为，则种粽子所在扇形的圆心角的度数是， 故答案为：． 三、计算题：本大题共1小题，共6分． 20. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，利用因式分解法求一元二次方程的根，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）利用实数的运算法则进行求解即可； （2）利用因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：（1） ； （2） 或 ∴，． 四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图，在中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，，时，求的长． 【答案】（1） 证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，运用平行四边形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出，，再证，则，得，求出，进而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：或,（舍去）， 即． 22. 杭州湾跨海大桥，它是中国第一座真正意义上的跨海大桥，全长40千米，现计划经过路面改造，实施提高限速，提高限速后比提高限速前增加了20千米/小时，汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟，大桥在现有条件下安全行驶速度不得超过100千米/小时，请你用学过的知识说明在大桥的现有条件下是否还可以再提高限速？ 【答案】在大桥的现有条件下还可以再提高限速 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设提速前的限速是x千米/小时，则提速后的限速为千米/小时，根据提速后汽车最快通过大桥时间可以减少10分钟建立方程求出提速前的限速即可得到结论． 【详解】解：设提速前的限速是x千米/小时，则提速后的限速为千米/小时， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∵， ∴在大桥的现有条件下还可以再提高限速． 23. 陕西是中华文明与文化的发祥地，其饮食文化源远流长，洋溢着浓郁的西北风情.青青一家三口打算在下个周末前往西安进行一日游，决定从“.biangbiang面”“.秦镇凉皮”“.羊肉泡馍”“.蜜枣甑糕”这4种特色美食中随机选取2种进行品尝，由于一时间不知道如何选择，于是青青做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别写有这4种美食，将卡片背面朝上洗匀后，让妈妈先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，爸爸再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，爸爸妈妈抽取的两张卡片上写的是哪2种美食，他们就去品尝哪2种美食. （1）妈妈抽取的卡片正面是“.羊肉泡馍”的概率为______. （2）请用列表法或画树状图的方法求青青一家最终选择品尝“.秦镇凉皮”和“.蜜枣甑糕”这2种美食的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及青青一家最终选择品尝“.秦镇凉皮”和“.蜜枣甑糕”这2种美食的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 ∵有A，B，C，D共4种特色美食， ∴妈妈抽取的卡片正面是“.羊肉泡馍”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下； 由此可得共有12种等可能情况，青青一家最终选择品尝“.秦镇凉皮”和“.蜜枣甑糕”这2种美食的情况有2种等可能情况， ∴青青一家最终选择品尝“.秦镇凉皮”和“.蜜枣甑糕”这2种美食的概率为 24. 已知：如图，平分，于点D． （1）尺规作图：作直线，使，与相交于点E．（请保留作图痕迹） （2）在上题条件下已知，，求的长． 【答案】（1） 如图，直线即为求作的； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图一复杂作图，角平分线的定义，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键 是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. （1）在的左侧作，交于点即可； （2）过点作于点，解直角三角形求出，，再利用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：由作法可知：， ； 【小问2详解】 解：过点作于， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 已知A地、汽修厂、B地依次在同一条直线上，A，B两地相距，汽修厂离B地．某天业务员小张驾车从A地出发去B地，当他匀速行驶了后，汽车故障灯报警，于是按原路匀速返回，行驶了到达刚经过的汽修厂，在汽修厂停留了进行检修，修好车后，匀速行驶了到达B地．下面图中x表示时间，y表示离B地的距离．图象反映了这个过程中小张离B地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）填表： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 86 （2）填空：A地到汽修厂的距离为________；小张从汽修厂出发到B地的速度为________； （3）当时，请直接写出小张离B地的距离y关于时间x的函数解析式． 【答案】（1）100，86 （2）64，2 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，从图像中获得所需信息是解题关键． （1）先求出小张前的速度，然后求出小张时，离B地的距离，最后根据图像得出时，离B地的距离，即可获得答案； （2）根据图像求出A地到汽修厂的距离即可；根据图像求出小张从汽修厂出发到B地的速度即可； （3）根据函数图像，分两种情况：当时，当时，分别求出函数解析式即可． 【小问1详解】 解：根据题意，小张前的速度为： ， 则时，小张离B地的距离为： ； 由图像可知，当小张离开A地时，距离B地， 填表如下： 小张离开A地的时间 30 50 80 100 小张离B地的距离 120 100 86 86 【小问2详解】解：根据图像得：A地到汽修厂的距离为； 小张从汽修厂出发到B地的速度为： ； 【小问3详解】 解：根据函数图象可知：当时，小张离B地的距离为， 因此当时，； 当时， 设小张离B地的距离关于时间的函数解析式为， 将点、代入， 可得， 解得， ∴此时． 综上所述，小张离B地的距离关于时间的函数解析式为： ； 26. 如图，抛物线过点，与轴交于点，，对称轴是，．矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； （3）当矩形周长最大时，保持矩形不变，把抛物线向下平移个单位，要使抛物线与矩形只有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2），的最大值是 （3） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，求抛物线的解析式，二次函数的性质，二次函数的平移问题等，熟练掌握待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）根据抛物线的对称性得出点和点的坐标，根据待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线的对称轴得出点和点的坐标，根据矩形的周长公式即可列出函数解析式，配方成顶点坐标式即可求解； （3）分别求出抛物线的顶点坐标和点的坐标，结合抛物线平移过程中与矩形的交点个数，即可求解． 【小问1详解】 解： 对称轴是，， ∴，． 设抛物线的函数表达式为， ∵，在抛物线上， 代入得，解得 ， ∴． 即抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵，抛物线的对称轴是， 结合题意可得，， ∴，， ∴， 即与的函数关系式是， 当时的值最大，的最大值是； 【小问3详解】 解：∵， 即顶点坐标是． 当矩形周长最大时，， ∴． 即当抛物线的顶点在上时，拋物线与矩形恰好有个交点，此时抛物线向下平移个单位长度； 当抛物线的顶点在轴上时，抛物线与矩形只有个交点，此时抛物线向下平移个单位长度． 当抛物线顶点在矩形内部时，抛物线与矩形只有两个交点． 所以时抛物线顶点在矩形内部，即抛物线与矩形只有两个交点． 27. 如图①，已知是⊙的直径，是上的一个动点（点与点、不重合），连接．是的中点，作弦，垂足为． （1）若点和点不重合，连接、和．当是等腰三角形时，求的度数． （2）若点和点重合，如图②．探索与的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）如图，设，，由是等腰三角形，可得，从而得，得到，再由是的中点，可得，从而得，得，由是直径，可得①，根据，可得，即②，解方程组即可得； （）如图，连接，，设，由已知可得，，再由三角形内和定理可得，从而得，中，根据勾股定理即可得． 【小问1详解】 解：如图，设，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴①， ∵， ∴， ∴，即②， ，解得，即； 【小问2详解】 解：如图，连接，， 设，由于是的中点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，即， ∴， ∵是直径， ∴，中：， ， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、直径所对的圆周角是直角等，结合图形特点，选择恰当的方法进行解答是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $