精品解析：广东省陆丰市碣石中学2024-2025学年上学期九年级11月月考数学试题

2024－2025学年度第一学期碣石中学九年级阶段考试（二） 数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 实数6不能写成的形式是（ ） A. B. C. D. 2. 若成立，则的取值范围是（ ） A. 为任意数 B. C. D. 3. 把两个一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣a的图象在同一坐标系中画出，则可能是下面图象中的（　　） A. B. C. D. 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 5. 下列命题中真命题是（ ） A. 三内角之比为的三角形是直角三角形 B. 三角形的外角等于两个内角的和 C. 若有意义，则 D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（ ）   A. 5 B. 4 C. 2 D. 2.5 8. 若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )． A. 3.6 B. 7.2 C. 1.8 D. 14.4 9. 如图，是将矩形纸片沿对角线折叠得到的，图中（包括实线，虚线在内）共有全等三角形（ ） A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 10. 已知二次函数的图象如图所示．有下列结论．①；②；③；④；⑤．其中，正确结论是（ ） A. ①②③④⑤ B. ③④⑤ C. ①②③④ D. ①②⑤ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 12. 如图是一个长方体的表面展开图，每个面都标有字母，如果F在前面，从左面看是B，那么向上的面标的字母是________． 13. 已知是关于的方程的解，则的值是__________． 14. 如图，，点为射线上一顶点，点在射线上移动，当为等腰三角形时，_________． 15. 因式分解：________． 三、解答题（一）（16题每小题4分，共8分，17、18题各6分．共20分） 16. （1）计算． （2）先化简，后求值，其中． 17. 求抛物线的顶点坐标，并指出其对称轴． 18. 如图，已知原点为，点，将三角形向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到三角形． （1）画出； （2）求的面积． 解答题（二）（每小题8分，共32分） 19. 某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次抽样调查(每名学生必须选择且只能选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图. 请你根据图中信息，回答下列问题： (1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； (3)若该学校共有学生2000人，请问该学校大约有多少同学最喜爱“小品”节目？ 20. 杭州亚运会于2023年9月23日开幕，某商店以2元/张的价格批发了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，若每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定，纪念品售价不能超过批发价的3倍． （1）当每张书签定价为5元时，商店每天能卖出__________件； （2）如果商店要实现每天675元的销售利润，该如何定价？ 21. 如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作 交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）连接OB，若，，求OB的长． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 解答题（三）（23题11分、24题12共23分） 23. 根据以下素材，探索并完成任务． 水费、用水量是多少? 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段引导市民节约用水． 素材2 每户每月用水量不超过15立方米时，水费按a元/立方米收费； 每户每月用水量超过15立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按b元/立方米收费． 素材3 某用户今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 16 50 5 20 70 问题解决 任务1 确定用水单价 求a、b的值． 任务2 确定用水量 某用户预算6月份缴水费不超过80元，那么该用户这个月的用水量最多是多少立方米? 24. 已知：如图，是等边三角形，点在的延长线上． ①已知条件：点为线段中点结论：； ②已知条件：结论：； ③已知条件：平分，结论：． 在①②③中，选择一个你认为正确的并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期碣石中学九年级阶段考试（二） 数学试卷 （时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 实数6不能写成的形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的性质化简后判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 2. 若成立，则的取值范围是（ ） A. 为任意数 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的意义，根据零指数幂的意义即可求解，掌握零指数幂的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 故选：． 3. 把两个一次函数y＝ax+2与y＝2x﹣a的图象在同一坐标系中画出，则可能是下面图象中的（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分a＜0和a＞0两种情况判断两条直线经过的象限即可判断． 【详解】解：当a＜0时，一次函数y＝ax+2经过一、二、四象限，一次函数y＝2x﹣a经过一、二、三象限； 当a＞0时，一次函数y＝ax+2经过一、二、三象限，一次函数y＝2x﹣a经过一、三、四象限． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数的图象是解题的关键. 4. 下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程，叫一元二次方程，据此判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、中未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是一元二次方程，故本选项符合题意； 、含有个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：． 5. 下列命题中真命题是（ ） A. 三内角之比为的三角形是直角三角形 B. 三角形的外角等于两个内角的和 C. 若有意义，则 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出三角形的最大内角、根据三角形外角的性质、二次根式有意义的条件、无理数的估算即可得到解答．此题考查了直角三角形的定义、三角形外角的性质、二次根式有意义的条件、无理数的估算等知识，熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 【详解】解：A．三内角之比为的三角形中最大内角为，即三角形是直角三角形，故选项符合题意； B．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，故选项错误，不符合题意； C．若有意义，则，则不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式组，在数轴表示即可； 【详解】解不等式组得， ， 故不等式的解集为：， 在数轴表示为； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的求解及解集表示，准确分析是解题的关键． 7. 如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于（ ）   A. 5 B. 4 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件先得出是的中位线，求出长度，再利用直角三角形斜边中线定理进行求解即可． 【详解】解：∵，分别为，边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵于，点是的中点， ∴, 故选：A． 8. 若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6，则对角线的长为( )． A. 3.6 B. 7.2 C. 1.8 D. 14.4 【答案】B 【解析】 【分析】如图，根据矩形性质得出AC=BD，AO=OC=AC，BO=OD=BD，求出OA=OB，得出△AOB是等边三角形，求出AB=AO=OB，即可得出答案． 【详解】如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AO=OC=AC，BO=OD=BD， ∴OA=OB， ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=180°-120°=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=AO=OB=3.6cm， ∴BD=AC=2AO=7.2cm， 故选B． 【点睛】本题考查了矩形性质和等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出等边三角形AOB和求出BD=AC=2AO． 9. 如图，是将矩形纸片沿对角线折叠得到的，图中（包括实线，虚线在内）共有全等三角形（ ） A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据折叠的性质、全等三角形的判定、矩形的性质进行解答即可． 【详解】如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是将矩形纸片沿对角线折叠得到的， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴ 综上可知，图中（包括实线，虚线在内）共有4对全等三角形． 故选：C． 10. 已知二次函数的图象如图所示．有下列结论．①；②；③；④；⑤．其中，正确结论是（ ） A. ①②③④⑤ B. ③④⑤ C. ①②③④ D. ①②⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想． 利用二次函数的图象和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：①抛物线与轴有两个交点， ∴，该选项正确，符合题意； ②由抛物线开口向上得，，对称轴位于轴右侧，符号相异，，与轴交于负半轴得，， ∴，该选项正确，符合题意； ③由对称轴为直线得，， ∴， 即， 当时，， 通过图象可得，，该选项正确，符合题意； ④当时，， 通过图象可得，，该选项正确，符合题意； ⑤当时，， 通过图象可得，， 当时，， 通过图象可得，， ∴， ∴，该选项错误，不符合题意； 所以，正确选项为：①②③④， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 12. 如图是一个长方体的表面展开图，每个面都标有字母，如果F在前面，从左面看是B，那么向上的面标的字母是________． 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体展开图的特点，对立面之间必然隔着一个长方形，进行求解即可 【详解】解：由长方体的展开图可知：“A”面与“D”面相对，“C”面与“F”面相对，“B”面与“E”面相对， ∵F面向前时，从左面看是B，那么向上的面标的字母是D， 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了长方体展开图的特点，熟知长方体展开图的特点是解题的关键． 13. 已知是关于的方程的解，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：把x=2代入方程得：3a=a+2， 解得：a=． 故答案为：． 14. 如图，，点为射线上一顶点，点在射线上移动，当为等腰三角形时，_________． 【答案】 【解析】 【分析】分三种情形讨论①当OA=AB时；②当OA=OB时；③当OB=AB时；分别求解即可； 【详解】解：①当OA=AB时 ∴∠ABO=∠MON=30°， ②当OA=OB时 ∴∠ABO=∠BAO= ③当OB=AB时 ∴∠OAB=∠MON=30° ∴∠ABO=180°-∠OAB-∠MON=120° 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题 15. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式是解题关键．根据平方差公式因式分解，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 三、解答题（一）（16题每小题4分，共8分，17、18题各6分．共20分） 16. （1）计算． （2）先化简，后求值，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算以及整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握乘方、开方运算规则和整式的加减运算法则，准确进行计算和化简． （1）分别计算乘方、立方根、算术平方根，再进行加减运算； （2）先去括号合并同类项化简整式，再代入x、y的值计算结果． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 当时， 原式 17. 求抛物线的顶点坐标，并指出其对称轴． 【答案】顶点坐标为，对称轴为直线． 【解析】 【分析】把解析式表示成顶点式，解答即可． 本题考查了利用抛物线的顶点式求顶点坐标和对称轴，熟练掌握顶点式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 18. 如图，已知原点为，点，将三角形向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到三角形． （1）画出； （2）求的面积． 【答案】（1） 即为所求： （2）6 【解析】 【分析】（1）按照平移方式找到平移后的对应点,顺次连接即可； （2）用包含的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积为． 【点睛】此题考查了平移作图、网格中三角形的面积等知识，根据平移方式画出是解题的关键． 解答题（二）（每小题8分，共32分） 19. 某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次抽样调查(每名学生必须选择且只能选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图. 请你根据图中信息，回答下列问题： (1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； (3)若该学校共有学生2000人，请问该学校大约有多少同学最喜爱“小品”节目？ 【答案】(1)本次共调查了50名学生． 补全条形统计图如下． (2) “歌曲”所在扇形的圆心角的度数为＝72°.（3）该校2000名学生中最喜爱小品的人数约有640名． 【解析】 【分析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数,先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图； （2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数； （3）样本估计总体，用总人数2000乘以样本中“小品”所占的比． 【详解】(1)14÷28%＝50， ∴本次共调查了50名学生． (2)在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝72°. （3）2000640（名）． 答：该校2000名学生中最喜爱小品的人数约有640名． 【点睛】本题考查条形统计图及其制作方法、扇形统计图和统计图中各个数据之间的关系，正确识别统计图是解答问题的前提． 20. 杭州亚运会于2023年9月23日开幕，某商店以2元/张的价格批发了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，若每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定，纪念品售价不能超过批发价的3倍． （1）当每张书签定价为5元时，商店每天能卖出__________件； （2）如果商店要实现每天675元的销售利润，该如何定价？ 【答案】（1）300 （2）定价为3.5元 【解析】 【分析】（1）用500减去因为价钱上涨而减少的销售量即可得到答案； （2）设定价为x元，根据利润单价利润数量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：商店每天能卖出件, 故答案为：； 【小问2详解】 设定价为x元， ∵， ∴由题可知． ∴． ∴． 解得或． ∵，∴． ∴定价应该为3.5元． 答：定价为3.5元． 【点睛】本题主要考查了有理数混合计算的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出对应的式子和方程是解题的关键． 21. 如图，在矩形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作 交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）连接OB，若，，求OB的长． 【答案】 （1）∵O是AC的中点，且EF⊥AC， ∴AF=CF，AE=CE，OA=OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AFO=∠CEO， 在△AOF和△COE中，， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴AF＝CE， ∴AF＝CF＝CE＝AE， ∴四边形AECF是菱形； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论； （2）由勾股定理可求BE，AC的长，由直角三角形的性质可求解． 【详解】证明：（1） 略 （2）如图，连接BO， ∵AB＝4，AF＝AE＝EC＝5， ∴BE＝， ∴BC＝8， ∴AC＝ ∵AO＝CO，∠ABC＝90°， ∴BO＝AC＝． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得是关键． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】 （1）证明：依题意可得 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）． 【解析】 【分析】（1）求出△的值即可证明； （2），根据根与系数的关系得到，代入，得到关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）略 （2）由根与系数的关系可得： 由，得，解得． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=−，x1x2=． 解答题（三）（23题11分、24题12共23分） 23. 根据以下素材，探索并完成任务． 水费、用水量是多少? 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段引导市民节约用水． 素材2 每户每月用水量不超过15立方米时，水费按a元/立方米收费； 每户每月用水量超过15立方米时，未超过的部分按a元/立方米收费，超过的部分按b元/立方米收费． 素材3 某用户今年4、5月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量/立方米 水费/元 4 16 50 5 20 70 问题解决 任务1 确定用水单价 求a、b的值． 任务2 确定用水量 某用户预算6月份缴水费不超过80元，那么该用户这个月的用水量最多是多少立方米? 【答案】任务1：；任务2：6月份用水量最多为22立方米 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组和不等式是解答的关键． 任务1：根据题意和表格数据列方程组求解即可； 任务2：设6月份用水量x立方米，根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意，得， 解得； 任务2：设6月份用水量x立方米， ∵当时，， ∴当时，缴水费不超过80元； 当时，由解得， ∴当时，缴水费不超过80元， 故6月份用水量最多为22立方米． 24. 已知：如图，是等边三角形，点在的延长线上． ①已知条件：点为线段中点结论：； ②已知条件：结论：； ③已知条件：平分，结论：． 在①②③中，选择一个你认为正确的并加以证明． 【答案】①③正确，②不正确， 证明：选择①：∵是等边三角形，点为线段中点， ∴； 选择②：∵是等边三角形，， ∴，即； 选择③：∵是等边三角形，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角等等，根据三线合一定理即可证明①②，由三线合一定理得到，再由等边对等角和三角形外角的性质推出，则由三角形内角和定理即可证明③． 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $