精品解析：辽宁省抚顺市清原县翔云中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2025年辽宁省抚顺市清原县祥云中学九年级3月数学月考 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 乘积为的两个数互为倒数，又 ， ∴ 的倒数是． 2. 已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 11或13 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再由第三边长是偶数求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵中，其中有两边长是2和5， ∴第三边长，即第三边长， 又∵第三边长为偶数， ∴第三边长为4或6， ∴该三角形的周长为或， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方、完全平方公式、合并同类项、同底数幂除法等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据积的乘方、完全平方公式、合并同类项、同底数幂除法逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意； B. ，故选项B错误，不符合题意； C. 和不是同类项，不能合并，故选项C错误，不符合题意； D. ，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 4. 如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】C 【解析】 【分析】将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形． 【详解】解：如图， 将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1，3，5，6，7有5种情况可使所得图案是一个轴对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 6. 若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． 7. 某次数学竞赛，45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 最高分 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、频数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．他想判断自己是否一定能获奖，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于总共有45个人，则第23名的成绩是中位数，且只有22人获奖， 所以他判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的中位数． 故选：C 8. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，是的弦，交于点C，点D是上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆周角定理及垂径定理是解题的关键．根据的度数，结合圆周角定理求出的度数，再根据垂径定理得出的度数，最后利用等边对等角即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴点C为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 故选：A． 10. 甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（    ） ①乙的速度为米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； ③甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有米． A. ①③ B. ①③④ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，方程思想是解答的关键． 根据速度等于路程除以时间求解． 先求出甲的速度，再根据相遇时间路程相等，列方程求解． 根据甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒，列出不等式求出的取值，再求当乙到达终点停止运动后的取值，即可求解． 用总路程减去甲走过的路程即可． 【详解】解：①∵乙用秒跑完米 ∴乙的速度为米/秒； 故①正确； ②∵乙出发时，甲先走米，用秒钟， ∴甲的速度为米/秒， ∴乙追上甲所用时间为秒， ， 秒， ∴米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒， ， ， 当乙到达终点停止运动后， ， ， 甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； 故③正确； ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：米， 即甲距离终点还有米． 故④正确； 正确的个数为①③④． 故选：B． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是_______________ 【答案】2 【解析】 【详解】解：，， ∴的立方根是． 12. 已知点在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得在各象限内y随x增大而减小，由可得点A在第三象限，点B在第一象限，进而求解． 【详解】解：∵， ∴在一，三象限时，y随x增大而减小， ∵，， ∴点A在第三象限，点B在第一象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 13. 如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为5，则阴影部分面积为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移的性质可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵沿着点B到点C的方向平移到的位置， ∴， ， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 14. 如图，平行四边形中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在上截取，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于E，若，则点F的坐标为_____ 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交轴于点，平行四边形的性质结合角平分线的定义推出，进而得到，推出四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，再根据等积法求出的长，勾股定理求出的长，即可得出点的坐标． 【详解】解：连接，设交轴于点，交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为菱形， ∴，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定和性质，勾股定理，等积法求出菱形的高，解题的关键是得到四边形为菱形． 15. 如图，四边形中，，，，，点、分别是对角线，边上的动点，且．若是的中点，是的中点，则的最小值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，过点作于点，，首先证明为等边三角形，易得，，再证明，易得；证明垂直平分，在中，解得的值，进而可得；证明四边形为平行四边形，可知与相交于点，且，即可证明为的中位线，故当时，取最小值，即此时取最小值，在中，解得的长度，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴点均在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，，且， ∴， 又∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴与相交于点，且， ∵是的中点， ∴为的中位线， ∴， 当时，如下图， 此时取最小值，即此时取最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、解直角三角形、含30度角的之间三角形的性质、三角形中位线的性质、垂线段最短等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，分式的混合运算； （1）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减运算即可； （2）先计算括号内分式的加减运算，再计算除法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【答案】（1）2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为 （2）此次价格的下降率最多是 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x，200元经过两年下降后的价格为，由此列出方程，求解方程即得答案； （2）设此次价格的下降率为m，根据题中的数量关系列出不等式，求解不等式即得答案． 【小问1详解】 设2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为x， 根据题意得，， 解得，（舍去）， 答：2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率为； 【小问2详解】 设此次价格的下降率为m， 根据题意得， 解得， 答：此次价格的下降率最多是． 18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3） 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 19. 如图是金溪二中教学用的电子白板．教室高，投影仪P发出的光线夹角，固定投影仪的吊杆，，且，．（以下结果精确到） （1）如图1，求投到白板上的影子高和白板下沿离地面的高度． （2）如图2，由于螺丝松动，吊杆顶点P向下偏移，，若、的大小无变化，求投影仪投到墙上的影子有多长？（参考数据：，，，） 【答案】（1）， （2）投影仪投到墙上的影子有． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解题意，作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键； （1）利用锐角的正切先求解，再利用线段的和差可得答案； （2）如图，过作于，先求解，，，再求解，可得，再利用线段的和差可得答案． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 如图，过作于， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴投影仪投到墙上的影子有． 20. 某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价 单价元 销售量瓶 （1）求关于的函数表达式． （2）该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值． 【答案】（1） （2），单价为元时利润最大，最大利润是元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求解析式即可求解． （2）根据每一瓶的利润乘以销量，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得，根据销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 设关于的函数表达式为 由题意得： 解得： 关于的函数表达式为． 【小问2详解】 由题意得： ， 当时，有最大值元． ∴w关于x的函数表达式为w=-10x2+240x-800，单价为元时利润最大，最大利润是元． 【小问3详解】 由题意得： 二次函数的对称轴为： ，当销售单价不超过元时，利润随着的增大而增大 ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 21. 综合与实践 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕． 把正方形纸片展平，得到图④，折痕与的交点分别为点G，H． 根据以上操作，得________°． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状，并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P，Q，M．求证：； 【深入研究】 （3）若，请求出的值． 【答案】 （1）解：为等腰直角三角形．理由如下： 在正方形纸片中，， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形； （2）证明：为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、相似三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理的应用， （1）先证明，得出，再证明得到，即可得出结论； （2）证明，得出，从而证明得出结论； （3）将绕点B顺时针旋转至，连接，证明， 得出，，设，则，，联立求出结论即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：将绕点B顺时针旋转至，连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ①， ， ， ②， 联立①②解得， ． 22. 小亮利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为2；输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为3时，输出y的值为6． （1）直接写出的值； （2）小亮在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图（2）； ①当随的增大而增大时，求的取值范围； ②若关于的方程（为实数），在时无解，求的取值范围； ③若在函数图象上有点（与不重合）．的横坐标为，的横坐标为．小亮对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】（1），， （2）①或②或③或 【解析】 【分析】（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组即可； （2）①可知一次函数解析式为：，二次函数解析式为：，当时，，对称为直线，开口向上，故时，y随着x的增大而增大；当时，，，故时，y随着x的增大而增大； ②问题转化为抛物线与直线在时无交点，考虑两个临界状态，当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点；当，，故当时，抛物线与直线在时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在时没有交点，当或时，抛物线与直线在时没有交点，即方程无解； ③ 可求点P、Q关于直线对称，当，，当时，，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，，故当，由题意得：，则；当，由题意得：，则，从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴将，代入， 得：， 解得：， ∵， ∴将，代入 得：， 解得：； 【小问2详解】 解：①∵， ∴一次函数解析式为：，二次函数解析式为： 当时，，对称为直线，开口向上， ∴时，y随着x的增大而增大； 当时，，， ∴时，y随着x的增大而增大， 综上，x的取值范围：或； ②∵， ∴，在时无解， ∴问题转化为抛物线与直线在时无交点， ∵对于，当时， ∴顶点为，如图： ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点， ∴当时，抛物线与直线在时没有交点； 当，， ∴当时，抛物线与直线在时正好一个交点， ∴当时，抛物线与直线在时没有交点， ∴当或时，抛物线与直线在时没有交点， 即：当或时，关于x的方程（t为实数），在时无解； ③∵， ∴， ∴点P、Q关于直线对称， 当，，当时，， ∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时，，时，， ∴当，如图： 由题意得：， ∴； 当，如图： 由题意得：， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省抚顺市清原县祥云中学九年级3月数学月考 （本试卷共23小题，满分120分，考试时长120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知中，其中有两边长是2和5，且的第三边长是偶数，则此三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 11或13 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在3×3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称图形，则选择的方法有（　　） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 5. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 6. 若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某次数学竞赛，45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 最高分 8. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9. 如图，是的弦，交于点C，点D是上一点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（    ） ①乙的速度为米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； ③甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有米． A. ①③ B. ①③④ C. ③④ D. ①②③④ 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的立方根是_______________ 12. 已知点在反比例函数的图象上，且，则a的取值范围是___________． 13. 如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置，，平移距离为5，则阴影部分面积为______． 14. 如图，平行四边形中，点B与原点O重合，点C落在x轴正半轴上，在上截取，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于E，若，则点F的坐标为_____ 15. 如图，四边形中，，，，，点、分别是对角线，边上的动点，且．若是的中点，是的中点，则的最小值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．2022年这种药剂价格为200元，2024年该药剂价格为98元． （1）求2022年到2024年这种药剂价格的年平均下降率； （2）该制药厂计划2025年对此药剂继续降价，并要求此种药剂的价格不低于73.5元，则此次价格的下降率最多是多少？ 18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 19. 如图是金溪二中教学用的电子白板．教室高，投影仪P发出的光线夹角，固定投影仪的吊杆，，且，．（以下结果精确到） （1）如图1，求投到白板上的影子高和白板下沿离地面的高度． （2）如图2，由于螺丝松动，吊杆顶点P向下偏移，，若、的大小无变化，求投影仪投到墙上的影子有多长？（参考数据：，，，） 20. 某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量瓶与销售单价元满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：已知每瓶进价为元，每瓶利润销售单价进价 单价元 销售量瓶 （1）求关于的函数表达式． （2）该新型饮料每月的总利润为元，求关于的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了元，每月销售量与销售单价仍满足第(1)问函数关系，当销售单价不超过元时，利润随着x的增大而增大，求的最小值． 21. 综合与实践 在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕． 把正方形纸片展平，得到图④，折痕与的交点分别为点G，H． 根据以上操作，得________°． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状，并证明； （2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P，Q，M．求证：； 【深入研究】 （3）若，请求出的值． 22. 小亮利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为2；输入x的值为1时，输出y的值为2；输入x的值为3时，输出y的值为6． （1）直接写出的值； （2）小亮在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象，如图（2）； ①当随的增大而增大时，求的取值范围； ②若关于的方程（为实数），在时无解，求的取值范围； ③若在函数图象上有点（与不重合）．的横坐标为，的横坐标为．小亮对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $