精品解析：广东省江门市江海博雅学校2024-2025学年九年级下学期数学开学考试试题

2024－2025学年广东江门博雅学校初三下数学开学考 一、单选题 1. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的画法．解决本题的关键是熟练掌握三视图的投影规律． 根据三视图的投影规律判断解决即可． 【详解】解：由图可知，从左边看上下两部分的结合的部分为两个小长方形，中间的横线看的见，故是实线， 故选：C． 2. 已知点、都在反比例函数 的图象上，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征．用待定系数法求出反比例函数的解析式是解题的关键． 先用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把点代入即可得出m的值． 【详解】解：在反比例函数 的图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为：， 点在反比例函数 的图象上， ． 故选C． 3. 把抛物线的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，进行计算即可．本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律：上加下减，左加右减，是解题的关键． 【详解】解：由题意得：； 故选D． 4. 如图，点A是⊙O上一点，连接OA．弦BC⊥OA于点D．若OD＝2，AD＝1，则BC的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接OB和OC，可得，在和中利用勾股定理求出BD和CD，即可求解． 【详解】解：连接OB和OC，如图， ， ， 在中， ， 在中， ， ． 故选：A. 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质和勾股定理等，牢固掌握以上知识点并作出辅助线是做出本题的关键． 5. 如图，扇形是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了网格的勾股定理计算，弧长公式，圆锥的侧面展开，熟练掌握弧长公式和圆锥的侧面展开是解题的关键．根据网格计算扇形的半径，圆心角，继而求得，根据弧长等于圆锥的底面周长计算即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， 根据网格，得， ∴， 解得， 故选：C． 6. 若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解. 【详解】根据题意得，， 所以． 故选A． 【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的性质. 7. 如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k值的意义，过点C作轴于点E，证明四边形为矩形，得出，求出结果即可． 【详解】解：过点C作轴于点E，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 8. 已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干中的函数图象，可知，然后即可得到函数的图象的开口方向，对称轴所在的位置和与y轴的交点位置，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象得， 二次函数图象开口向上， ∴二次项系数， 一次函数的图象过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断a、b、c的符号，利用一次函数和二次函数的性质解答． 9. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转，得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，，，，可得，，由三角形内角和可得，．从而得到．再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，， ， ，， ， ． ． ． 故选C． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键． 10. 已知二次函数，其中，当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，则关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 11. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】平面内关于原点对称的点的坐标特点为：横坐标、纵坐标都互为相反数，由此可求解． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． 12. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分，某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取《三国演义》和《西游记》的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图解答即可． 本题考查了画树状图求概率，熟练掌握画树状图是解题的关键． 【详解】解：把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A，B，C，D，根据题意，画出如下的树状图： 由树状图可知：所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等． 两本是《三国演义》和《西游记》的结果有2种， 所以P（两本是《三国演义》和《西游记》）． 故答案为：． 13. 已知抛物线，若点，点，点在该函数图像上，用“”连接为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出C关于对称轴的对称点，再根据二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：设关于对称轴的对称点为， ∵抛物线图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答此题的关键． 14. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm． 【答案】 【解析】 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】解：重物上升的高度为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 15. 如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中压轴题；如图，连接、．在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接、． ∵， ∴， ∴在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴当、E、B共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 三、解答题（一） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键． 根据公式法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ． 17. 已知：关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 【答案】（1）m＜2；（2）m=0. 【解析】 【分析】根据根的判别式直接确定m的范围，通过第一问中确定的m的范围，结合m为非负整数，直接代入进去m存在的两个值来验证方程的根是否都是整数来确定m值. 【详解】(1)∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0. ∴△=16-8m＞0. ∴m＜2 (2)∵m＜2，且m为非负整数， ∴m=0或1 当m=0时，方程为x2-4x=0，解得x1=0，x2=4，符合题意； 当m=1时，方程为x2-4x+2=0，根不是整数，不符合题意，舍去. 综上m=0 【点睛】本题考查了学生通过根的判别式来确定一元二次方程中待定系数范围，掌握代入法解题是解决此题的关键. 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是,,． （1）画出绕点C顺时针方向旋转后得到的，点D、E分别与点A、B对应； （2）在（1）的条件下，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留π） 【答案】（1） 解：如图所示； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积， 对于（1），将点A绕点C顺时针旋转得到点D，同理得到点E，再连接，可得答案； 对于（2）扫过的是以点C为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵绕点C顺时针方向旋转后得到的， ∴. 又∵， ∴线段所扫过的图形的面积． 四、解答题（二） 19. 在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，小球上分别标有数，，，． （1）摇匀后，从口袋中随机摸出一个小球．若将摸出的小球上所标的数恰好是正数记为事件，求事件的概率； （2）摇匀后，先从口袋中随机摸出一个小球（不放回），再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．若将两次摸出的小球上所标的数之和等于记为事件．用列表或画树状图的方法，求事件的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图求一个随机事件的概率．解决本题的关键是画树状图表示出一共有多少种等可能出现的事件． 根据个数中一共有个正数，可以求出摸出的小球的数为正数的概率； 画树状图可知一共有个等可能的结果，和为的结果一共有个，可以求出任意摸出个小球和为的概率． 【小问1详解】 解：在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小球，小球上的数可能是，，，共种， 这些数出现的可能性相等． 又出现的数为正数的可能有种，分别为或， ； 【小问2详解】 解：画树状图如下图所示： 从树状图可以看出共有个可能的结果，即 这些结果出现的可能性相等， 两次摸出小球上的数之和等于的结果有个， 即和（第一次摸出，且第二次摸出，或是第一次摸出，且第二次摸出）， ． 20. 中医药作为中华民族原创的医学科学，是中华文明的杰出代表，深刻反映了中华民族的世界观、价值观、生命观、健康观和方法论，兼具科学和人文的双重属性．为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，用长为24米的篱笆，一面靠墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的中草药种植地．设中草药种植地边的长为米，面积为平方米． （1）直接写出与的函数关系式：______，并写出的取值范围：______； （2）当边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）当边的长为5米时，中草药种植地面积最大，最大面积是45平方米． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）由可得出， 再根据长方形的面积公式表示出与的函数关系式，并求出其的取值范围即可． （2）根据二次函数的图像和性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：米， ∴， ∵墙的最大可用长度为9米 ∴， ∴． 故答案为：， 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， 最大值为（平方米．） 故当边的长为5米时，中草药种植地面积最大，最大面积是45平方米． 五、解答题（三） 21. 如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标； （3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由． 【答案】（1）；（2）P（，0）；（3）E（，﹣1），在． 【解析】 【分析】（1）将点A（，1）代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）先由射影定理求出BC=3，那么B（，﹣3），计算求出S△AOB=××4=．则S△AOP=S△AOB=．设点P的坐标为（m，0），列出方程求解即可； （3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（﹣，﹣1），即可求解． 【详解】（1）∵点A（，1）在反比例函数的图象上， ∴k=×1=， ∴反比例函数的表达式为； （2）∵A（，1），AB⊥x轴于点C， ∴OC=，AC=1，由射影定理得=AC•BC， 可得BC=3，B（，﹣3），S△AOB=××4=， ∴S△AOP=S△AOB=． 设点P的坐标为（m，0）， ∴×|m|×1=， ∴|m|=， ∵P是x轴的负半轴上的点， ∴m=﹣， ∴点P的坐标为（，0）； （3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下： ∵OA⊥OB，OA=2，OB=，AB=4， ∴sin∠ABO===， ∴∠ABO=30°， ∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE， ∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，∴BO=BD=，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣OC=，BC﹣DE=1， ∴E（，﹣1）， ∵×（﹣1）=， ∴点E在该反比例函数的图象上． 考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化-旋转． 22. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，E为的中点，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 又∵点在上， ∴是的切线； （2） 证明：点C是的切点， ， ， ． 又， ，， ， 又， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定及性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）连接，可知，得，进而可证得，再根据垂直可知，则，即可得，进而可证得结论； （2）根据切线的性质得出，根据已知得出，又，则，根据，得出，进而即可得证； （3）由（1）得，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质得出，，进而根据线段的和差关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ，， ，由（1）得， 在中，由勾股定理得． 点为的中点， ， ． ，， ， ， ， ，， ， ， ． 23. 如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点坐标．抛物线与轴交于点，对称轴．点横坐标为3，直线与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，过点作，点是直线BF上方抛物线上一动点，连接交于点，连接、、．求四边形面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，是平面上一点，若以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的点的横坐标． 【答案】（1）y=x2-x+4；（2）P（0，4）；（3）x=或x=或x=4或x= ． 【解析】 【分析】（1）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）连接FD，作y轴交DF于点H，四边形的面积=，是定值，可知当取到最大值时，四边形的面积取到最大值.设点P的横坐标为m，用m表示P、H的坐标，继而表示PH的长，表示，利用二次函数的最值即可解答； （3）分三种情况讨论：当AQ为边，AP为边时；当AQ为边，AP为对角线时；当AQ为对角线，AP为边时.画出相应的图形，利用菱形的性质求解即可. 【详解】解：（1）由A、B关于对称轴对称，B点坐标为（2，0），得A（-4，0）． 设二次函数解析式为， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴ ∴=x2-x+4； ∴抛物线的解析式为y=x2-x+4； （2）如图2，连接FD，作y轴交DF于点H， 设AD的解析式为y=kx+b， 在中，当x=3时，y=， ∴D点坐标是， 将A、D点坐标代入函数解析式，得 解得 ∴AD的解析式为y=x-2． ∴E点坐标是（0，-2） ∵， ∴设BF的解析式为y=x+n， 将B点坐标（2，0）代入y=x+n，得n=1, ∴设BF的解析式为y=x+1， 解方程组 得或 ∴F点坐标是（-3，）， ∴由F（-3，），D 可求得DF的解析式为y=-x， 由F（-3，），D ，E（0，-2）可知是定值， ∵四边形的面积=， ∴当取到最大值时，四边形的面积取到最大值， ∵H在DF上，P在抛物线上，得 ∴设H（m，- m ），P（m，m2-m+4）． ∴PH=m2-m+4-（- m ）=m2+． ∴==m2+． ∴当m=0时，最大是，此时四边形的面积也取到最大值， 当m=0时，m2-m+4=4，即P（0，4）； ∴当P的坐标为（0，4）时，四边形的面积最大； （3）如图3，当AQ为边，AP为边时，有两种情况， 通过计算可得AP= ， ∴AQ= ， ∴Q1的横坐标为，Q2的横坐标为； 如图4，当AQ为边，AP为对角线时， 作AP的垂直平分线交AD于点Q3, ∵AP的解析式为， ∴AP的垂直平分线的解析式为， 由可解得Q3的横坐标为x=4； 如图5，当AQ为对角线，AP为边时， 过点P作AD的垂线交AD于点R，在AD上取RQ4=AR, Q4即为所求， ∵AD的解析式为， ∴PR的解析式为， 由可解得R的横坐标为x= ； ∴Q4的横坐标为x= = ; 综上所述，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，点的横坐标为x=或x=或x=4或x= ． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，（1）中利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出A点坐标是解题关键；（2）中利用面积的和差得出二次函数是解题关键；（3）中分类讨论画出图形利用菱形的性质求解是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年广东江门博雅学校初三下数学开学考 一、单选题 1. 如图所示几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点、都在反比例函数 的图象上，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 6 3. 把抛物线的图象向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得函数解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点A是⊙O上一点，连接OA．弦BC⊥OA于点D．若OD＝2，AD＝1，则BC的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5. 如图，扇形是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程的两根为，，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣2 7. 如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 8. 已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，将绕点C顺时针旋转，得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，其中，当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 12. “四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中国优秀文化的重要组成部分，某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取《三国演义》和《西游记》的概率是__________． 13. 已知抛物线，若点，点，点在该函数图像上，用“”连接为______． 14. 如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了________cm． 15. 如图，是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接．过点C作于E，连接，则的最小值是_______． 三、解答题（一） 16. 解方程：． 17. 已知：关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是,,． （1）画出绕点C顺时针方向旋转后得到的，点D、E分别与点A、B对应； （2）在（1）的条件下，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留π） 四、解答题（二） 19. 在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，小球上分别标有数，，，． （1）摇匀后，从口袋中随机摸出一个小球．若将摸出的小球上所标的数恰好是正数记为事件，求事件的概率； （2）摇匀后，先从口袋中随机摸出一个小球（不放回），再从余下的三个小球中随机摸出一个小球．若将两次摸出的小球上所标的数之和等于记为事件．用列表或画树状图的方法，求事件的概率． 20. 中医药作为中华民族原创的医学科学，是中华文明的杰出代表，深刻反映了中华民族的世界观、价值观、生命观、健康观和方法论，兼具科学和人文的双重属性．为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，用长为24米的篱笆，一面靠墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的中草药种植地．设中草药种植地边的长为米，面积为平方米． （1）直接写出与的函数关系式：______，并写出的取值范围：______； （2）当边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？ 五、解答题（三） 21. 如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=S△AOB，求点P的坐标； （3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由． 22. 如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，E为的中点，求的长． 23. 如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点坐标．抛物线与轴交于点，对称轴．点横坐标为3，直线与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，过点作，点是直线BF上方抛物线上一动点，连接交于点，连接、、．求四边形面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，是平面上一点，若以点、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $