2025年四川省泸州市江阳区习之学校中考数学模拟试卷

2025年四川省泸州市江阳区习之学校中考数学模拟试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）的值是（　　） A．±5 B． C．5 D．﹣5 2．（3分）九天揽月，从“嫦娥”一号到六号，“嫦娥”探月之旅每一步都令人激动．已知地球与月球的平均距离约为384400千米，数据384400用科学记数法表示为（　　） A．38.44×104 B．0.3844×106 C．3.844×104 D．3.844×105 3．（3分）下列函数中，自变量的取值范围是x＞3的是（　　） A．y＝x﹣3 B． C． D． 4．（3分）如图，直线a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点P，Q，PA⊥l于点P．若∠1＝64°，则∠2的度数为（　　） A．26° B．36° C．116° D．64° 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a3•a＝a4 B．（2a3）2＝4a5 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．3a6÷a2＝3a3 6．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是矩形，该条件是（　　） A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA 7．（3分）估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．（3分）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 9．（3分）如图，点A，B，C，D都在半径为4的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（　　） A． B． C． D．2 10．（3分）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　） A． B． C． D．1 11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是（　　） A． B． C． D． 12．（3分）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）因式分解：3a2﹣18a+27＝　 　 ． 14．（3分）学校开展红色歌曲演唱活动，提供了《映山红》、《红梅赞》、《十送红军》、《保卫黄河》这4首歌曲．要求每个班从中随机抽取2首进行排练，则某班抽到《映山红》和《保卫黄河》的概率是 　 　 ． 15．（3分）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，且关于y的方程5+ay＝2（y﹣）的解是负整数，则符合条件的所有整数a的和是　 　 ． 16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点M，N分别在边AB，BC上（不与顶点重合），且满足∠BAN＝∠ADM，连结AN，DM交于点P．E，F分别是边AB，BC的中点，连结PE，PF，则的最小值为　 　 ． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17．（6分）计算：． 18．（6分）如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB＝ED，∠A＝∠E．求证：BC＝BD． 19．（6分）化简：． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20．（7分）某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． （1）分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； （2）商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？ 21．（7分）小李、小万两名同学5次数学成绩统计如下，他们的5次总成绩相同，现要从小李、小万两名同学中选择一名同学去参加比赛，小邓同学根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图． 次序 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 小李成绩 90 40 70 40 60 小万成绩 70 50 70 a 70 请解答下列问题： （1）a＝ 　 　 ，＝ 　 　 ，＝ 　 　 ． （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线图． （3）S小李2＝360，则小万成绩的方差是 　 　 ，可看出 　 　 （填“小李”或“小万”，下同）同学的成绩比较稳定，从平均数和方差的角度分析，　 　 同学将被选中． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22．（8分）如图，习之学校九年级某班的数学兴趣小组在操场上进行测量活动，成员小刘在观察点A测得观察点B在A的正北方向，成员小万在观察点B测得观察点C在B的北偏西41°的方向上，且AB距离为27米，成员小李在观察点C测得观察点A在C的南偏东26.5°的方向上，请帮小邓同学计算观测点B，C之间的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin41°≈0.66，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87） 23．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞4，直接写出t的取值范围． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点，连接CD，以CD为直径作⊙O，分别交AC，BC于E，F两点，连接BE交CD于点G，交⊙O于点H，连接DH，∠DHE＝∠CBD． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若，求⊙O的半径及EG的长． 25．（12分）如图（1），抛物线交x轴于A，B两点（点A在左边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）D是抛物线第四象限上的一点，连接AD分别交BC，OC于E，F两点，若∠FEC＝∠FCE，求直线AD的解析式； （3）平移抛物线使它的顶点为（0，1），如图（2）．R是y轴上一个定点，以点R为直角顶点作Rt△RST，使顶点S，T分别在x轴和抛物线上．若Rt△RST在变化的过程中，直线ST与抛物线始终有唯一公共点，求点R的坐标． 2025年四川省泸州市江阳区习之学校中考数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D D A A A C A A D A 题号 12 答案 C 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）的值是（　　） A．±5 B． C．5 D．﹣5 【分析】根据25是5的平方，求的值即可． 【解答】解：∵52＝25， ∴＝5， ∴的值是5． 故选：C． 【点评】本题考查了算术平方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．（3分）九天揽月，从“嫦娥”一号到六号，“嫦娥”探月之旅每一步都令人激动．已知地球与月球的平均距离约为384400千米，数据384400用科学记数法表示为（　　） A．38.44×104 B．0.3844×106 C．3.844×104 D．3.844×105 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：384400＝3.844×105． 故选：D． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）下列函数中，自变量的取值范围是x＞3的是（　　） A．y＝x﹣3 B． C． D． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、自变量的取值范围是全体实数，故本选项错误； B、自变量的取值范围是x≠3，故本选项错误； C、自变量的取值范围是x≥3，故本选项错误； D、自变量的取值范围是x＞3，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 4．（3分）如图，直线a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点P，Q，PA⊥l于点P．若∠1＝64°，则∠2的度数为（　　） A．26° B．36° C．116° D．64° 【分析】先根据两直线平行，内错角相等得∠3＝∠1＝64°，结合垂直的定义得∠APQ＝90°，再进行列式计算，即可作答． 【解答】解：如图所示： ∵a∥b，∠1＝64°， ∴∠3＝∠1＝64°， ∵PA⊥l， ∴∠APQ＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣64°＝26°， 即∠2的度数为26°， 故选：A． 【点评】本题考查了垂线的定义，平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 5．（3分）下列运算正确的是（　　） A．a3•a＝a4 B．（2a3）2＝4a5 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．3a6÷a2＝3a3 【分析】根据整式的混合运算法则一一计算判断． 【解答】解：A、a3•a＝a4，正确，本选项符合题意； B、（2a3）2＝4a6，本选项错误，不符合题意； C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，本选项错误，不符合题意； D、3a6÷a2＝3a4，本选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则． 6．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O．添加下列一个条件，仍不能判定▱ABCD是矩形，该条件是（　　） A．∠AOB＝90° B．∠ABC＝90° C．AC＝BD D．∠OAD＝∠ODA 【分析】根据平行四边形的性质，矩形的判定方法即可一一判断即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠AOB＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形，故A错误；符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°， ∴▱ABCD是矩形，故B不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故C不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2AO，OD＝2BD， ∵∠OAD＝∠ODA， ∴OA＝OD， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形，故D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 7．（3分）估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到﹣2的大小即可． 【解答】解：∵＜＜，即5＜＜6， ∴3＜﹣2＜4， 故选：C． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 8．（3分）已知m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根，则m2+5m+n+2024的值是（　　） A．2023 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，将其代入原式中即可求出结论． 【解答】解：∵m，n是方程x2+4x﹣3＝0的两个实数根， ∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4， ∴m2+4m＝3， ∴m2+5m+n+2024 ＝m2+4m+m+n+2024 ＝3﹣4+2024 ＝2023． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键． 9．（3分）如图，点A，B，C，D都在半径为4的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（　　） A． B． C． D．2 【分析】由垂径定理推出＝，BC＝2BH，由圆周角定理得到∠AOB＝2∠CDA＝60°，由sinO＝，求出BH＝2，即可得到BC的长． 【解答】解：∵OA⊥BC， ∴＝，BC＝2BH， ∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°， ∵sinO＝sin60°＝＝，OB＝4， ∴BH＝2， ∴BC＝4． 故选：A． 【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠AOB＝2∠CDA，由锐角的正弦定义求出BH的长． 10．（3分）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的比值是（　　） A． B． C． D．1 【分析】根据H是AB的黄金分割点求出AH2＝BH⋅AB，求出，S2＝BH⋅BC＝BH⋅AB，再得出答案即可． 【解答】解：∵H是AB的黄金分割点， ∴AH2＝BH⋅AB， ∵，S2＝BH⋅BC＝BH⋅AB， ∴S1＝S2，即， 故选：D． 【点评】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键． 11．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF＝CE，BF＝2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点F作FH∥BC交AC于H，利用SAS证明△DFA≌△DEC，可得DF＝DE，∠FDA＝∠EDC，证得△DEF是等腰直角三角形，得出EF＝DF＝2，由BF＝2AF，可得AF＝1，BF＝2，运用勾股定理可得DF＝＝DE，再证明△AFH是等腰直角三角形，可得FH＝AF＝CE，进而证得△FGH≌△EGC（AAS），再运用直角三角形的性质即可求得答案． 【解答】解：过点F作FH∥BC交AC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，∠ABC＝∠DAF＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝45°， ∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝90°， ∴∠DAF＝∠DCE， ∵AF＝CE， ∴△DFA≌△DEC（SAS）， ∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDC， ∵BF＝2AF， ∴AF＝1，BF＝2， ∴DF＝＝＝DE， ∵∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠FDA+∠CDF＝∠ADC＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴EF＝DF＝2， ∵FH∥BC， ∴∠AFH＝∠ABC＝90°，∠FHG＝∠ECG， 又∵∠BAC＝45°， ∴△AFH是等腰直角三角形， ∴FH＝AF＝CE， ∵∠FGH＝∠EGC， ∴△FGH≌△EGC（AAS）， ∴FG＝EG， ∵∠ABC＝90°， ∴BG＝EF＝， 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 12．（3分）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或 【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围． 【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点， ∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x＝﹣＝2， ∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3， 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1， 解得：n＝﹣1； ∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点， 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1， 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1）， ∴+2﹣n＝1，解得：n＝， ∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤， 故选：C． 【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）因式分解：3a2﹣18a+27＝　3（a﹣3）2　 ． 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解答】解：3a2﹣18a+27＝3（a2﹣6a+9）＝3（a﹣3）2． 故答案为：3（a﹣3）2． 【点评】本题考查的是因式分解，熟知提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． 14．（3分）学校开展红色歌曲演唱活动，提供了《映山红》、《红梅赞》、《十送红军》、《保卫黄河》这4首歌曲．要求每个班从中随机抽取2首进行排练，则某班抽到《映山红》和《保卫黄河》的概率是 　　 ． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及某班抽到《映山红》和《保卫黄河》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：将《映山红》、《红梅赞》、《十送红军》、《保卫黄河》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中某班抽到《映山红》和《保卫黄河》的结果有：（A，D），（D，A），共2种， ∴某班抽到《映山红》和《保卫黄河》的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 15．（3分）若关于x的不等式组有且只有2个整数解，且关于y的方程5+ay＝2（y﹣）的解是负整数，则符合条件的所有整数a的和是　22　 ． 【分析】首先解不等式组，根据不等式组有且只有2个整数解得出关于a的不等式组，求出a的取值范围，再解方程，根据方程的解是负整数求出所有的a可能的值，进而得到符合条件的所有整数a，求和即可得到答案． 【解答】解：解不等式5x≥3（x+2）得：x≥3， 解不等式得：x， ∵关于x的不等式组有且只有2个整数解， ∴这两个整数解是3，4， ∴4≤+3＜5， ∴8≤a＜16， 解方程5+ay＝2（y﹣）得：y＝， ∵关于y的方程5+ay＝2（y﹣）的解是负整数， ∴2﹣a＝﹣1或﹣2或﹣3或﹣4或﹣6或﹣12， ∴a＝3或4或5或6或8或14， ∴符合条件的所有整数a为8和14， ∵8+14＝22， ∴符合条件的所有整数a的和是22， 故答案为：22． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点M，N分别在边AB，BC上（不与顶点重合），且满足∠BAN＝∠ADM，连结AN，DM交于点P．E，F分别是边AB，BC的中点，连结PE，PF，则的最小值为　2　 ． 【分析】取AD的中点O，连接OF，过点E作EH⊥OF交于H点，取OH的中点G，连接PG，连接GE，先证明△ADM≌△BAN（SAS），推导出∠APD＝90°，求得OP＝AD＝4，再证明△OPG∽△OFP，得到PG＝PF，则PE+PF＝PE+PG≥GE，求出GE的长即为所求． 【解答】解：取AD的中点O，连接OF，过点E作EH⊥OF交于H点，取OH的中点G，连接PG，连接GE， ∵AM＝BN，∠DAM＝∠ABN，AB＝AD， ∴△ADM≌△BAN（SAS）， ∴∠ADM＝∠BAN， ∴∠ADP+∠DAP＝∠DAP+∠BAN＝90°， ∴∠APD＝90°， ∵O是AD的中点， ∴OP＝AD＝4， ∵E是AB的中点， ∴OH＝AE＝4， ∵G是OH的中点， ∴OG＝2， ∵，，∠FOP＝∠OPG， ∴△OPG∽△OFP， ∴， ∴PG＝PF， ∴PE+PF＝PE+PG≥GE， 在Rt△GHE中，GE＝＝2， ∴PE+PF的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，通过构造三角形相似将PF转化为PG是解题的关键． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17．（6分）计算：． 【分析】先根据绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可． 【解答】解： ＝﹣1+2×﹣4 ＝﹣2﹣1+1﹣4 ＝﹣6． 【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．（6分）如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB＝ED，∠A＝∠E．求证：BC＝BD． 【分析】由平行线的性质推出∠ABC＝∠D，即可证明△ABC≌△EDB（ASA），根据全等三角形的性质即可得证． 【解答】证明：∵BC∥DE， ∴∠ABC＝∠D， 在△ABC和△EDB中， ， ∴△ABC≌△EDB（ASA）， ∴BC＝BD． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 19．（6分）化简：． 【分析】先算括号里面的，再算除法即可． 【解答】解： ＝÷ ＝• ＝． 【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20．（7分）某体育用品商店计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共200套进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过120套；已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费105元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费255元．乒乓球拍售价为50元/套，羽毛球拍售价为80元/套． （1）分别求出每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价是多少元； （2）商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的一半，如何进货才能使这批体育用品全部售完时获利最大？ 【分析】（1）分别设每套乒乓球拍和羽毛球拍的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍（200﹣m）套，根据题意列关于m的一元一次不等式组并求其解集，设获利W元，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，并求出此时200﹣m的值即可． 【解答】解：（1）每套乒乓球拍的进价是x元，每套羽毛球拍的进价是y元． 根据题意，得， 解得． 答：每套乒乓球拍的进价是30元，每套羽毛球拍的进价是45元． （2）设购进乒乓球拍m套，则购进羽毛球拍（200﹣m）套． 根据题意，得， 解得66≤m≤120， 设获利W元，则W＝（50﹣30）m+（80﹣45）（200﹣m）＝﹣15m+7000， ∵﹣15＜0， ∴W随m的减小而增大， ∵66≤m≤120且m为非负整数， ∴当m＝67时W值最大， 200﹣67＝133（套）． 答：购进乒乓球拍67套、羽毛球拍133套才能使这批体育用品全部售完时获利最大． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 21．（7分）小李、小万两名同学5次数学成绩统计如下，他们的5次总成绩相同，现要从小李、小万两名同学中选择一名同学去参加比赛，小邓同学根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图． 次序 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 小李成绩 90 40 70 40 60 小万成绩 70 50 70 a 70 请解答下列问题： （1）a＝ 　40　 ，＝ 　60　 ，＝ 　60　 ． （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线图． （3）S小李2＝360，则小万成绩的方差是 　160　 ，可看出 　小万　 （填“小李”或“小万”，下同）同学的成绩比较稳定，从平均数和方差的角度分析，　小万　 同学将被选中． 【分析】（1）根据题意和平均数的计算公式计算即可； （2）根据求出的a的值，完成图中表示乙成绩变化情况的折线； （3）根据方差的计算公式计算，根据方差的性质进行判断即可． 【解答】解：（1）∵他们的5次总成绩相同， ∴90+40+70+40+60＝70+50+70+a+70， 解得a＝40， ＝×（90+40+70+40+60）＝60， ＝×（70+50+70+40+70）＝60， 故答案为：40，60，60； （2）如图所示： （3）＝×[（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]＝160． ∵＜S小李2， ∴小万的成绩稳定， 从平均数和方差的角度分析，小万将被选中， 故答案为：160；小万；小万． 【点评】本题考查的是条形统计图、方差的计算和性质，读懂条形统计图、获取正确的信息、掌握方差的计算公式是解题的关键． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22．（8分）如图，习之学校九年级某班的数学兴趣小组在操场上进行测量活动，成员小刘在观察点A测得观察点B在A的正北方向，成员小万在观察点B测得观察点C在B的北偏西41°的方向上，且AB距离为27米，成员小李在观察点C测得观察点A在C的南偏东26.5°的方向上，请帮小邓同学计算观测点B，C之间的距离．（结果精确到1m，参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin41°≈0.66，cos41°≈0.75，tan41°≈0.87） 【分析】根据题意，结合图形，在Rt△CBD中表示出BD，在Rt△CAD中表示出AD，利用AB＝27米，解方程，求出CD长，从而得到结果． 【解答】解：如图，过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，设CD＝x米， 依题意，∠CAD＝26.5°，∠CBD＝41°，AB＝27米， ∵在Rt△CBD中，tan∠CBD＝， ∴BD＝CD÷tan∠CBD＝x÷tan41°≈（米）， ∵在Rt△CAD中，tan∠CAD＝， ∴AD＝CD÷tan∠CAD＝x÷tan26.5°≈（米）， ∵AD﹣BD＝AB＝27， ∴， 解得x≈31.7， ∴CD＝31.7米， ∴在Rt△CBD中，BC＝＝≈≈48（米）， 答：B，C之间的距离为48米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 23．（8分）如图，反比例函数的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞4，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法，将点坐标代入反比例函数解析式，可求出k＝﹣3，再将点A（a，﹣1）代入反比例函数解析式，可求出a，由点A，B坐标可求出一次函数解析式； （2）由点N坐标为（t，0）且NM⊥x轴交反比例函数的图象于点M可得，点M坐标为（t，），故MN＝，ON＝t，再由一次函数解析式可得点C坐标为（0，2），故OC＝2，S四边形COMN＝S△OCN+S△OMN＝＝t+＞4，故t＞2.5． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点， ∴k＝﹣1×3＝﹣3，a•（﹣1）＝k， ∴a＝3， ∴反比例函数解析式为，点A坐标为（3，﹣1）， 将点A，B坐标代入一次函数解析式可得， ， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+2； （2）由题意可得点M坐标为（t，），点C坐标为（0，2）， ∴MN＝，ON＝t，OC＝2， ∴S四边形COMN＝S△OCN+S△OMN ＝ ＝t+， ∵S四边形COMN＞4， ∴t+＞4， ∴t＞2.5， 即t的取值范围为t＞2.5． 【点评】本题考查了利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式以及坐标系中图形的面积，体现了数形结合思想与方程思想． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点，连接CD，以CD为直径作⊙O，分别交AC，BC于E，F两点，连接BE交CD于点G，交⊙O于点H，连接DH，∠DHE＝∠CBD． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若，求⊙O的半径及EG的长． 【分析】（1）利用直角三角形的性质，圆周角定理和等量代换的性质得到∠CDB＝90°，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接EF，DE，过点E作EK⊥AD于点K，利用直角三角形的边角关系定理，勾股定理和切割线定理求得AD，AC，EC，利用勾股定理即可求得圆的直径；利用三角形的面积公式，相似三角形的判定与性质，勾股定理求得BK，DK，BE，BD，再利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵∠ACD＝∠EHD， ∴∠EHD+∠BCD＝90°， ∵∠DHE＝∠CBD， ∴∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠CDB＝90°， ∴CD⊥AB， ∵CD为⊙O的直径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：连接EF，DE，过点E作EK⊥AD于点K，如图， ∵∠ACB＝90°， ∴EF为⊙O的直径， ∴EF经过点O， ∴OE＝OC， ∴∠OEC＝∠ACD． ∴tan∠CEO＝． ∵AB是⊙O的切线， ∴∠ADE＝∠ACD， ∴∠ADE＝∠CEO， ∴tan∠ADE＝tan∠CEO＝， ∵∠AED＝∠ADC＝90°， ∴tan∠ADE＝， ∵AE＝1， ∴DE＝AE＝， ∴AD＝＝． ∵AB是⊙O的切线， ∴AD2＝AE•AC， ∴AC＝＝3， ∴EC＝AC﹣AE＝2， ∴CF＝CE＝， ∴EF＝＝， ∴⊙O的半径为； ∵， ∴EK＝＝． ∴DK＝， ∵∠DHE＝∠CBD，∠DHE＝∠ACD， ∴∠ACD＝∠CBD， ∵∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∵CD＝EF＝， ∴， ∴BD＝2， ∴BK＝BD+DK＝， ∴BE＝＝， ∵EK⊥AD，CD⊥AB， ∴EK∥CD， ∴△BDG∽△BKE， ∴， ∴， ∴EG＝． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 25．（12分）如图（1），抛物线交x轴于A，B两点（点A在左边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）D是抛物线第四象限上的一点，连接AD分别交BC，OC于E，F两点，若∠FEC＝∠FCE，求直线AD的解析式； （3）平移抛物线使它的顶点为（0，1），如图（2）．R是y轴上一个定点，以点R为直角顶点作Rt△RST，使顶点S，T分别在x轴和抛物线上．若Rt△RST在变化的过程中，直线ST与抛物线始终有唯一公共点，求点R的坐标． 【分析】（1）令y为0，解方程即可得A和B的坐标，令x＝0，即可得C的坐标； （2）作OG∥AD交抛物线于点G，交BC于点P，利用平行导角证明OC＝OP，求出BC的表达式，设P（m，），进而由勾股定理表达出OP2，从而可解得P点坐标，得到kOP＝，由平行关系 可得kAD＝，最终可求直线AD的表达式； （3）由平移可得新抛物线的表达式为，设T（t，），由于直线ST与抛物线有且只有一个交点，亦可看成有两个重合的交点，故可由待定系数法得直线ST的表达式为y＝，从而求出S点的横坐标为xS＝.作TQ⊥y轴于点Q，如图（2）所示，利用“一线三垂”证明△TQR∽△ROS，得到比例式，设R（0，r），即，整理可得t2（2﹣r）＝4r﹣4r2+8，根据当T点运动时，上式中r的值与点T的位置无关，从而2﹣r＝0，即r＝2，故得点R的坐标． 【解答】解：（1）令中y为0， 则，解得x＝6或﹣2， 故A（﹣2，0），B（6，0）， 由解析式可知C（0，﹣3）． （2）作OG∥AD交抛物线于点G，交BC于点P，如图（1）所示， ∴∠FEC＝∠OPC， ∵∠FEC＝∠FCE， ∴∠OPC＝∠FCE． ∴OP＝OC＝3． 由待定系数法可得直线BC的表达式为y＝， 设P（m，），则OC2＝OP2， 即，解得m＝或0， 故P（，），故kOP＝． ∵OG∥AD， ∴kAD＝， ∴直线AD的表达式为y＝（x+2）＝． （3）由平移可得新抛物线的表达式为， 设T（t，）， 由于直线ST与抛物线有且只有一个交点，亦可看成有两个重合的交点， 故可由待定系数法得直线ST的表达式为y＝， 再令y＝0，解得xS＝． 作TQ⊥y轴于点Q，如图（2）所示， ∴∠TQR+∠QRT＝90°， ∵∠TRS＝90°， ∴∠QRT+∠ORS＝90°， ∴∠TQR＝∠ORS， 又∵∠TQR＝∠ROS＝90°， ∴△TQR∽△ROS， ∴，设R（0，r）， 即，整理可得t2（2﹣r）＝4r﹣4r2+8， ∵当T点运动时，上式中r的值与点T的位置无关， ∴2﹣r＝0，即r＝2， 故点R的坐标为（0，2）． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理．作出恰当的辅助线是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$