精品解析：辽宁省抚顺市清原满族自治县南口前镇中学2024-2025学年九年级3月月考数学试题

2025年辽宁省抚顺市清原县南口前镇中学九年级3月数学月考 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《北史·列女传》：“吾闻闻名不如见面，小人未见礼教，何足责哉．”《水浒传》第三回：“鲁提辖连忙还礼，说道：‘闻名不如见面，见面胜似闻名！’”其中“闻名不如见面”的意思是只听名声不如见面更能了解，如图是正方体的表面展开图，则“闻”字相对的字是（ ） A. 不 B. 如 C. 见 D. 面 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 6. 如图，将矩形折叠，使点C和点A重合，点D落在处，折痕为，与交于点O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（       ） A. 14，5 B. 9，6 C. 14，4 D. 9，5 8. 一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A. B. C. 随的增大而减小 D. 直线与两坐标轴围成的图形面积为2 9. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，相当于在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，将120亿用科学记数法表示为______． 12. 已知关于x的不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是______． 13. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 14. 为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有，小亮设计了一个方案：如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A、B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，已知视力表的全长为，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，则镜面至少为________． 15. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④设直线与抛物线的两个交点横坐标分别为，则．其中结论正确的是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. “水晶市动微风起，满架蔷薇一院香．”伴着明媚的阳光，弥漫的花香，悦耳的蝉鸣，学校迎来了校园读书节，学校计划购进一批图书，已知用420元购买自然科学类图书的数量是用180元购买文学类图书数量的2倍，其中文学类图书单价比自然科学类图书单价少6元 （1）求自然科学类图书和文学类图书的单价分别是多少？ （2）学校准备购进两种图书共800册，总费用不超过30000元，则最多购进自然科学类图书多少册？ 18. 2024年辽宁省教育工作会议指出，2023年全省在以学铸魂、以学增智、以学正风、以学促干上取得明显成效．为更好地实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合素质，某校组织综合实践活动小组的同学们针对“九年级学生最关心的问题”在全校九年级学生中进行了问卷调查，问题分成四组，分别是A．学习成绩；B．课余生活；C．朋友交流；D．师长意见．调查问卷全部收回，且全部有效，调查小组将调查结果绘制成如图所示统计图（均不完整）． “九年级学生最关心的问题”调查问卷 请在下列选项中选择您最关心的问题，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．学习成绩□ B．课余生活□ C．朋友交流□ D．师长意见□ 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查共抽取了多少人，并直接补全条形统计图； （2）求扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数； （3）若九年级共有学生1320人，估计九年级学生选择C组的人数； （4）该综合实践活动小组的同学要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息． 19. 三星堆文化被誉为“长江文明之源”，极大丰富了中华文明的内涵．青铜面具和青铜神树等文物的问世，再次在世界上引发了广泛关注．近期，三星堆文创馆销售一种纪念品，每个纪念品成本为元，规定销售单价不低于元，且不高于元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现三星堆文创馆决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大?最大利润是多少元? 20. 新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他们将“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动进行研究，活动报告如下： 课题 测量学校旗杆的高度 测量人员 小明 小华 测量工具 测角仪， 皮尺， 无人机 测角仪，皮尺 测量方案示意图 说明 如图1，在距离旗杆一定水平距离的B处， 无人机垂直上升到A处，测得D点的仰角为，C点的俯角为（图中各点均在同一竖直平面内） ． 如图2，为旗杆，，为同一测角仪，在测量点A，E测得点 D 的仰角分别为， （图中各点均在同一竖直平面内，点B， F， C在同一条直线上） ． 测量数据 ，， ，，， 参考数据 ， ， ，， （1）按照小明的方案，可求得旗杆的高度约为_______（结果保留整数）； （2）按照小华的方案，求出旗杆的高度 （写清楚计算过程，结果保留整数）． 21. 如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G． （1）若，求的度数； （2）若，，求的半径． 22. 综合与探究 问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． ①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积． 23. 思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：． 【初步理解】 （1）已知点，则 ； 函数的图像如图所示，是图像上一点，，则点的坐标是 ； 函数的图像如图所示，是该函数的图像上的一点，若的值最小，点的坐标是 ； 【深入探究】 （2）如图，菱形顶点的坐标是，．小明发现：菱形的边上会有两个点分别到原点的距离相等．若点在菱形的边上且，指出点在菱形的那条边上，并求出它的坐标； （3）实数，如图，直接写出在矩形边上，且到原点的距离等于的点的个数与值的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省抚顺市清原县南口前镇中学九年级3月数学月考 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. ﹣5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数可得答案． 【详解】解：|﹣5|=5． 故选A． 2. 如图是一个立体图形的三视图，那么这个立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，根据三视图的知识，正视图和左视图都为一个长方形，而俯视图为一个三角形，故可得出这个图形为一个三棱柱． 【详解】解：观察图形可知，正视图和左视图都为一个长方形，而俯视图为一个三角形，故可得出这个图形为一个三棱柱． 故选∶C． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单项式乘单项式，幂的乘方，单项式除单项式，单项式乘多项式运算法则判断即可． 【详解】A、，故这个选项正确； B、，故这个选项错误； C、，故这个选项错误； D、，故这个选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方，单项式除单项式，单项式乘多项式，重点是掌握相关的运算法则． 4. 《北史·列女传》：“吾闻闻名不如见面，小人未见礼教，何足责哉．”《水浒传》第三回：“鲁提辖连忙还礼，说道：‘闻名不如见面，见面胜似闻名！’”其中“闻名不如见面”的意思是只听名声不如见面更能了解，如图是正方体的表面展开图，则“闻”字相对的字是（ ） A. 不 B. 如 C. 见 D. 面 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方体展开图上相对面上的字，根据正方体展开图的特征可得：“闻”与“见”相对，“名”与“如”相对，“不”与“面”相对，由此即可得到答案，考查了空间想象能力． 【详解】解：由正方体展开图的特征可得：“闻”与“见”相对，“名”与“如”相对，“不”与“面”相对， 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 6. 如图，将矩形折叠，使点C和点A重合，点D落在处，折痕为，与交于点O．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得：，由等边对等角得出，再依据三角形内角和得出，根据三角形外角和定理可得，最后依据矩形及平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将矩形ABCD沿着EF折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形ABCD为矩形， ∴ADBC， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查折叠的性质、三角形外角和定理及平行线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并融会贯通是解题关键． 7. 祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（       ） A. 14，5 B. 9，6 C. 14，4 D. 9，5 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据众数和中位数的定义可得答案． 【详解】解：圆周率的小数点后100位数字的出现次数最多的为9，故众数为9；处于最中间的第51和52两个数均为5和5，所以中位数为5， 故选：D． 【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握求一组数据的众数和中位数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．找出处于最中间的两位数取他们的平均数，即为中位数． 8. 一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A. B. C. 随的增大而减小 D. 直线与两坐标轴围成的图形面积为2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，﹥，且随的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与轴负半轴的交点坐标为，所以，B选项正确； 直线与两坐标轴的交点分别为， 则直线与两坐标轴围成的图形面积为，D选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 9. 如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的四个顶点坐标分别为，，，点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个单位长度，点从点出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个单位长度，记点在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换，正确找出规律是解题的关键．根据点坐标计算长方形的周长为10，设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过2秒第一次相遇，进一步求出第一次、第二次、第三次……相遇点的坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的结果即可求出第2025次相遇点的坐标． 【详解】解：，，，， ， 长方形的周长为， 设经过t秒P，Q第一次相遇，则P点走的路程为，Q点走的路程为， 根据题意得， 解得， ∴当时，P，Q第一次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第二次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第三次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第四次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第五次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 当时，P，Q第六次相遇，则路程为，此时相遇点坐标为， 五次相遇循环一次， ， 点的坐标为． 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，相当于在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，将120亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：120亿． 故选：． 12. 已知关于x的不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是______． 【答案】a≤1 【解析】 【分析】整理不等式组可得 ，由不等式组的解集为x＞2，即可得到a+1≤2，由此即可求得a的取值范围. 【详解】整理不等式组得： ， 由不等式组的解集为x＞2，得到a+1≤2， 解得：a≤1， 则a的取值范围是a≤1， 故答案为a≤1 【点睛】本题考查了不等式组解集的表示方法，熟知不等式组解集的表示方法是解决问题的关键. 13. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了几何概率，根据题意易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ∴， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 14. 为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有，小亮设计了一个方案：如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A、B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，已知视力表的全长为，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，则镜面至少为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作于，延长交于，则，根据平行线的性质得到，，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 【详解】解：过作于，延长交于， 则， ，，， ， ， ，，， ， ， ， 故答案为： ． 15. 抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①且；②；③；④设直线与抛物线的两个交点横坐标分别为，则．其中结论正确的是______． 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质的综合运用，有一定难度，解题的关键是根据图像判断a、b、c的符号，再根据题意表示出a、b、c的关系，最后结合函数与方程，不等式的知识进行解答．根据题意得到a、b、c的关系式，可以用a表示出b、c，进而得到含a的二次函数关系式，结合图像确定符号，对选项逐一判断即可． 【详解】抛物线的对称轴为直线，经过点， ∴，， ， ， ， 且，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，又经过点， ∴和关于对称轴对称， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线与轴的另一个交点为， 时，， ∴， ∵， ∴， 即，故③错误； 直线与抛物线的两个交点横坐标分别为， 方程0的两个根分别为， ， ，故④正确． 综上分析可知：正确的有②④． 故答案为：②④． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，分式的混合运算，解题关键是注意运算的顺序． （1）先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，特殊三角函数，再计算加减； （2）先将括号里的通分，再作除法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 17. “水晶市动微风起，满架蔷薇一院香．”伴着明媚的阳光，弥漫的花香，悦耳的蝉鸣，学校迎来了校园读书节，学校计划购进一批图书，已知用420元购买自然科学类图书的数量是用180元购买文学类图书数量的2倍，其中文学类图书单价比自然科学类图书单价少6元 （1）求自然科学类图书和文学类图书的单价分别是多少？ （2）学校准备购进两种图书共800册，总费用不超过30000元，则最多购进自然科学类图书多少册？ 【答案】（1）文学类图书的单价为36元，自然科学类图书的单价为42元 （2）学校最多购进自然科学类图书200册 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式． （1）设文学类图书的单价为x元，则自然科学类图书的单价为元，根据用420元购买自然科学类图书的数量是用180元购买文学类图书数量的2倍，其中文学类图书单价比自然科学类图书单价少6元得分式方程，即可解得答案； （2）设学校购进自然类科学图书m册，则购进文学类图书册，依题意得列出不等式求解即可 【小问1详解】 解：设文学类图书的单价为x元，则自然科学类图书的单价为元 依题意得： 解得： 经检验：是原方程解 答：文学类图书的单价为36元，自然科学类图书的单价为42元 【小问2详解】 解：设学校购进自然类科学图书m册，则购进文学类图书册 依题意得： 解得： 答：学校最多购进自然科学类图书200册． 18. 2024年辽宁省教育工作会议指出，2023年全省在以学铸魂、以学增智、以学正风、以学促干上取得明显成效．为更好地实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合素质，某校组织综合实践活动小组的同学们针对“九年级学生最关心的问题”在全校九年级学生中进行了问卷调查，问题分成四组，分别是A．学习成绩；B．课余生活；C．朋友交流；D．师长意见．调查问卷全部收回，且全部有效，调查小组将调查结果绘制成如图所示统计图（均不完整）． “九年级学生最关心的问题”调查问卷 请在下列选项中选择您最关心的问题，并在其后“□”内打“√”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．学习成绩□ B．课余生活□ C．朋友交流□ D．师长意见□ 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求本次调查共抽取了多少人，并直接补全条形统计图； （2）求扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数； （3）若九年级共有学生1320人，估计九年级学生选择C组的人数； （4）该综合实践活动小组的同学要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息． 【答案】（1）本次调查共抽取了50人， 补全条形统计图如下： （2）圆心角度数是 （3）选择C组的人数为264人 （4） 由题意得 九年级学生最关心“课余生活”的人数最多；九年级学生最关心“师长意见”的人数最少．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了从扇形统计图和条形统计图中获取信息，并根据结果进行分析； （1）由占有人，补全图，即可求解； （2）求出的百分比，即可求解； （3）求出的百分比，即可求解； （4）结合条形统计图的数据进行分析，即可求解； 能从扇形统计图和条形统计图中正确获取信息是解题的关键． 【小问1详解】 解：（人）， ∴本次调查共抽取了50人． B组对应的人数为（人）， 【小问2详解】 解：由题意得 ， 扇形统计图中D组对应扇形的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：由题意得 （人）， 估计九年级学生选择C组的人数为264人； 【小问4详解】 略 19. 三星堆文化被誉为“长江文明之源”，极大丰富了中华文明的内涵．青铜面具和青铜神树等文物的问世，再次在世界上引发了广泛关注．近期，三星堆文创馆销售一种纪念品，每个纪念品成本为元，规定销售单价不低于元，且不高于元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现三星堆文创馆决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） （2）当每个纪念品的销售单价是元时，商家每天获利元 （3）将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据（售价进价）销售量，列出求解即可，注意规定销售单价不低于元，且不高于元； （3）根据利润（售价进价）销售量，写出与之间的函数关系式，然后化为顶点式，再根据的取值范围和二次函数的增减性，即可求得的最大值． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：当每个纪念品的销售单价是元时，商家每天获利元； 【小问3详解】 解：由题意可得，， ， 当时， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元． 20. 新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他们将“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动进行研究，活动报告如下： 课题 测量学校旗杆的高度 测量人员 小明 小华 测量工具 测角仪， 皮尺， 无人机 测角仪，皮尺 测量方案示意图 说明 如图1，在距离旗杆一定水平距离的B处， 无人机垂直上升到A处，测得D点的仰角为，C点的俯角为（图中各点均在同一竖直平面内） ． 如图2，为旗杆，，为同一测角仪，在测量点A，E测得点 D 的仰角分别为， （图中各点均在同一竖直平面内，点B， F， C在同一条直线上） ． 测量数据 ，， ，，， 参考数据 ， ， ，， （1）按照小明的方案，可求得旗杆的高度约为_______（结果保留整数）； （2）按照小华的方案，求出旗杆的高度 （写清楚计算过程，结果保留整数）． 【答案】（1）18 （2）旗杆的高约为18米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化成数学问题是解决问题的关键． （1）过A作于E，得到，解直角三角形即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，设米，得到，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：（1）过A作于E， 则， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18； 【小问2详解】 在中，， ∴， ∴， 设米， 根据题意得，四边形为矩形， ∴， 则， 在中，，， ∴， 解得：， ∵平行线间的距离处处相等， ∴米， ∴（米）， 答：旗杆的高约为18米． 21. 如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G． （1）若，求的度数； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）52° （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，垂直平分线基本性质，能够正确做出辅助线是解题关键． （1）连接，，先通过“到线段两端的距离相等的点在垂直平分线上”，得到垂直平分，再通过三角形的内角和定理计算即可； （2）延长CG交于点H，连接，先证得，再通过勾股定理算出，再在中利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：连接，． ∵，经过点， ∴，，且． ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：延长交于点H，连接． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴． 在中 由勾股定理得：， ∵， ∴． 设的半径为r， 在中，， ∴． 解得：． 22. 综合与探究 问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． ①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积． 【答案】 （1）四边形为矩形．理由如下： ， ， 四边形为菱形， ∴， ∴， ， ∴， 四边形为矩形． （2）①，理由如下： ∵四边形为菱形， ， 旋转得到， ， ， ， ， ， ， ． ②或 【解析】 【分析】（1）由和菱形性质得，．可证四边形为矩形； （2）①由菱形和旋转得性质证，可证； ②分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由旋转知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ； 当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示： 由旋转知：，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴ 四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形的面积是或． 【点睛】本题是正方形，菱形综合题，主要考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形的应用，四边形的面积等知识，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键． 23. 思考探究： 【形成概念】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．由此启发，我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：． 【初步理解】 （1）已知点，则 ； 函数的图像如图所示，是图像上一点，，则点的坐标是 ； 函数的图像如图所示，是该函数的图像上的一点，若的值最小，点的坐标是 ； 【深入探究】 （2）如图，菱形顶点的坐标是，．小明发现：菱形的边上会有两个点分别到原点的距离相等．若点在菱形的边上且，指出点在菱形的那条边上，并求出它的坐标； （3）实数，如图，直接写出在矩形边上，且到原点的距离等于的点的个数与值的关系． 【答案】（）； ； （）点在上，； （）当时，到原点的距离等于的点有个， 当时，到原点的距离等于的点有个， 当时，到原点的距离等于的点有个． 当时，到原点的距离等于的点有个． 【解析】 【分析】（）根据定义求解值即可； 设，根据定义可得方程，求出的值即可求点的坐标； 设，根据定义可得，当且仅当，即时，有最小值，此时， （）当点在上时，设，由定义可得方程，从而求出； （）设矩形边上任意一点为，分别求出点在矩形各边上时，的取值范围，从而确定的值与到原点的距离等于的点的个数的关系即可； 本题考查了坐标与图形，一次函数的图象及性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ， 故答案为：； 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； 设， ∵， ∴， 当且仅当，即时，有最小值， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当点在上时，设， ∴， 解得， ∴； ∵，, ∴， ∴点不能在点右侧， 综上所述：； （3）∵，，，， ，，， 设矩形边上任意一点为， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， 当点在线段上时，， ∴当时，到原点的距离等于的点有个， 当时，到原点的距离等于的点有个， 当时，到原点的距离等于的点有个． 当时，到原点的距离等于的点有个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $