精品解析：浙江省宁波市鄞州中学2025届高三高考适应性考试数学试卷

鄞州中学2025年高考适应性考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆柱的轴截面为正方形，为下底面圆弧的中点，点在上底面圆弧上且与在轴截面同侧，若，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知曲线与直线无交点，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．若为钝角，则的焦距为（ ） A. B. C. 7 D. 14 7. 已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ） A. 52π B. 39π C. 26π D. 13π 8. 已知定义域为的函数的图象经过坐标原点，若，，且为偶函数，则（ ） A. 190 B. 210 C. 230 D. 400 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某铁路运输段的数据统计部门发布的从2024年1月至6月的煤炭运输量（单位：万吨）分别为28，34，43，55，67，73，则（ ） A. 1月到6月煤炭运输量的平均值为60万吨 B. 1月到6月煤炭运输量的中位数为49万吨 C. 1月到6月煤炭运输量的极差为45万吨 D. 若这组每个数据扩大为原来的2倍，则对应的标准差也扩大为原来的2倍 10. 已知圆，点，（ ） A. 若过点A作圆C的切线有且仅有一条，则 B. 若圆C上总存在两点到点的距离为，则 C. 若过点A且横纵截距相等的直线被圆C截得的弦长为，则 D. 若圆C与圆心在上且半径为1的圆交于M，N两点，则当最大时， 11. 将一些向量构成的集合称为线性空间，设是线性空间V到自身的一个变换，将中所有能被变换为零向量的向量组成的集合称为变换在上的核，记作．已知线性空间，对任意，中的元素个数不少于4，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，且，则______． 13. 数列是正项数列，若，且，，则_______． 14. 在下列表格的每行中各任选一个数，若选取的这两个数之和为偶数，则以相同方式再选取一次，若选取的这两个数之和为奇数，则不能再选取．已知最多只能选取三次，且相同的数可以重复选取，若可选取的所有数之和的最大值为49，则正整数的值为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校在2024年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参加．活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升．为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展．不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导．已知第二次活动吸引了1200名学生参加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升． （1）补充完整下面的列联表； 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 第二次活动 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关？ （3）从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率． 附：，． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 记等差数列的前n项和为，已知，． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和； （3）若时，恒成立，求正整数的最小值． 17. 如图，在直三棱柱中，E，F分别是AB，BC的中点，D为上一点，，． （1）若D为的中点，证明：面； （2）若二面角的正弦值为，求三棱锥的体积． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于－1，求的取值范围； （3）当时，证明：有2个零点． 19. 设椭圆短轴上的一个端点为为椭圆上异于点的任一点．若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取得，则称该椭圆为“圆椭圆”．已知椭圆为“圆椭圆”． （1）求的离心率的取值范围； （2）当的离心率最大时，点在上，直线与交于两点，且直线的斜率互为相反数． （i）求的斜率； （ii）若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄞州中学2025年高考适应性考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡和试卷上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的乘法求复数，再根据共轭复数的概念求. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解法解出集合，再利用并集和补集的定义求解即可. 【详解】由可得或， 解得或，即或， 因此，，则. 故选：C. 3. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 4. 已知圆柱的轴截面为正方形，为下底面圆弧的中点，点在上底面圆弧上且与在轴截面同侧，若，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆与平行四边形的性可得和，进而得或其补角即为异面直线与所成角，再由已知求得答案． 【详解】如图，在弧上取一点，使得，过作圆柱的母线， 连接，则由圆的对称性可得， 由圆柱的性质知，，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以或其补角即为异面直线与所成角． 因为为下底面圆弧的中点，，所以，， 所以，所以异面直线与所成角为． 故选；D 5. 已知曲线与直线无交点，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得无解，分和两种情况讨论可求解. 【详解】因为曲线与直线无交点，所以无解， 所以无解，所以无解， 当时，方程无解， 当时，方程为，解得， 故时，曲线与直线无交点. 故选：C. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为．若为钝角，则的焦距为（ ） A. B. C. 7 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线定义结合条件得，根据的面积解得，结合为钝角，得出，根据余弦定理解得，进而得到焦距. 【详解】根据双曲线定义，， 又因为，可得， 因为的面积为， 所以， 解得 因为为钝角，所以， 由 根据余弦定理得， 即有，解得 因此双曲线的焦距为. 故选：B. 7. 已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ） A. 52π B. 39π C. 26π D. 13π 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据题设中的条件求出外接球球心的坐标，求出半径即可得表面积. 【详解】令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面 ∵是等边三角形，∴，是的重心. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. ∵，，则， ∴，. 设，由,得， 化简得解得. ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 8. 已知定义域为的函数的图象经过坐标原点，若，，且为偶函数，则（ ） A. 190 B. 210 C. 230 D. 400 【答案】D 【解析】 【分析】利用的关系式，借助于为偶函数，通过先后赋值代入可推得的周期，分别计算出一个周期内的函数值，代入所求式，利用函数周期及求和计算即得． 【详解】由，得（*）． 在中，用替换，可得， 则，即①， 在①式中，用替换，则得②． 又因为偶函数，所以③， 故由②③，可得，用替换，可得 ， 比较两式，可得，即是以4为一个周期的函数． 因为的图象经过原点，所以，由（*）可得． 在中，令，得，所以， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 则， 则 ． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某铁路运输段的数据统计部门发布的从2024年1月至6月的煤炭运输量（单位：万吨）分别为28，34，43，55，67，73，则（ ） A. 1月到6月煤炭运输量的平均值为60万吨 B. 1月到6月煤炭运输量的中位数为49万吨 C. 1月到6月煤炭运输量的极差为45万吨 D. 若这组每个数据扩大为原来的2倍，则对应的标准差也扩大为原来的2倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据各数据的定义及计算公式逐项判断即可. 【详解】对于A，根据平均数的计算，得，故A错误； 对于B，由题意数据已排序，根据中位数的计算，得中位数为，故B正确； 对于C，根据题意，得极差为，故C正确； 对于D，由标准差的线性运算性质，可知每个数据扩大为原来的2倍，则对应的标准差也扩大为原来的2倍，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知圆，点，（ ） A. 若过点A作圆C的切线有且仅有一条，则 B. 若圆C上总存在两点到点的距离为，则 C. 若过点A且横纵截距相等的直线被圆C截得的弦长为，则 D. 若圆C与圆心在上且半径为1的圆交于M，N两点，则当最大时， 【答案】BD 【解析】 【分析】对于，根据切线的条数即可知点在圆；即可判断选项；对于，将问题转化为圆与圆相交，利用圆与圆的位置关系求解；对于，分为直线在坐标轴上的截距相等且不为和直线在坐标轴上的截距为两种情况，利用几何关系依次求解即可；对于，将问题转化为当最大时，求的长度. 【详解】圆的圆心为，半径为， 对于选项,过点A作圆C的切线有且仅有一条，则点在圆上，即， 解得，故错误； 对于选项，此问题等价于圆与圆相交， 两圆心的距离为，即， 解得，故正确； 对于选项，当直线在坐标轴上截距相等且不为时，设过点的直线方程为， 将点的坐标代入直线方程得， 圆的圆心到该直线的距离，由几何关系可知 解得，则； 当直线在坐标轴上截距相等且为时，设过点的直线方程为， 同理由几何关系可知，解得， 将点的坐标代入直线方程得，故错误； 对于选项，如图所示，,圆的直径为，则， 当最大时，，在△中，,故正确； 故选： . 11. 将一些向量构成的集合称为线性空间，设是线性空间V到自身的一个变换，将中所有能被变换为零向量的向量组成的集合称为变换在上的核，记作．已知线性空间，对任意，中的元素个数不少于4，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出各选项的，再求出中零向量个数即可判断. 【详解】对于A，对任意，，且， 则， 令，得， 则，得， 又，则， 令，得，则，且，即且， 又，因此， 于是变换将中的元素变换为零向量的， 所以中的元素个数为4，满足题意； 对于B，对任意，，且， 则， 令，得， 则，得， 又，则， 令，得，则，且，即且， 又，因此， 于是变换将中的元素变换为零向量的， 所以中的元素个数为1，不满足题意； 对于C，对任意，，且， 则， 令，则，得， 又，则， 令，得，则，且，即且， 又，因此， 于是变换将中的元素变换为零向量的， 所以中的元素个数为4，满足题意； 对于D，对任意，，且， 则， 令，则，得， 又，则， 令，得，则，且，即且， 又，因此， 于是变换将中的元素变换为零向量的， 所以中的元素个数为3，不满足题意； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，已知，且，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量加减法的运算法则，拆解向量，化简求值. 【详解】因为， 则带入，得， 整理得．又， 所以，解得． 故答案为:4. 13. 数列是正项数列，若，且，，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先求得，，结合得即可求解. 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 14. 在下列表格的每行中各任选一个数，若选取的这两个数之和为偶数，则以相同方式再选取一次，若选取的这两个数之和为奇数，则不能再选取．已知最多只能选取三次，且相同的数可以重复选取，若可选取的所有数之和的最大值为49，则正整数的值为______． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【答案】12 【解析】 【分析】分为奇数与偶数两种情况进行分析，从选取的所有数之和的最大值为49出发，判断取得最大值49时每次所选取两个数之和． 【详解】①若为正奇数，则每一次选取的两个数之和的最大奇数为13或，最大偶数为14或，又，， 所以要使得选取的所有数之和取得最大值，需要每一次选取的两个数之和为14或， 此时选取的所有数之和为偶数，不可能等于49，不符合题意； ②若为正偶数，则每一次选取的两个数之和的最大奇数为13或，最大偶数为14或， 若，则每一次选取的两个数之和小于等于16，此时选取的所有数之和的最大值小于等于48，不符合题意； 若，则，此时，当且仅当共选取三次，且第一、二、三次选取的两个数之和分别为，时， 能使得被选取的所有数之和取得最大值，所以，解得． 综上，的值为12． 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校在2024年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参加．活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升．为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展．不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导．已知第二次活动吸引了1200名学生参加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升． （1）补充完整下面的列联表； 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 第二次活动 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关？ （3）从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率． 附：，． 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表如下： 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 560 240 800 第二次活动 960 240 1200 合计 1520 480 2000 （2） 能 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件即可完成列联表； （2）由独立性检验知识可以完成判断； （3）依据组合的知识和古典概型公式即可求解. 【小问1详解】 首次活动劳动技能提升的学生人数70%人； 首次活动劳动技能未提升的学生人数人； 第二次活动劳动技能提升的学生人数为人； 第二次活动劳动技能未提升的学生人数人， 劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计 首次活动 560 240 800 第二次活动 960 240 1200 合计 1520 480 2000 【小问2详解】 零假设为 该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关，该推断犯错误的概率不超过. 【小问3详解】 抽取的名学生中劳动技能得到提升的人数为人，抽取的名学生中劳动技能未得到提升的人数为人， 记从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，其中恰好有2名学生的劳动技能提升为事件，则. 16. 记等差数列的前n项和为，已知，． （1）求的通项公式； （2）求的前n项和； （3）若时，恒成立，求正整数的最小值． 【答案】（1） （2） （3）11 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式及前项和公式列方程组求出首项和公差，即可得到结果. （2）分两种情况讨论，再利用等差数列的前项和公式计算可得结果. （3）根据（1）、（2）可得，解不等式可得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，， 当时，， 当时， ， 故． 【小问3详解】 因为，, 所以， 整理得，解得或， 因为，，所以正整数的最小值为． 17. 如图，在直三棱柱中，E，F分别是AB，BC的中点，D为上一点，，． （1）若D为的中点，证明：面； （2）若二面角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 如图，连接，取的中点，连接． 因为分别为的中点，所以． 因为平面平面， 所以平面． 由直棱柱的性质知，所以， 又平面平面， 所以平面， 因为平面平面， 所以平面平面． 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，取的中点，连接，由面面平行的判定定理证明平面平面，进而可得； （2）过作于，过点作于，连接，由线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，设，再由几何关系得到在中，，解出，可得D为的中点，进而结合三棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由直三棱柱的性质得平面平面， 过作于，过点作于，连接， 由于平面平面，平面， 则平面， 因为平面，所以． 因为平面，平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 则则，． 设， 因为平面，平面，所以， 所以，则， 又，，F是BC的中点，则，， 因为，所以， 所以，则， 所以在中，， 则有，解得，即为的中点， 则到平面的距离为， 而，， 则. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极小值小于－1，求的取值范围； （3）当时，证明：有2个零点． 【答案】（1） （2） （3）证明：． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 所以当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值为． 由，得， 即， 令，，则，则在单调递增． 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值． 当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 又因，所以， 所以有2个零点，故有2个零点． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，由点斜式即可得到切线方程； （2）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得到时，极小值，构造函数，求导推得，即可求得不等式的解集； （3）由得，令，则，令，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，推得，使得，求出的最小值为，由可得，，故得的最小值，由即可判断函数，即函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为， 整理得：． 【小问2详解】 函数的定义域为，且， ① 当时，易得，在上单调递减，则无极小值，不合题意； ② 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得时，即在上单调递减， 所以的极小值为：， 因为的极小值小于，所以，即． 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以由可得. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：求单调性及最值，需要引入隐零点，因为这个隐零点不好代入消元求值，需要再同构函数，则可得隐零点满足，，从而再代入隐零点即可求出的最小值，再结合两边的极限值，从而问题得证． 19. 设椭圆短轴上的一个端点为为椭圆上异于点的任一点．若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取得，则称该椭圆为“圆椭圆”．已知椭圆为“圆椭圆”． （1）求的离心率的取值范围； （2）当的离心率最大时，点在上，直线与交于两点，且直线的斜率互为相反数． （i）求的斜率； （ii）若，求的面积． 【答案】（1） （2）（i）;（ii） 【解析】 【分析】（1）先把表示成关于的式子，它是一元二次函数.根据SA|在取最大值，分开口向上和向下两种情况讨论.开口向上时得出的范围不合题意；开口向下时求出范围是，再根据离心率公式算出离心率范围. （2）（i）求直线 斜率：离心率最大时确定椭圆方程和点坐标.设直线方程与椭圆联立，根据得到关于和的式子，解出值，舍去直线过点的情况，得到直线斜率. （ii）由得到向量关系，代入直线方程求出值，得到直线方程.舍去点在直线上的情况，对符合条件的直线方程，算出弦长PQ和点到直线距离，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 根据对称性设点， 则， 故是关于的一元二次函数． 由定义得当且仅当时，取得最大值． ①当图象开口向上时，需满足且， 解得，不满足题意，舍去； ②当图象开口向下时，需满足且， 解得，所以的取值范围是， 故离心率． 故答案为： 【小问2详解】 由（1）得当的离心率最大时，． 由题意得直线的斜率存在， 设直线的方程为． 联立消去得， 则． （ⅰ）因为，所以， 即，即，代入整理得， 解得或． 当时，直线的方程为， 此时直线恒过定点，不满足题意，舍去， 故，即直线的斜率为． （ⅱ）． 因为，所以， 所以， 即． 代入得， 即，解得或， 所以直线的方程为或． 当直线的方程为时，， 则， 点到直线的距离为， 此时； 当直线的方程为时，点在直线上，不满足题意，舍去． 综上，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $