精品解析：广东梅县东山中学2026-2027学年高一第一学期第一次月考数学试卷

东山中学2026-2027学年度高一第一学期第一次月考考试 数学试卷 说明: 1.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 2.填空题直接把答案填写在答题卡相应横线上. 3.试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 下列集合中，与集合相等的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的最小值为 A. 4 B. C. D. 5 7. 函数的值域是 A. B. C. D. 8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，如，，，令，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 函数的值域为 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定是“” C. “设，且，则且”是假命题 D. 设，则“或”是“”的充要条件 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高一年级共有40名同学参加学科竞赛培训，其中参加数学竞赛的有25人，参加物理竞赛的有18人，参加化学竞赛的有14人．已知每人至多参加两项培训，且同时参加数学和物理竞赛的有7人，同时参加物理和化学竞赛的有5人，则同时参加数学和化学竞赛的有________人． 13. 已知函数的定义域为，则的定义域为__________． 14. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点在函数的图像上，若函数是点B的“界函数”，则m的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，求： （1）； （2）. 16. 已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 17. 已知存在，使不等式成立的实数a的取值集合为A，非空集合． （1）求集合A； （2）设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围． 18. 如图，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，记的面积为． （1）设，试用表示，并求的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 19. 设为实数，集合. （1）若，求； （2）若，求满足的条件； （3）设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东山中学2026-2027学年度高一第一学期第一次月考考试 数学试卷 说明: 1.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 2.填空题直接把答案填写在答题卡相应横线上. 3.试卷满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 2. 下列集合中，与集合相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的概念和性质逐项判断即可. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，只有当和时，，故，C正确； D选项，， D错误. 故选：C 3. 已知 ，，则 是 的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式及绝对值不等式求出，，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由 得 ，即 ； 由 得 ，即 ； 因为 但 ，所以 是 的充分不必要条件. 4. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 【详解】对于A，定义域为，与题干矛盾，不合题意， 对于D，值域取为的真子集，与题干矛盾，不合题意， 对于函数来说，对定义域内任意，都有唯一确定的与其对应，所以C错误，所以B选项正确. 5. 若关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理得到的关系，再代入分式不等式，转化为整式不等式组求解即可. 【详解】由不等式的解集为或，可得， 且，是方程的两个实根. 根据韦达定理：，解得，其中， 代入待解不等式，得 ，因为，所以， 分式不等式等价于：，解得或.  故不等式的解集为. 6. 已知，且，则的最小值为 A. 4 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由得，将目标函数展开后方可利用均值不等式 【详解】由得，由， ， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为，故选C． 【点睛】本题主要考查均值不等式解决问题，但是刚开始做题时不能直接采用均值不等式，因为，我们需要借助1的调和，再使用均值不等式，所以在使用均值不等式时一定注意“一正”“二定”“三相等”的判断 7. 函数的值域是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，令，得，把原函数转化为关于的一元二次函数求解，即可得到答案. 【详解】由题意，令，得， 所以原函数可化为， 即函数的始于为，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数值域的求解问题，其中解答中利用换元法把原函数转化为关于的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及换元思想的应用，属于中档试题. 8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，如，，，令，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 函数的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】代入具体值即可判断选项A，B；对于C选项字母的代入需要进行拆分化解，得到其周期性；对于D选项在一个周期的范围内分析出其值域即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，, 即，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由C知，为周期函数，且周期为1，不妨设， 当时，， 当时，，此时值域为， 当时，， 故当时，有，故函数的值域为，故D正确. 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定是“” C. “设，且，则且”是假命题 D. 设，则“或”是“”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD；利用命题的否定即可判断选项B；利用赋值法即可判断选项C. 【详解】对选项A：，则，解得或， 所以时，不能得到，而时，一定有， 故“”是“”的必要不充分条件，选项A正确； 对选项B：“”的否定是“”， 选项B错误； 对选项C：取则，不满足且，命题为假命题，选项C正确； 对选项D：则或；或时，则有， 所以“或”是“”的充要条件，选项D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，又，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，由，得，当时，由，得，故B错误； 对于C，， 又因为，所以，又，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又因为，所以，故D错误. 11. 已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，由求解；对B，由消元法化为二次函数求解；对C，由“1”的代换求解；对D，由求解. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号， 即的最大值是，A正确； 对于B：，， 当时，取得最小值，B错误； 对于C：， 当且仅当时取等号，又，所以， 所以的最小值为，C错误； 对于D：，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某校高一年级共有40名同学参加学科竞赛培训，其中参加数学竞赛的有25人，参加物理竞赛的有18人，参加化学竞赛的有14人．已知每人至多参加两项培训，且同时参加数学和物理竞赛的有7人，同时参加物理和化学竞赛的有5人，则同时参加数学和化学竞赛的有________人． 【答案】5 【解析】 【详解】设同时参加数学和化学竞赛的有人， 由Venn图可知：只参加数学竞赛的有人，只参加化学竞赛的有人， 可得，解得， 所以同时参加数学和化学竞赛的有5人. 13. 已知函数的定义域为，则的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域求法得，再由分母不为0可得，联立即可得解. 【详解】由题意可得，解得且， 所以的定义域为. 故答案为：. 14. 在平面直角坐标系xOy中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点在函数的图像上，若函数是点B的“界函数”，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对分成三种情况，结合，都有进行分类讨论，由此求得的取值范围. 【详解】函数开口向下，对称轴为轴.由于在函数的图像上，所以.依题意，都有，即：，都有. 当，即时，函数在上递增，最小值为，最大值为，所以，此不等式在时无解. 当，即时，函数在上，最大值为，最小值在区间的端点取得，故，解得. 点，即时，函数在上递减，最小值为，最大值为，所以，此不等式在时无解. 综上所述，的取值范围是. 故答案为 【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解，考查分类讨论的数学思想方法，考查不等式的解法，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，求： （1）； （2）. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由交集及并集的定义并结合数轴可得； （2）由补集及交集的定义并结合数轴可得. 【小问1详解】 因为， 由交集的定义得，如图： ， 又由并集的定义得，如图： ， 因此，，. 【小问2详解】 由全集，，得或. 又，由交集的定义得，如图： . 16. 已知函数． （1）若对，恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）根据给定条件，按分类求解含参数的不等式. 【小问1详解】 ，不等式恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 不等式， 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 17. 已知存在，使不等式成立的实数a的取值集合为A，非空集合． （1）求集合A； （2）设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将“存在，使得成立”变为“存在，使得 成立”，再利用基本不等式即可求解. （2）由p是q的必要不充分条件知是的真子集，根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时， ，则， ∵，当且仅当，即时，等号成立. ∴ 若存在，使不等式成立，则，即. 所以. 【小问2详解】 ∵p是q的必要不充分条件，∴是A的真子集. ∵，是A的真子集，∴，解得. 所以实数m的范围是. 18. 如图，是两条长度足够长的互相垂直的笔直小路，矩形的顶点分别在上，且该矩形区域内种满了荷花．为了让观赏者有更好的观赏体验，现计划经过点修一条小路，其中点在小路上，点在小路上，并在区域内种满荷花．已知，记的面积为． （1）设，试用表示，并求的取值范围． （2）当的长度为多少时，取得最小值？最小值是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，S取得最小值，为2000. 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似，根据相似比得，再由及其范围列不等式求范围； （2）根据已知有，应用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即可得. 【小问1详解】 依题意，得，所以，即，得， 所以，， 所以，解得； 【小问2详解】 由， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故时，S取得最小值，为2000. 19. 设为实数，集合. （1）若，求； （2）若，求满足的条件； （3）设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 【答案】（1）； （2）或 （3），，，. 【解析】 【分析】（1）代入，分解因式解方程可得； （2）由是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可； （3）先分析方程的一次项系数及方程二次项系数均不为，再分，，且三类情况讨论即可. 【小问1详解】 若， 则方程为， 即，解得或. ； 【小问2详解】 由题意知，. ，是方程的根， 即，解得. 由，集合有且仅有一个元素， 即方程有且仅有一个根， ①若是方程的根， 则，且，解得； ②若不是方程的根， 则方程无实数根， 则； 综上所述，或. 【小问3详解】 ，， 若，， ， 则，又，， 所以有，解得. 验证：当时，， 不满足集合恰有两个元素，故； 若， 由， ， 则，，又，则，又， 所以，即. 由，则,即,解得. 验证：当时， 也不满足集合恰有两个元素，故； 由上可知，且.则， 且方程与有相同的判别式， 即两方程根的个数相同. 由集合均恰有两个元素，则. ， 因为，则是方程或的根. 由，且，则是方程或的根. ①当时，是方程的根，，则， 又，则，由， 则是方程的根，则. （i）若，联立解得. 验证：当，，时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两个不相等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ②当时，，即是方程的根， 则，又，则， 则是方程的根，则，即 （i）若，联立解得. 验证：当，，时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两不等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根. 由，则是方程的两实数根， 且是方程的根， 则有，解得. 验证：当且，，时，有. 有三个元素，故不满足题意； 综上所述，满足题意的所有三元数对有，，，. 【点睛】关键点分析：本题的关键在于两个突破口，一是以方程与的两根情况为入手点，当时可知，且；二是以为入手点，以“是否为方程的根”与“是否为方程的根”为分类界点产生讨论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $