精品解析：辽宁省鞍山市铁西区鞍山市育才中学2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

育才中学八年下数学 一．选择题（共8小题，每题2分） 1. 设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，且已知，，则为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 18 2. 计算的结果是（ ） A B. C. D. 3 3. 如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 5 4. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. 8 C. 24 D. 11 5. 若是正比例函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 6. 如图，数轴上点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，已知，，平分交边于点E，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 若，，三点在同一函数图象上，则函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共8小题，每题2分） 9. 下列二次根式，，，，中，是最简二次根式为_____． 10. 直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边长是______． 11. 当________时，函数是正比例函数，此时时，中z的值： 12. 已知则_______ 13. 如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，AC为一条对角线，若∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为______________． 14. 如图，如果你在南京路和中山路交叉口，想去动物园（环西路与曙光路交叉口），沿街道行走最近距离是______．（结果保留整数） 15. 如图，在中，， ，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为______． 16. 如图（1），在长方形中，点从点出发，沿匀速向点运动，连接．设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图（2）所示，则当点运动至中点时，的长为________． 三．解答题（共7小题） 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 已知：，求的值． 19. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 20. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米； （2）请你求出旗杆高度． 21. 如图，在中，E为边上一点，且，连接、． （1）求证： （2）求证：． 22. 如图所示，平行四边形和平行四边形有公共边，边和在同一条直线上，且，过点A作交于点G，交于点H，连接． （1）判断的形状，并证明； （2）若，，求的周长； （3）求证：． 23. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 育才中学八年下数学 一．选择题（共8小题，每题2分） 1. 设直角三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为，且已知，，则为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得：， 故选：A． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积乘方逆用及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键﹒ 把原式变形为，逆用积的乘方计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 3. 如图，在高为，斜坡长为的楼梯台阶上铺地毯（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度． 【详解】解：在中，（米）， 故可得地毯长度（米）， 故选：A． 4. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. 8 C. 24 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、求代数式的值，根据算术平方根的非负性得出，从而得出，代入进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ， ， 故选：C． 5. 若是正比例函数，则m的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义计算． 【详解】解：根据正比例函数的定义，可得，且， ． 故选：B． 【点睛】本题考查根据正比例函数定义求参，解题关键是掌握正比例函数的定义：形如，为常数且，自变量次数为1． 6. 如图，数轴上点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，得出， 即可得出数轴上点C所表示的数是． 详解】解：∵，，， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理与无理数，掌握定理内容准确计算并利用数形结合思想是解题的关键． 7. 如图，在中，已知，，平分交边于点E，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到，，，再利用平行线的性质和角平分线的定义得到，进而求得即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴，则， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的形、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定，证得是解答的关键． 8. 若，，三点在同一函数图象上，则函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 详解】解： ，， ∴点C与点B关于y轴对称； 由于A、C的图象关于原点对称，因此选项A、C错误； ， 由，可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于二次函数当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 则D选项不正确，B选项正确； 故选：B． 二．填空题（共8小题，每题2分） 9. 下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：，，， 故这些二次根式中是最简二次根式的为：，． 故答案为：， 10. 直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理解三角形以及二次根式的化简运算．正确使用勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．先分别计算两条直角边的平方，然后求和，最后再对和进行开方，即可得到斜边的长度． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是和， ∴由勾股定理可得： ． 故答案为：． 11. 当________时，函数是正比例函数，此时时，中z的值： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求函数值，先根据正比例函数的定义求出，再把代入，整理后把代入计算即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 当时， ． 故答案为：，843 12. 已知则_______ 【答案】2030 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，此时原式可变形为，可得到，进而可得． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 整理得：， 两边同时平方得：， 那么， 原式 ， 故答案为：． 13. 如图，四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，DA=3，AC为一条对角线，若∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为______________． 【答案】2+ 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD=90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==2， ∵CD=1，AD=3，AC=2， ∴AC2+CD2=AD2， ∴∠ACD=90°， ∴四边形ABCD的面积： S=S△ABC+S△ACD =AB×BC+AC×CD =×2×2+×1×2 =2+ 故答案为2+ 考点：勾股定理的逆定理；勾股定理． 14. 如图，如果你在南京路和中山路交叉口，想去动物园（环西路与曙光路交叉口），沿街道行走的最近距离是______．（结果保留整数） 【答案】340 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，难度一般． 首先根据勾股定理求出的长度，然后根据含角的直角三角形解直角三角形求出的长度，求出两条到达动物园的路线，选择较近的即可． 【详解】解：如图， ，， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 则想去动物园有两条路： ①由南京路环西路动物园：； ②由中山路环西路动物园：； 线路①最近，距离为． 故答案为：340． 15. 如图，在中，， ，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；过点F作于点G，则由条件得，由勾股定理求得、的值，进而得；设，则，；在中由勾股定理建立方程可求得的值，最后可求得的长． 【详解】解：如图，过点F作于点G， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得、； ∵， ∴， ∴， ∴； 设，由折叠知，，； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 16. 如图（1），在长方形中，点从点出发，沿匀速向点运动，连接．设点的运动距离为，的长为，关于的函数图象如图（2）所示，则当点运动至中点时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，二次根式的化简，从函数图象中获取信息是解题的关键． 根据图2中点的实际意义可得：当时，，再根据图2中点的实际意义可得：，，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：由图2可得： 当时，， 当点的运动距离为0时，的长为6， 当时，， 由图2可得： 当时，， 当点的运动距离为时，的值最大，最大为6， 当点运动到和点重合时，的值最大， ，， 在中，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，包括根式的化简、分母有理化，以及乘法分配律、平方差公式在二次根式运算中的应用． （1）先把各项根式化简，再对分母有根号的项有理化乘，最后合并同类二次根式． （2）前半部分用乘法分配律算，后半部分用平方差公式算，再做减法． （3）先化简各项根式，再按顺序算乘除，注意保留负号，最后化简结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 18. 已知：，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，解题的关键是掌握完全平方公式． 先将待求式通过配方法变形为，再将的值代入计算即可． 【详解】解：当， ． 19. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）4680元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用： （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形空地的周长 ； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ∴ 元， 答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元． 20. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． （1）依题知 米，用含有x的式子表示为 米； （2）请你求出旗杆的高度． 【答案】（1）5； （2）12米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． （1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空； （2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 【小问1详解】 解：根据题意知：米，米． 故答案为：5；； 【小问2详解】 解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 21. 如图，在中，E为边上一点，且，连接、． （1）求证： （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行四边形的性质、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，由平行四边形的性质得，则； （2）由，，推导出，由，得，因为，且，所以，而，即可根据“”证明，则． 【小问1详解】 证明： ， ， 四边形是平行四边形， ， ． 【小问2详解】 证明：，， ， ， ， ，且， ， 在和中， ， ， ． 22. 如图所示，平行四边形和平行四边形有公共边，边和在同一条直线上，且，过点A作交于点G，交于点H，连接． （1）判断的形状，并证明； （2）若，，求的周长； （3）求证：． 【答案】（1）是等腰直角三角形，证明见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考压轴题． （1）根据平行四边形的性质和等腰直角三角形的判定定理即可得到结论； （2）由平行四边形的性质可得，，，可得，由勾股定理可求，的长，即可求解； （3）如图，在上取一点M，使得，连接．利用全等三角形的性质证明即可解决问题． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， 证明：∵四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 小问2详解】 解：∵四边形，四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 【小问3详解】 证明：如图，在上取一点M，使得，连接． ∵四边形，四边形都是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 即． 23. 综合与实践 【问题情境】我们知道两个数的和为2，这两个数的平均数为1，按照这样简单的数学知识，我们给出一个新的数学概念，请仔细阅读理解，并且解答一些问题，若，则与的平均数是1，我们称与是关于1的平衡数．例如，3与是关于1的平衡数． 【思考尝试】 （1）4与_____是关于1的平衡数；与_____是关于1的平衡数． 【实践探究】 （2）与是关于1的平衡数，同时，与也是关于1的平衡数，求与的值． 【拓展延伸】 （3）若，试判断与是否是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】（1），（2）（3）与不是关于1的平衡数 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， (1)根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； (2)根据平衡数的概念得关于和的方程组，由此可得出答案； (3)根据所给的等式，解出的值，进而再代入判断即可； 解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 【详解】(1)解：由题意得，，， 与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数， 故答案：； (2)解：与是关于1的平衡数，与也是关于1的平衡数， ，解得， (3)解：不是，理由如下， ，， ， ，即， ， ， 与不是关于1的平衡数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$