14.1 全等三角形及其性质 角平分线模型 教学设计2024-2025学年沪科版 八年级数学上册

角平分线模型教学设计 教 学 目 标 1、了解角平分线模型，会用角平分线模型； 2、角平分线模型和其他类型问题的结合时，能够构造角分线模型解决问题。 重 难 点 构造角平分线模型解决问题 教 学 过 程 一、引入：基础模型 已知: OP 平分∠MON ,过点 P 作 PA⊥OM 于点 A ,过点P作 PB⊥ON于点 B 结论: PA = PB ,0A= OB , ∠APO=∠BPO 结论分析 结论: PA = PB , OA = OB , ∠APO = ∠BPO 师问：在三角形中，角平分线还有什么特殊的性质呢？ ( A ) ( 。 )BD 是角平分线，可以得到 D B C 讨 论 补 充 记 录 . 学科网（北京）股份有限公司 教 学 过 程 二、探究：如何用角平分线模型? 1.找模型 遇到图形中含角平分线,考虑用角平分线模型 2.用模型 一般直接用角平分线的性质,或者构造等腰三角形或全等三角形解决线段和角度问题 模型拓展 与角平分线有关的辅助线作法 条件 OP 平分∠MON A 为 OM 上一点 OP 平分 ∠MON ,AP⊥ OP OP 平分∠MON 作图 作法 在 ON 上 截 取OB=OA,连接 PB 延长 AP交 ON于点 B 过点 P 作 PQ // ON 交 DM 于点 Q 结论 PA =PB, ∠ APO= ∠ BPO PA = PB , OA = OB OQ= PQ , ∠QPO= ∠QOP 归纳： 角平分线性质:角平分线上的点到角两边的距离相等. 碰到角平分线,常需要截相等线段来构造三角形全等或者作平行线产生等腰三角形来解决问题. 例 1、如图,在四边形 ABCD 中, ∠A =90 °, AD=3,BC=5,对角线 BD 平分∠ABC （点拨:考虑角平分线的性质）,则△BCD 的面积为 学科网（北京）股份有限公司 A .8 B .7.5 C .15 D .无法确定 思路点拨：已知角平分线+边的垂直(直角),考虑作垂直,应用角平分线上的点到角两边的距离相等. 例 2、如图, BD 是△ ABC 的角平分线, AE⊥BD（点拨：角平分线的垂线产生全等），垂足为 F .若∠ABC =35 °, ∠C =50 °,则∠CDE 的度数为 A .35 ° B .40 ° C .45 ° D .50 ° 小结：角平分线的性质,三角形的内角和,全等三角形的判定与性质,三角形的内外角关系,等腰三角形的性质 思路点拨：已知角平分线+角平分线的垂线,构造出等腰三角形. 例 3、如图,已知 ∠ABC 的平分线交 AC 于点 E,过点 E 作 DE∥BC （点拨：过角平分线上的点作平行线产生等腰三角形及角相等）,交 AB 于点 D .若 ∠A =70 °, ∠AED =50 °, BD =2,则 BE 长为 . 角平分线的性质,平行线的性质,三角形的内角和,等腰三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值。思路点拨：已知角平分线+平行线,构造出等腰三角形. 三、练习、1.如图,已知三角形 ABC 中, ∠ABC =60 °, BD 是 ∠ABC 的平分线, CE ⊥AB于点 E ,交 BD 于点 F,若 EF =4,则 FC 的长为 . 2.如图,在△ABC 中, BD平分∠ABC,以点 B为圆心,AB长为半径画弧,交 BC于点E,连接 DE,已知∠A=70 ° ,则∠CED 的度数为______. 3.如图,在△ABC 中,D,E分别是 AB ,AC 的中点,CF平分∠ACB，交 DE于点 F,若AC=10,BC=12,则 DF 的长为________. 4.如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F分别是 BC,CD上的点,连接 EF,AE,AF,若 AE,AF恰好平分∠BEF, ∠DFE. (1)则∠EAF 的度数为__________; (2)求证:四边形 ABCD是正方形; (3)若 BE=EC=3,则 DF 的长为________. 这是半角模型和角平分线结合的一道题，像这种题型，我们通常会旋转三角形 ADF在三角形 ABE 的左边。这样就构成多个全等形。有利于我们解题。 教 学 反 思 角平分线是一个轴对称图形，在解决问题时要关注对称性的应用，像角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在三角形中，角的平分线分对边与交的两边对应成比例；这些性质更体现了角的平分线的重要性。另外，角平分线遇见平行会出现等腰三角形也是常用的一个模型。 $$