精品解析：辽宁省沈阳市辽中区第二初级中学2024-2025学年七年级下学期4月月考数学试题

辽中二中七年数学阶段质量检测 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 3. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，对于下列条件：；；；其中一定能得到的条件有（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在河边的处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿的路径走才能走最少的路，其依据是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 6. 下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②两点之间直线最短；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤等角的补角相等；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；不正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 如果计算的结果不含项，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 8. 如图，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 9. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 10. 如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝240°，则∠BOC的度数为__________°． 12. 已知，则______． 13. 如图，，点O在AB上，OE平分∠BOD，，，则∠AOF的度数是______． 14. 定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为______． 15. 已知实数满足，则的值为______． 三．解答题 16. 计算： （1） （2） （3）（运用乘法公式） （4）． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知展开的结果中，不含和项．（，为常数） （1）求，的值； （2）先化简，再求值：．（，利用（）结果） 19. 如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：． 请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：，（已知） （ ）， （ ）， 又（已知）， （ ）， _____ （ ）； 20. 如图，直线、相交于点，平分，平分． （1）、有什么位置关系，请说明理由； （2）若，求的度数． 21. 问题情景：如图1，． （1）观察猜想：若，．则的度数为__________． （2）探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：______，方法2：______； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______． （3）若，，则______； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为（），若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是______． 23. 如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． （1）填空： ， ； （2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时， ①请直接写出 ， （结果用含的代数式表示）； ②若恰好是的倍，求的值； （3）如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为．当时，则 ； ②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽中二中七年数学阶段质量检测 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，幂的乘方，同底数幂除法．根据积的乘方，单项式除以单项式，幂的乘方，同底数幂相除法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； ，故D选项符合题意； 故选：D． 2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键． 3. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．根据平方差公式的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，二项式中的两项均互为相反数，不符合平方差公式，符合题意； B、，能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，能用平方差公式，不符合题意； 故选：A 4. 如图，对于下列条件：；；；其中一定能得到的条件有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：，∴； ， ∴； ，∴； ，∴； 综上分析可知，一定能得到的条件有，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，灵活运用平行线的判定定理是解题的关键． 5. 如图，在河边的处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿的路径走才能走最少的路，其依据是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可把河边看作一条直线，则牧童把牛牵到河边沿的路径走才能走最少的路，其依据是点到直线，垂线段最短； 故选B． 【点睛】本题主要考查垂线段最短，熟练掌握点到直线，垂线段最短是解题的关键． 6. 下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②两点之间直线最短；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤等角的补角相等；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；不正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平面内直线的位置，对顶角的定义，等角的补角相等等知识，根据相关定义进行逐一判断即可，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，原说法错误； ②两点之间线段最短，原说法错误； ③两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误； ④相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ⑤等角的补角相等，原说法正确； ⑥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； 不正确的说法有①②③④⑥， 故选：D． 7. 如果计算的结果不含项，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再结合项的系数为零列方程求解即可． 【详解】解：， ∵计算的结果不含项， ∴，即． 故选：A． 8. 如图，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线、构造平行线和三角形成为解题的关键． 如图：延长交于点G，由平行线的性质可得，再根据等量代换以及三角形的知识可得，然后再根据等量代换即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 9. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，还考查了多项式乘多项式．设出小长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图1可得，， 即①， 由图2可得，， 即②， 由①②得，， 所以， 即每个小长方形的面积为5， 故选：A． 10. 如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟记“一般地，从一个角的顶点出发，在角的内部把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”，“当两直线所组成的角为直角时，称它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线”的相关概念，利用表示各个角度．根据角平分线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， 故①正确； ， ， ， 即平分， 故②正确； ，， ， ， ， ， ， 故③正确； ，， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝240°，则∠BOC的度数为__________°． 【答案】120 【解析】 【分析】由题意根据对顶角相等得出∠BOC=∠AOD进而结合∠AOD＋∠BOC＝240°即可求出∠BOC的度数． 【详解】解：∵∠AOD＋∠BOC＝240°，∠BOC=∠AOD， ∴∠BOC=120°． 故答案为：120． 【点睛】本题考查的是对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键． 12. 已知，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据变形计算即可． 本题考查了完全平方公式变形计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由，且， 故， 解得， 故答案为：． 13. 如图，，点O在AB上，OE平分∠BOD，，，则∠AOF的度数是______． 【答案】35°##35度 【解析】 【分析】根据平行线的性质求得∠BOD＝∠D＝110°，∠AOD＝70°，由OE平分∠BOD， 得到∠DOE＝55°，由垂直的定义得到∠FOE＝90°，进一步即可求得答案． 【详解】解：∵CDAB，∠D＝110°， ∴∠AOD+∠D＝180°，∠BOD＝∠D＝110°， ∴∠AOD＝70°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE∠BOD＝55°， ∵OF⊥OE， ∴∠FOE＝90°， ∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°， ∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°． 故答案为：35°． 【点睛】此题考查平行线的性质、垂直的定义、角平分线的相关计算等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 14. 定义一种新运算，若，则，例，．已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了乘方、同底数幂的运算等知识点，根据新定义运算表示出左右两侧的数，再根据相应的运算法则求解即可，理解新定义运算和掌握对应知识的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设， 则由题意可得， 即 故答案为：． 15. 已知实数满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得，得到，代入化简解答即可． 本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4051． 三．解答题 16. 计算： （1） （2） （3）（运用乘法公式） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂解答即可． （2）根据完全平方公式，多项式乘以多项式，整式的加减解答即可． （3）根据平方差公式，完全平方公式解答即可． （4）构造平方差公式解答即可． 本题考查了有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式，多项式乘以多项式，整式的加减，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【解析】 【分析】根据完全平方公式，平方差公式，整式的乘除和化简，后代入求值即可． 本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的乘除，化简求值，熟练掌握公式和化简是解题的关键． 【详解】解：， ， 当时， 原式． 18. 已知展开的结果中，不含和项．（，为常数） （1）求，的值； （2）先化简，再求值：．（，利用（）结果） 【答案】（1），； （2）；． 【解析】 【分析】（）先根据多项式乘以多项式得，展开的结果中，不含和项，可得，，计算求解即可； （）根据平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式得，将，代入求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∵展开的结果中，不含和项， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解： ， 将，代入得， 原式． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式，代数式求值等知识，熟练掌握多项式乘多项式，多项式除以单项式，平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 19. 如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：． 请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：，（已知） （ ）， （ ）， 又（已知）， （ ）， _____ （ ）； 【答案】垂直的定义，同位角相等，两直线平行；同角的补角相等，；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，等量代换思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：解：，（已知） （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， 又（已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）； ． 故答案为：垂直的定义，同位角相等，两直线平行；同角的补角相等，；内错角相等，两直线平行． 20. 如图，直线、相交于点，平分，平分． （1）、有什么位置关系，请说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵, ∴， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，解答即可． （2）设，根据题意，得，解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 21. 问题情景：如图1，． （1）观察猜想：若，．则的度数为__________． （2）探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁内角互补是解题的关键． （1）过点P作，则，根据两直线平行，内错角相等得到，则； （2）同（1）求解即可； （3）过点P作，则，根据平行线的性质得到，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：______，方法2：______； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______． （3）若，，则______； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为（），若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是______． 【答案】（1），；（2）；（3）33；（4）3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积； （2）根据两种方法得到的面积相等列出等式； （3）根据完全平方公式变形求值即可求解． （4）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：（1）方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：， 方法，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积得：； （2）依题意得：； （3），， ； （4）阴影部分面积等于 ， ，， ， 阴影部分面积等于． 23. 如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． （1）填空： ， ； （2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时， ①请直接写出 ， （结果用含的代数式表示）； ②若恰好是的倍，求的值； （3）如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为．当时，则 ； ②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）120，90 （2）①，② （3）①15②12或48 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）①根据两直线平行，内错角相等求出，再用三角形外角等于不相邻的两个内角和可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到； ②根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）①画出图形，由平行线性质可得答案； ②分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴，； 故答案为：120，90； 【小问2详解】 解：①如图 2， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； ②当时得， ， 解得 的值是； 【小问3详解】 解：①如图： 根据题意得：，， ， ； 故答案为：； ②存在，理由如下： 如图：， ， ， ； 如图： ， ， ， ； 综上所述，t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $