精品解析：福建省福州市平潭新世纪学校2024-2025学年下学期第一次适应性练习八年级数学试题

福建省福州市平潭新世纪学校2024-2025学年下学期 第一次适应性练习八年级数学试题 （试卷总分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知于点，点对应的数是，那么数轴上点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，， C. 4，5，6 D. 3，4，5 7. 设，，则用含a，b的式子表示，可得（ ） A. B. C. D. 8. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（ ） A. 3米 B. 4米 C. 4.2米 D. 5.8米 9. 如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为12cm，高5cm的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是______． 12. 若，求的值是______． 13. 已知直角三角形______． 14. 的整数部分是______． 15. 如图，在中，，平分，则的长是______． 16. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算 （1） （2） （3） 18. 已知：，． （1）求和的值； （2）求式子的值． 19. 实数a，b，c在数轴上如图所示，化简：（）2﹣+|b﹣c|+． 20. 作图题 （1）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为． （2）求出这个三角形的面积． 21. 如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的底部在水平方向滑动了至，那么梯子的顶端沿墙垂直也下滑了吗？ 22. 上有天堂，下有苏杭，中间还有个周庄，周庄是一座江南小镇，有“中国第一水乡”之美誉，其平面图如①所示，小明据此构造出该庄的一个数学模型如图②所示，其中，求该庄的面积． 23. 阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： （1）将分母有理化． （2）比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）：______． （3）计算：． 24. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． （1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； （2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； （3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 25. 如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5，AB＝1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD． （1）如图1，当BP＝　 　时，△ADP是等腰直角三角形．（请直接写出答案） （2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并加以证明． （3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，请画出图形，并求线段B′D的长度．（参考定理：若直角△ABC中，∠C是直角，则BC2+AC2＝AB2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省福州市平潭新世纪学校2024-2025学年下学期 第一次适应性练习八年级数学试题 （试卷总分：150分 完卷时间：120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的概念，熟练掌握二次根式的概念是解决本题的关键． 根据二次根式的概念，即形如的式子叫做二次根式，由此概念判断选项即可． 【详解】解：A选项，中，是二次根式； B选项，中时，式子无意义，不一定是二次根式； C选项，中的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； D选项，中，式子无意义，不是二次根式． 故选：A ． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可列一元一次不等式，解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得， ， 故选：A． 3. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形、的边长分别是，，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．根据正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方，即可解答． 【详解】解：由图形可知，正方形的面积正方形的面积等于直角三角形两直角边平方的和，即等于斜边的平方， ， 正方形、的面积分别为、， 最大正方形的面积， 故选：B． 4. 如图，已知于点，点对应的数是，那么数轴上点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出，进而根据点的位置即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点对应的数是， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在数轴上所表示的数是， 故选：． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减和乘法运算、二次根式的性质，掌握运算法则是解答的关键．据相关运算法则逐项计算可作出判断． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能加减，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算错误，不符合题意； C、，故此选项计算正确，符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 6. 在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，， C. 4，5，6 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 根据勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，故是勾股数，故本选项符合题意， 故选：D． 7. 设，，则用含a，b的式子表示，可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简及二次根式的乘法计算．先将进行化简变形，然后把a，b的值代入计算即可．熟练掌握二次根式的化简及二次根式的乘法运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 8. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：大意是一根竹子原高8米，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4米，试问折断处离地面多高？（ ） A. 3米 B. 4米 C. 4.2米 D. 5.8米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为x米，则米，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x米，则米， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即折断处离地面的高度为3米． 故选：A． 9. 如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为12cm，高5cm的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将勾股定理与实际问题相结合，解答此题的关键是画出图形确定h的最大值和最小值．先根据题意画出图形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】当筷子和杯底垂直时h最大，则最大， 当筷子和杯底及杯高成直角三角形时，h最小，此时， 故最小， 故取值范围是：． 故选：C 10. 已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②当整数时，则为整数， 为整数， 为整数，取整数， 当或时，也为整数，故②错误； ③， 当时，的最小值为，故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故选:B． 【点睛】本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 12. 若，求的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入中即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则， ∴， 故答案为：2． 13. 已知直角三角形______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理直接计算即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵直角三角形， ∴， 故答案为：． 14. 的整数部分是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加法运算，无理数的估算，先利用二次根式的性质化简，再求出二次根式的和，进而利用夹逼法估算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的整数部分是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质，勾股定理，全等三角形性质及判定．根据题意过点作交于点，再设，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：过点作交于点， ， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴在中应用勾股定理：，解得：， 故答案为：． 16. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 【答案】2025 【解析】 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故答案为：2025． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，注意涉及根式的化简、加减乘除运算，以及平方差公式、完全平方公式在二次根式计算中的应用．熟练使用公式并正确计算是解决本题的关键． （1）把每个根号里的数拆成能开方的部分，变成最简根式后，只有根号里的数相同才能加减． （2）乘的时候根号里的数相乘，除的时候根号里的数相除，结果化简后都是，直接加减系数． （3）前半部分符合，用平方差公式算；后半部分是，用完全平方公式展开，最后去括号加减． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 18. 已知：，． （1）求和的值； （2）求式子的值． 【答案】（1）， （2）24 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式、代数式求值． （1）把，代入求值即可； （2）根据，，利用完全平方公式进行变形，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 19. 实数a，b，c在数轴上如图所示，化简：（）2﹣+|b﹣c|+． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数轴得到 ， ， ，直接根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：由数轴得： ， ∴ ， ， ， ∴（）2﹣+|b﹣c|+ ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，实数与数轴，能利用二次根式的性质和绝对值的性质化简是解题的关键． 20. 作图题 （1）在图中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为． （2）求出这个三角形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、网格作图、三角形面积等知识点，正确作出所需三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理和网格作图即可； （2）根据网格以及三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：如图：的面积为． 21. 如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的底部在水平方向滑动了至，那么梯子的顶端沿墙垂直也下滑了吗？ 【答案】（1） （2）不是，梯子的顶端A下滑了 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得到即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，，， 在中，， ∴ 答：这个梯子的顶端距离地面 【小问2详解】 解：由题意得，，， 在中，， ∴ ∴ 所以梯子的顶端A下滑了 22. 上有天堂，下有苏杭，中间还有个周庄，周庄是一座江南小镇，有“中国第一水乡”之美誉，其平面图如①所示，小明据此构造出该庄的一个数学模型如图②所示，其中，求该庄的面积． 【答案】该庄的面积为234 【解析】 【分析】根据勾股定理求出线段长度，根据勾股定理的逆定理求出，分别求出和的面积即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得： ， ， ， ， ∴四边形的面积： ， 答：该庄的面积为234． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积，能熟记勾股定理的逆定理和勾股定理的内容是解此题的关键． 23. 阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决问题： （1）将分母有理化． （2）比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）：______． （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化、平方差公式的应用、二次根式乘法运算等知识点，掌握分母有理化成为解题的关键． （1）根据平方差公式先分子和分母都乘以即可解答； （2）先分母有理化，然后再比较大小即可； （3）先分母有理化，最后合并同类二次根式，最后算乘法即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：，， ∵ ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解： ． 24. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． （1）如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； （2）小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； （3）如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）；； （2） ∵， 即， 整理得， 故； （3）27 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【小问1详解】 解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 25. 如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5，AB＝1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD． （1）如图1，当BP＝　 　时，△ADP是等腰直角三角形．（请直接写出答案） （2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并加以证明． （3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，请画出图形，并求线段B′D的长度．（参考定理：若直角△ABC中，∠C是直角，则BC2+AC2＝AB2） 【答案】（1）4； （2）PB和PC的数量关系：PB＝PC， 证明：如图2，延长线段AP、DC交于点E， ∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠EDP． ∵DP⊥AP， ∴∠DPA＝∠DPE＝90°． 在△DPA和△DPE中， ∴△DPA≌△DPE（ASA）， ∴PA＝PE． ∵AB⊥BP，CM⊥CP， ∴∠ABP＝∠ECP＝90°． 在△APB和△EPC中， ∴△APB≌△EPC（AAS）， ∴PB＝PC； （3）线段B′D的长度为5． 【解析】 【分析】（1）若△ADP是等腰直角三角形．则AP＝DP，必须要求△APB≌△PDC，则,所以BP＝4； （2）延长线段AP、DC交于点E,则△DPA≌△DPE，PA＝PE，进一步可证明△APB≌△EPC，则PB＝PC； （3）先按要求作出图形，然后将B′D放在直角三角形中，利用勾股定理求出B′D的长度. 【详解】解：（1）当BP＝4时，CP＝BC﹣BP＝5＝4＝1， ∵AB＝1， ∴AB＝PC， ∵AB⊥BC，DP⊥AP，CM⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠APB+∠DPC＝90°＝∠PDC+∠DPC， ∴∠APB＝∠PDC， 在△APB和△PDC中， ∴△APB≌△PDC（AAS）， ∴AP＝DP， 又∵∠APD＝90°， ∴△ADP是等腰直角三角形， 故答案为4； 略 （2）略 （3）如图，连接B'P，过点B'作B'F⊥CD于F，则∠B'FC＝∠C＝90°， ∵△PDC是等腰三角形， ∴△PCD为等腰直角三角形，即∠DPC＝45°， 又∵DP⊥AP， ∴∠APB＝45°， ∵点B关于AP的对称点为点B′， ∴∠BPB'＝90°，∠APB＝45°，BP＝B'P， ∴△ABP为等腰直角三角形，四边形B'PCF是矩形， ∴BP＝AB＝1＝B'P，PC＝5＝1＝4＝B'F，CF＝B'P＝1， ∴B'F＝4，DF＝4﹣1＝3， ∴Rt△B'FD中，B'D＝ ＝5， 故线段B′D的长度为5． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及利用勾股定理求线段的长度，找到两个三角形全等的条件是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $