精品解析：浙江省绍兴诸暨市城东中学2024-2025学年九年级下学期3月考试数学试卷

城东初中2024学年第二学期三月阶段性测试 九年级数学试题卷 一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，0，1，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．根据负数的绝对值越大，这个数越小得到，则四个数的大小关系为． 【详解】解：∵，，且 ∴， ∴，0，1，这四个数的大小关系为， ∴这四个数中，最小的数． 故选：A． 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：4500000000=4.5×109， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是几何体的三视图，根据几何体的主视图是从正面看到的图形判断即可． 【详解】解：从正面观察几何体可知，其主视图有2层，第一层有4个小正方形，第二层从左边数第2个位置有1个小正方形，故选项D符合． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握相关定义和运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故选项不符合题意； B、，原计算错误，故选项不符合题意； C、，原计算错误，故选项不符合题意； D、， 计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 5. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了40名学生，调查结果列表如下： 锻炼时间/ 5 6 7 8 人数 9 13 12 6 则这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这40名学生的锻炼时间从低到高排列处在第20名和第21名的锻炼时间分别为，， ∴这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数为， 故选：B． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 数轴上表示，如图所示： 故选：C． 7. 如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点C的坐标为，若点A的坐标为，则点E的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，图形的平移，解题关键是掌握位似变换的性质． 先利用位似的性质得到和的位似比为，再利用平移的方法把位似中心平移到原点解决问题． 【详解】解：∵和是以点C为位似中心的位似图形， 而和的周长之比为， ∴和的位似比为， 把C点向右平移2个单位到原点，则A点向右平移2个单位的对应点的坐标为， 点以原点为位似中心的对应点的坐标为， 把点向左平移2个单位得到， ∴E点坐标为． 故选：B 8. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．已知小正方形的面积为9，，则大正方形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形的性质得到，求得，设， ，得到，求得，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在小正方形中，， ∴， ∵， ∴， ， ∴设， ， ∴， ∵小正方形的面积为9， ∴， ∴， ∴，， ， 故选：C． 9. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质．首先根据题意，判断函数图象所在象限，再根据所在象限得到的取值范围，进而求解，即可解题． 【详解】解：当时，有， 反比例函数图象在二、四象限， ， 解得， 故选：D． 10. 如图，在中，为边上的中线，，，记，，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，运用完全平方公式进行运算，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 先证明和全等，可得,再由勾股定理得，，，进而得，据此即可得出答案． 【详解】解：延长到，使，连接，过点C作于点F，如图所示： ∵为边上的中线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴代数式的值不变，始终等于． 故选：D． 二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于_________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率． 【详解】解：从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张有5种可能性，其中编号是偶数的可能性有2种可能性， ∴从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 13. 计算：___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用分式同分母运算法则进行合并，并化简即可得出结果． 【详解】解：， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是分式加法运算的基础运算，掌握其运算法则是解题的关键． 14. 如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】如图，，，根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，即得，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得：，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 则在中，∵， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点．是边上的动点，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】3或2.4 【解析】 【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键． 【详解】解：连接， ①当点与点重合时，为， 设圆的半径， ∴，， ∵， 在中，根据勾股定理可得：， 解得：， 即； ②当时，过点作于点， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 16. 如图，在正方形中，点E是边上一点，将沿着折叠，点B落在点F处，延长交于点G．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折性质，由勾股定理列方程．连接，设正方形的边长为，求出，可得，整理得：，而，故，整理得：，即可解得，从而可得正方形的边长为，得． 【详解】解：连接，设正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ， 由翻折可得，， ∴， ∴， 整理得：①， ∵， ∴， 整理得：②， 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入①得：， 解得（与不符合，舍去）， ∴正方形的边长为， ∴， 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，第17-21小题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、算术平方根、零次幂、整式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据绝对值、算术平方根、零次幂化简，然后再计算即可； （2）直接运用整式的混合运算法则求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 解下列方程（组）： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组与解分式方程，熟练掌握相关方法是解题的关键． （1）先将②式乘以2，再利用加减消元法解出即可； （2）方程两边同乘最小公分母，整理化简解出即可． 【小问1详解】 解：将②式乘以2得： 得：， 解得：， 将代入①式中得：， 解得：， 则方程组的解为； 【小问2详解】 解：两边同乘得：， 整理得：， 解得：， 当时，， 则是原分式方程的解． 19. 某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷(部分)和结果描述如下： 调查问卷(部分) 1．你每周参加家庭劳动时间大约是______． 如果你每周参加家庭劳动时间不足，请回答第2个问题： 2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______(单选)． A．没时间 B．家长不舍得 C．不喜欢 D．其它 中小学生每周参加家庭劳动时间 分为组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间不足两小时的有多少人？ （2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了调查与统计，条形统计图与扇形统计图； （1）根据条形统计图，即可求解； （2）根据调查问卷可得回答问题2的人数为人，进而根据扇形统计图求得“不喜欢”的占比，用乘以占比，即可求解． 【小问1详解】 解：第五组的人数为：， ， ∴本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间不足两小时的有人； 【小问2详解】 解：根据扇形统计图可得选择“不喜欢”的占比为： ∴在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为 20. 如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点． 小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则． 小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则 小瑞：小安，你的作法有问题． 小安：哦…我明白了! （1）指出小安作法中存在的问题． （2）证明：． 【答案】（1） 以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结， 此时点E的位置可能有两个，不能判定两个三角形全等． （2） 证明：如图2中，∵， ， 由作图可得 ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识． （1）根据不能判定三角形全等可得结论； （2）根据证明三角形全等即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. ，两地相距千米．早上货车甲从地出发将一批物资运往地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与地联系．地收到消息后立即派货车乙从地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往地．两辆货车离开各自出发地的路程千米与时间小时的函数关系如图所示．(通话等其他时间忽略不计) （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式． （2）因实际需要，要求货车乙到达地的时间比货车甲按原来的速度正常到达地的时间晚个小时，问货车乙返回地的速度为每小时多少千米？ 【答案】（1） （2）75 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． （1）设函数表达式为，把，代入可解得答案； （2）求出货车甲、货车乙的速度，，两地相距千米，货车甲在出发后千米处出现故障，可求出货车乙赶往事故地所需时间，再算出原计划和实际的时间，进而算出货车乙返回的时间，根据路程除以时间即可求解． 【小问1详解】 解：设货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式， 把，代入得： 解得：， 货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式为； 【小问2详解】 由图可得：货车甲的速度为千米时，货车乙的速度为千米时，货车甲在出发后千米处出现故障， ，两地相距千米，， 货车乙赶往事故地所需时间为小时； ， 原计划是小时， 因实际需要，要求货车乙到达地的时间比货车甲按原来的速度正常到达地的时间晚个小时， ∴乙返回的时间为：小时； (千米/时) 答：货车乙返回B地的速度为每小时是千米 22. 如图，在菱形中，，．点是边的中点，延长、交于点，平分交于点． （1）求证：． （2）求菱形的面积． （3）求的长． 【答案】（1） 证明：连接交于点， 四边形是菱形， ，， ， 延长、交于点，平分交于点， ， ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与相似三角形的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接交于点，由菱形的性质得，，则，而，所以； （2）由，得，由，，求得，则，所以； （3）设交于点，证明，则，证明得出，进而根据，得出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 菱形的面积为． 【小问3详解】 解：设交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 23. 已知二次函数的图象上有两点，． （1）求二次函数的顶点； （2）若，求的最小值； （3）若，当时，的最小值为2，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用、二次根式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）先将二次函数的解析式化为顶点式，即可求解； （2）分别将，，，代入解析式，得出关于的二次函数，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）由，得到，代入的坐标到，得到，，解得，，分情况讨论表示出的值，再结合得到的值可能是或，再结合的最小值为，则有，进而求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴二次函数图象的顶点为； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象上有两点，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，在二次函数的图象上， ∴，， 解得：，， 当，，则； 当，，则； 当，，则； 当，，则； 又∵， ∴的值可能是或， ∵， ∴的最小值为，最大值为， ∵的最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为3． 24. 如图，四边形是圆O的内接四边形，连结交于点E （1）求证： （2）若，． ①求证． ②当时，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ； （2） ①证明：设，过点作于点F， ， ，且平分，， ， ， ，， ，， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出进而得出； （2）①设，过点作于点F，利用等腰三角形的性质与同弧所对圆周角相等可得：，，，再利用三角形的内角和定理即可求证； ②设，，则，由此可得，由（1）可知，设相似比为，设，，则，由相似三角形的性质可得：，可解得，在和中，利用勾股定理可得，则，联立方程解出，在中，设，由得：，由勾股定理可得 ，由此即可求解出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：当时，设，， 在等腰中，，， ， 设，，则， 由可得：， ， 在和中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， 联立 解得：，， ， ， 在中，设，由得：， 在中，，即， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查同弧所对圆周角相等、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理和三角形的内角和定理，解题的关键是熟悉圆的基本性质和勾股定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城东初中2024学年第二学期三月阶段性测试 九年级数学试题卷 一．选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，0，1，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，这个数用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校为了解学生在校一周体育锻炼时间，随机调查了40名学生，调查结果列表如下： 锻炼时间/ 5 6 7 8 人数 9 13 12 6 则这40名学生在校一周体育锻炼时间的中位数为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知和是以点C为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点C的坐标为，若点A的坐标为，则点E的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．已知小正方形的面积为9，，则大正方形的边长为（　　） A. B. C. D. 9. 在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，为边上的中线，，，记，，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：________ 12. 有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5．从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于_________． 13. 计算：___________． 14. 如图，在中，，将绕着点旋转，旋转后的点落在上，点的对应点为，连接，是的角平分线，则________． 15. 如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点．是边上的动点，当为直角三角形时，的长为________． 16. 如图，在正方形中，点E是边上一点，将沿着折叠，点B落在点F处，延长交于点G．若，，则的长为______． 三．解答题（本大题有8小题，第17-21小题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. （1）计算：； （2）化简：． 18. 解下列方程（组）： （1）； （2）． 19. 某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷(部分)和结果描述如下： 调查问卷(部分) 1．你每周参加家庭劳动时间大约是______． 如果你每周参加家庭劳动时间不足，请回答第2个问题： 2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是______(单选)． A．没时间 B．家长不舍得 C．不喜欢 D．其它 中小学生每周参加家庭劳动时间 分为组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间不足两小时的有多少人？ （2）在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？ 20. 如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点． 小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则． 小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则 小瑞：小安，你的作法有问题． 小安：哦…我明白了! （1）指出小安作法中存在的问题． （2）证明：． 21. ，两地相距千米．早上货车甲从地出发将一批物资运往地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与地联系．地收到消息后立即派货车乙从地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往地．两辆货车离开各自出发地的路程千米与时间小时的函数关系如图所示．(通话等其他时间忽略不计) （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程关于的函数表达式． （2）因实际需要，要求货车乙到达地的时间比货车甲按原来的速度正常到达地的时间晚个小时，问货车乙返回地的速度为每小时多少千米？ 22. 如图，在菱形中，，．点是边的中点，延长、交于点，平分交于点． （1）求证：． （2）求菱形的面积． （3）求的长． 23. 已知二次函数的图象上有两点，． （1）求二次函数的顶点； （2）若，求的最小值； （3）若，当时，的最小值为2，求的最大值． 24. 如图，四边形是圆O的内接四边形，连结交于点E （1）求证： （2）若，． ①求证． ②当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $