精品解析：2025年3月辽宁省抚顺市清原县大苏河中学九年级数学月考试题

2025年3月辽宁省抚顺市清原县大苏河中学九年级数学月考试题 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ） A. 连接，则 B. 连接，则 C. 连接，则 D. 连接，则 4. 下列立体图形的主视图、左视图、俯视图都一样的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为二次函数图象上两点，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交于点E，F，交于点O，连接．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（ ） A. 点O为的对称中心 B. 平分 C. D. 四边形为菱形 9. 如图，为等腰直角三角形，，将其绕顶点C逆时针旋转，得到，连接、，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 12. 《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石. 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为______． 14. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的倍，若孔子和学生们同时到达书院，设学生们步行的速度为每小时公里，则可列方程__________． 15. 在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶ 第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是___． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 17. 大连大樱桃久负盛名，李伯伯为了丰富自家大樱桃的品种，计划购买美早和黄水晶两个品种的树苗，经了解，棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元；棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元． （1）求这两种树苗的单价各多少元？ （2）为了错峰成熟，尽量达到供需平衡，李伯伯欲购买的美早树苗比黄水晶多棵，总费用不超过元，最多可以购买美早树苗多少棵？ 18. 辽宁盘锦辽河国家湿地公园适宜鸟类栖息，拥有众多鸟类种类，是候鸟停歇的重要地点．小亮同学计划周末从家中（图中点）骑自行车去湿地公园（图中点）观鸟，现在有两条路线可供他选择： 路线一：从家中出发，先沿北偏东方向的公路骑行到点，再沿正东方向的公路骑行到达湿地公园； 路线二：从家中出发，先沿正东方向的公路骑行到点，再沿北偏东方向的公路骑行到达湿地公园； （1）求点到公路的距离； （2）请帮助小亮计算出路线一、路线二哪条路线的路程更短． （结果精确到，参考数据：） 19. 某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 21. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 综合与实践 【问题初探】（1）某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空： 小智的思路和方法： 如图①，作，垂足分别为． 平分， ______． ， ． 再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论…… 小勇的思路和方法： 如图②，作，交的延长线于点． 平分， ． ， ． ． ______． 再通过证明得到比例式，从而推导出结论…… 根据小智或小勇的方法，可以得到线段的数量关系是______； 【变式拓展】（2）小慧对问题作了进一步拓展：如图③，在中，是边上一点，，求的值； 【综合提升】（3）如图④，在中，，点在边上，，点在的延长线上，连接，请求出的值（用含的式子表示）． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年3月辽宁省抚顺市清原县大苏河中学九年级数学月考试题 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 如图，直线，点A在直线m上，点B在直线n上，连接，过点A作，交直线n于点C．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据得到，然后求出，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. 如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（ ） A. 连接，则 B. 连接，则 C. 连接，则 D. 连接，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接，取与格线的交点，则， 而， ∴四边形不是平行四边形， ∴，不平行，故A不符合题意； 如图，取格点，连接， 由勾股定理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，故B符合题意； 如图，取格点， 根据网格图的特点可得：， 根据垂线的性质可得：，，都错误，故C，D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与基本图形的性质是解本题的关键． 4. 下列立体图形的主视图、左视图、俯视图都一样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别判断出各几何体的三视图即可． 【详解】解：A. 长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形，但是并不是都一样，故错误； B. 圆柱的主视图、左视图是矩形，俯视图是圆，故错误； C. 球的主视图、左视图、俯视图都一样，正确； D. 圆锥的主视图、左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方差公式，合并同类项，单项式除以单项式以及幂的乘方和积的乘方法则分别判断． 【详解】解：（a-b）（-a-b）=b2-a2，故选项A错误； 2a3+3a3=5a3，故选项B错误； 6x3y2÷3x=2x2y2，故选项C正确； （-2x2）3=-8x6，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式、单项式除以单项式、积的乘方、幂的乘方，解答本题的关键是明确整式运算的计算方法． 6. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是， 故选：D． 7. 已知，为二次函数图象上两点，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据顶点式得出函数图象的性质．根据二次函数解析式得到函数图象的性质，开口向下，在对称轴右边，y随着x的增大而减小，从而得到因变量的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的对称轴是直线，且开口向下，在对称轴右边，y随着x的增大而减小， ∴关于直线的对称点的坐标为：， ∵， ∴，即． 故选：D． 8. 如图，为的对角线，分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线分别交于点E，F，交于点O，连接．根据以上尺规作图过程，下列结论不一定正确的是（ ） A. 点O为的对称中心 B. 平分 C. D. 四边形为菱形 【答案】B 【解析】 【分析】由作图知，是线段的垂直平分线，利用平行四边形的性质可判断选项A；根据菱形的判定定理可判断选项C；根据菱形的性质得到，可判断选项D；不一定平分，选项B不正确． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，即点O为的对称中心，故选项A正确，不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴，∴， ∵是线段的垂直平分线，∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故选项D正确，不符合题意； ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； 不一定平分，故选项B不正确，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 如图，为等腰直角三角形，，将其绕顶点C逆时针旋转，得到，连接、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，设，则，则，然后过点C作于点E，得到，然后代入计算即可． 【详解】解：设，则， 又∵，逆时针旋转， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 过点C作于点E，则， ∴， ∴， ∴， 故选A． 10. 如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 详解：由题意可知， 铁块露出水面以前，F拉+F浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变， 当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加， 当铁块完全露出水面后，拉力等于重力， 故选D． 点睛：本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为_________石. 【答案】240 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据多次实验得到的频率约等于概率得出方程，求出解即可． 【详解】解：设这批米内夹谷约为x石，根据题意，得 ， 解得． 所以这批米内夹谷约为240石． 故答案为：240． 13. 如图，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解是解题的关键． 先利用得到P点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解即可解答． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x、y的方程组的解为：． 故答案为：． 14. “孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站15公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的倍，若孔子和学生们同时到达书院，设学生们步行的速度为每小时公里，则可列方程__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键． 【详解】解：设学生步行的速度为每小时里，则牛车的速度是每小时里， ∵学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院， ∴， 故答案为： 15. 在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作： 第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶ 第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是___． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的判定性质，正方形的判定和性质，勾股定理，弄清相关线段间的关系，能灵活运用勾股定理列方程是解题的关键．根据矩形的性质，正方形的性质，翻折的性质用表示，，再利用勾股定理列方程解出即可． 【详解】解：由题意可知：四边形是正方形，四边形和四边形都是矩形， ，，， 是由折叠得到的， ， 在中，，即， 在中，，即， 联立解得：， 故答案为：10． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】 （1） （2） 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照运算法则，分别计算各部分，再进行加减计算即可； （2）对已知条件进行变形，将分式化简，整体代入即可． 【详解】（1）解： （2）解：由得， 17. 大连大樱桃久负盛名，李伯伯为了丰富自家大樱桃的品种，计划购买美早和黄水晶两个品种的树苗，经了解，棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元；棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元． （1）求这两种树苗的单价各多少元？ （2）为了错峰成熟，尽量达到供需平衡，李伯伯欲购买的美早树苗比黄水晶多棵，总费用不超过元，最多可以购买美早树苗多少棵？ 【答案】（1）美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元 （2）最多可以购买美早树苗棵 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系，列出方程组和不等式，即可求解． （）设美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元，根据棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元；棵美早树苗和棵黄水晶树苗共需元的等量关系，列出二元一次方程组，即可求解； （）设购买美早树苗棵，则购买黄水晶树苗棵，根据总费用不超过元的不等关系，列出一元一次不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元， 由题意得 解得： 答：美早树苗单价为元，黄水晶树苗单价为元； 【小问2详解】 设购买美早树苗棵，则购买黄水晶树苗棵， 依题意，得：， 解得：． 由为正整数，得， 答：最多可以购买美早树苗棵． 18. 辽宁盘锦辽河国家湿地公园适宜鸟类栖息，拥有众多鸟类种类，是候鸟停歇的重要地点．小亮同学计划周末从家中（图中点）骑自行车去湿地公园（图中点）观鸟，现在有两条路线可供他选择： 路线一：从家中出发，先沿北偏东方向的公路骑行到点，再沿正东方向的公路骑行到达湿地公园； 路线二：从家中出发，先沿正东方向的公路骑行到点，再沿北偏东方向的公路骑行到达湿地公园； （1）求点到公路的距离； （2）请帮助小亮计算出路线一、路线二哪条路线的路程更短． （结果精确到，参考数据：） 【答案】（1）点到公路的距离约为 （2）路线二的路程更短 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角函数的定义构造直角三角形求解，将实际路线转化为数学的几何三角问题，熟练掌握三角函数的概念和性质由已知边和角来求解未知边是解决本题的关键． （1）根据中，并结合三角函数即可求解； （2）根据的正切值和正弦值可求解和的长度，比较路线一和路线二总长度，即可得解． 【小问1详解】 解：如图①，过点作，交的延长线于点， 在中，， ， ∴点到公路的距离约为； 【小问2详解】 解：如图②，过点作，交的延长线于点， 由题意易得，， 在中，， ， ， 在中，， ， 路线一的总路程为； 路线二的总路程为； ， ， 路线二的路程更短． 19. 某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表： 成绩统计表 组别 成绩x（分） 百分比 A组 B组 C组 a D组 E组 根据所给信息，解答下列问题： （1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图； （2）这200名学生成绩的中位数会落在 组（填A、B、C、D或E）； （3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数． 【答案】（1）20， 补全条形统计图如图所示： （2）D （3）估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）有300人 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表和统计图的综合运用、用样本估计总体等知识．综合运用所学知识并且正确计算是解题的关键． （1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可． （2）按照中位数的定义解答即可． （3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可． 【小问1详解】 ， C组人数为：， 【小问2详解】 ， ， ∴200名学生成绩的中位数会落在D组． 【小问3详解】 （人） 估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为． （1）求反比例函数的解析式； （2）点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用点B在直线上求出点B的横坐标m，再将点B坐标代入反比例函数求k，进而得到解析式； （2）先联立直线与反比例函数解析式求点A坐标，再根据三角形面积关系求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数求横坐标； （3）通过观察函数图象，确定直线在反比例函数下方时x的取值范围． 【小问1详解】 解：点在直线上，将代入直线解析式得：， 解得， 点B的坐标为， 点在反比例函数的图象上，将点B坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 联立直线与反比例函数的解析式，得方程组， 解得或，当时，， 点A的坐标为； 又，即， 所以， 故点纵坐标为4或． 将代入得，． 将代入得，． 所以点的坐标为或． 【小问3详解】 结合函数图象可知：当或时，直线在反比例函数下方， 不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质及其交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用图象解不等式．利用已知条件通过代数运算求解未知参数是解题的关键． 21. 如图，是的直径，于点，连接交于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ． ， ， ， ． 又， ， ， ， ； （2）16 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）要证明，可以证明；是的直径，则，又知，则，则，，则； （2）连接，交于点，先求出圆的半径，再利用勾股定理列方程求出的长，进而求得的长和的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接，交于点， ， ，， ，，， ， 的半径为10， 设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 22. 综合与实践 【问题初探】（1）某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空： 小智的思路和方法： 如图①，作，垂足分别为． 平分， ______． ， ． 再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论…… 小勇的思路和方法： 如图②，作，交的延长线于点． 平分， ． ， ． ． ______． 再通过证明得到比例式，从而推导出结论…… 根据小智或小勇的方法，可以得到线段的数量关系是______； 【变式拓展】（2）小慧对问题作了进一步拓展：如图③，在中，是边上一点，，求的值； 【综合提升】（3）如图④，在中，，点在边上，，点在的延长线上，连接，请求出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）分别补全小智和小勇的思路和方法，即可得出答案； （2）过作于点，过点作交的延长线于点，设，在和中，根据锐角三角函数可得，，证得，可得； （3）延长到，使，证得，由，可得，过点作于点，在中，可得，在中，可得，分当时，点在线段上（不含点）和当时，点在线段的延长线上两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）补全小智的思路和方法： 如图①，作，垂足分别为． 平分， ． ， ． 又， ． 补全小勇的思路和方法： 如图②，作，交的延长线于点． 平分， ． ， ． ． ． ， ， ， ． 故答案为：，，； （2）如图，过作于点，过点作交的延长线于点， 则， 设， 在中，， ， 在中，， ， ， ，， ； （3）延长到，使， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， 在中，， ， 在中，， ． 分两种情况讨论： ①当时，点在线段上（不含点），如图②， 此时， ； ②当时，点在线段的延长线上，如图， 此时， ． 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是构造合适的三角形帮助解题． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是______；（填序号） ①；②；③． （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线的解析式； （3）若抛物线（是常数，）的图象上有且只有一个“纵三倍点”，令，是否存在一个常数，使得当时，的最小值恰好等于，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“纵三倍点”的定义逐项判断即可； （2）根据定义可得“纵三倍点”为，代入得出①，联立根据题意得出②，联立①②，即可求解； （3）联立 ，依题意得出得出 ．分三种情况：当，当时， 当时，求解即可 【小问1详解】 解：①联立，解得：， ∴一次函数的图象上的“纵三倍点”为，故①符合题意； ③联立，即， 解得： 故②不合题意； ④联立，解得：， ∴二次函数的图象上只有一个“纵三倍点”，故③正确； 综上分析可知，正确的是①③． 故答案为：①③． 【小问2详解】 解： 解得： 依题意经过，则① 联立 ∴ ∵抛物线（均为常数）与直线只有一个交点， ∴② 联立①②得 解得： ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：联立 即 依题意，， ∴ ∴， 当，即时，在处，w有最小值， ∴，解得：（舍去），（舍去）， 当时，即时，w有最小值1， ∴存在常数，使得时，w的最小值恰好等于t，符合题意； 当时，在处，w有最小值t， ∴，解得：（舍去），， 综上所述：或 【点睛】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“纵三倍点”的定义，任意的一个“纵三倍点”一定在正比例函数的图象上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $