1.3 勾股定理的应用 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

3　勾股定理的应用 知识点 用勾股定理解决实际问题 解决与勾股定理相关的实际问题时，如求一些高度、长度、宽 度等，一般先要结合题意找出符合要求的直角三角形，再把涉 及的量转化成三角形的边长，最后利用勾股定理解决问题． 考点 生活中的实际问题 典例 [2023·衡阳期末]如图，高速公路上有A，B两点相距10 km， C，D为两村庄．已知DA＝4 km，CB＝6 km.DA⊥AB于点A，CB⊥AB 于点B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距 离相等，则EA的长是( ) A．4 km B．5 km C．6 km D．7 km 思路导析 根据题意设BE的长为x km，再由勾股定理列出方程求解即可． 变式1 如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离 墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米， 梯子的底部向外滑多少米( ) A．0.4米 B．0.6米 C．0.7米 D．0.8米 变式2 [2025·南京期末]如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE＝5 cm，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF＝7 cm，且与摆锤在最低点时的水平距离为BC＝10 cm，求钟摆AD的长度． 解：由题意得AD＝AB，CE＝BF＝7 cm， 所以CD＝CE－DE＝7－5＝2(cm)， 设AB＝x cm，则AC＝AD－CD＝(x－2)cm， 因为∠ACB＝90°， 所以AB2＝AC2＋BC2， 即x2＝(x－2)2＋102，解得x＝26. 答：钟摆AD的长度为26 cm. 变式3 [2025·沈阳期末]如图1，有两棵树，一棵高18米(AB＝18米)，另一棵高2米(CD＝2米)，两树相距12米(BD＝12米)． (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高18米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折断处M距离地面多少米？ 解：(1)两棵树的高度差为18－2＝16(米)，两树相距12米(BD＝12米)， 根据勾股定理，得小鸟至少飞行的距离的平方＝162＋122＝400，飞行的距离为20米． 答：至少飞了20米； (2)由勾股定理，得BM2＋AB2＝AM2， 所以BM2＋122＝(18－BM)2， 解得BM＝5， 答：树AB折断处M距离地面5米． 1．小明从家出发向正北方向走了60 m，接着向正东方向走到离家100 m远的地方，小明向正东方向走了( ) A．60 m B．80 m C．100 m D．160 m 2．[2024·张家口期末]如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B，A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行( ) A．30海里 B．24海里 C．18海里 D．12海里 3．如图，从电线杆高于地面6 m的C处，向地面拉一条10 m长的缆绳AC，那么固定点A到电线杆底部B的距离为( ) A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m 4．[2025·青岛期末]《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：“今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺(1丈＝10尺)，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”设木长x尺，依题意，下列方程正确的是( ) A．x2＝(x－1)2＋12 B．(x＋1)2＝x2＋102 C．x2＝(x－1)2＋102 D．(x＋1)2＝x2＋12 5．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2，则图2中阴影部分面积等于( ) A．直角三角形的面积 B．最小正方形的面积 C．两个较小正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和 6．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30 cm.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，若知道红莲移动的水平距离为60 cm，则水深是( ) A．35 cm B．40 cm C．50 cm D．45 cm 7．如图，学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端 拉到离旗杆底端(BC)6米处，下端刚好接触地面，则旗杆的高度 为__米． 8 8．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5 m， 将它往前推送1.5 m(水平距离BC＝1.5 m)时，秋千的踏板离地 的垂直高度BF＝1 m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 ____m. 2.5 9．[2025·宁波期末]如图，甲船以20千米/时的速度从港口A向 正北方向航行，乙船以15千米/时的速度，同时从港口A向正东 方向航行，行驶2小时后，两船相距___千米． 50 10．[2025·连云港期末]如图，经过A村和B村(将A，B村看成直线l上的点)的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为300米， C处与B村的距离为400米，且AC⊥BC. (1)求A，B两村之间的距离； (2)为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 解：(1)在Rt△ABC中，AC＝300米，BC＝400米， 所以AB2＝AC2＋BC2＝3002＋4002＝250 000，所以AB＝500(米)． 答：A，B两村之间的距离为500米； (2)公路AB有危险而需要封锁． 理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D.以点C为圆心，250米为半 径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF， 因为EC＝FC＝250米， 所以ED2＝2502－2402＝4 900， 所以ED＝70(米)， 故EF＝2ED＝140米， 则需要封锁的路段长度为140(米)． 11．[2025·万州期末]放风筝是清明节的节日习俗，寓意将烦恼和疾病随着风筝一起放飞，此外，放风筝还是一项娱乐性运动，无论是与家人还是朋友一起放风筝，都能增进彼此之间的关系．某校八年级几名同学在学习了“勾股定理”之后，想用此定理来测量风筝的垂直高度．如图，牵线放风筝的同学站在A处，风筝在F处，先测得他抓线的地方与地面的距离AB为1.5米，然后测得他抓线的地方与风筝的水平距离BC为15米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线BF的长为17米． (1)求此时风筝的垂直高度EF的长； (2)若放风筝的同学站在点A不动，风筝沿EF的方向继续上升到D处，风筝线又放出了8米，请求出风筝沿EF方向上升的高度FD的长． 解：(1)因为BC＝15米，BF＝17米，BC⊥DE， 所以FC2＝BF2－BC2＝64，所以FC＝8米， 因为AB＝1.5米， 所以CE＝AB＝1.5米， 所以FE＝FC＋CE＝8＋1.5＝9.5(米)； (2)因为风筝线又放出了8米， 所以BD＝BF＋8＝25米， 所以CD2＝BD2－BC2＝400，所以CD＝20米， 所以DF＝DC－FC＝20－8＝12米． 12.[将军饮马模型]如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸DC的距离AC，BD的长分别为5 km和10 km，且C，D两点的距离为8 km，天黑前牧童从A处将牛牵到河边饮水再回家，那么牧童最少要走多少距离？ 解：作点A关于河岸的对称点A′，连接BA′交河岸于点P，连接PA，过点A′作A′B′⊥BD交BD的延长线于点B′. 则PB＋PA＝PB＋PA′＝BA′时路线最短，故牧童应将牛赶到河边的点P处． 因为B′D＝A′C＝CA＝5 km， 所以BB′＝BD＋DB′＝10＋5＝15(km)． 因为A′B′＝CD＝8 km， 所以BA′2＝BB′2＋A′B′2＝152＋82＝289， 所以BA′＝17 km. 所以牧童最少要走的距离为17 km. 因为S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CD＝eq \f(1,2)BC·AC， 所以CD＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(300×400,500)＝240(米)． 由于240米<250米，故有危险， 因此AB段公路需要封锁． $$