1.2一定是直角三角形吗 课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

2　一定是直角三角形吗 知识点1 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角 形是___________． 直角三角形 【规律总结】 1.当满足a2＋b2＝c2时，c是斜边，∠C是直角；当满足b2＋c2＝a2时，a是斜边，∠A是直角；当满足a2＋c2＝b2时，b是斜边，∠B是直角． 2．直角三角形的判定方法： (1)三角形中有两个角互余； (2)三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2. 知识点2 勾股数 1．满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为_______． 2．常见的勾股数有 ____________________；_________； ___________；__________； __________；__________； __________等． 勾股数 (答案不唯一)3，4，5 6，8，10 15，20，25 5，12，13 7，24，25 8，15，17 9，40，41 3．判断三个数是否为一组勾股数的“三步法” (1)判断：这三个数是不是正整数，不是正整数则不是勾股数； (2)计算：计算最大数的平方与其他两个数的平方和； (3)比较：若最大数的平方等于另外两个数的平方和，则是勾股数，否则不是． 【规律总结】 一组勾股数中各数都扩大相同的整数倍得到一组新的勾股数． 考点1 直角三角形的判定 典例1 如图所示的小方格都是边长为1的正方形，则△ABC的形状为( ) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 思路导析 根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长的平方，再由勾股定理的逆定理即可作出判断． 变式 [2025·郑州期末]“一树新栽益四邻，野夫如到旧上春”， 春天是植树的最佳季节．如图，四边形ABCD为某林场种植树林 的区域，AB⊥BC.经测量AB＝9 km，BC＝12 km，CD＝8 km，AD ＝17 km. (1)护林员操控一架无人机从A处沿 直线飞行到C处进行巡查，求无人 机飞行路径AC的长； (2)证明：AC⊥CD. 思路导析 (1)根据勾股定理求出AC即可；(2)根据勾股定理的逆定理证明即可． 解：(1)因为AB⊥BC， 所以∠B＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC2＝AB2＋BC2＝92＋122＝225(km2)， 所以AC＝15 km. 答：无人机飞行路径AC的长为15 km； (2)证明：因为AD2＝172＝289(km2)，CD2＋AC2＝82＋152＝289(km2)， 所以AD2＝CD2＋AC2， 所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， 所以AC⊥CD. 考点2 勾股数 典例2 [2023·雁塔区期末]下列各组数中，是勾股数的是( ) A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．10，20，24 思路导析 勾股数的定义：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．根据定义逐一判断即可． 变式 [2023·崇川区期末]下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( ) A．3，4，5 B．1，1，2 C．18，24，30 D．5，12，13 1．[2025·漳州期末]在下列各组数中，是勾股数的是( ) A．3，4，5 B．2，3，4 C．1，2，3 D．0.6，0.8，1 2．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别是a，b，c，根据下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( ) A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B．∠A＝∠C－∠B C．a＝10，b＝24，c＝26 D．(a＋b)(a－b)＝c2 4．已知三角形的三边长a，b，c满足(b2＋a2)(b－a)＝bc2－ac2，则△ABC是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5．[2024·葫芦岛期中]如图，李伯伯家有一块四边形田地ABCD，其中∠A＝90°，AB＝3 m，BC＝12 m，CD＝13 m，AD＝4 m，则这块地的面积为( ) A．36 m2 B．42 m2 C．66 m2 D．72 m2 6．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，点O是三条角平分线的交点，则△BOC的BC边上的高是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB＋∠PBA＝___°. (点A，B，P是网格线交点) 45 8．若9，41，m是一组勾股数，则m的值为___． 9．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，D是BC边所在直线上的点， AD＝12，BD＝9，则△ABC的面积为_______． 40 84或24 10．一块田地的形状如图所示，已知AB＝13 m，BC＝12 m， CD＝3 m，AD＝4 m，∠ADC＝90°，则该田地的面积为___m2. 24 11．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小 格的顶点叫作格点，小明以格点为顶点画出了△ABC. (1)小华看了看说，△ABC是直角三角形，你同意他的观点吗？ 说明理由； (2)在△ABC中，求AC边上高的平方． 解：(1)我同意他的观点； 理由：由勾股定理，得 AB2＝32＋12＝10，BC2＝32＋12＝10， AC2＝22＋42＝20， 所以AB2＋BC2＝AC2， 所以△ABC是直角三角形； 12．如图，四边形ABCD的三边(AB，BC，CD)和BD的长度都为5 cm， 动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿折线AB－BD运动，动点Q从点 D出发以2.8 cm/s的速度沿折线DC－CB－BA运动，5 s时，点P， Q相距3 cm，试确定5 s时△APQ的形状． 解：因为5 s时P点运动路程为2×5＝10(cm)， AB＋BD＝10 cm， 所以此时P与D重合． 因为5 s时Q点运动路程为2.8×5＝14(cm)， DC＋CB＋BA＝15 cm， 所以Q在AB边上，且BQ＝4 cm， 如图，连接PQ， 在△BPQ中，因为BQ＝4 cm，PQ＝3 cm，BP＝5 cm， 所以BQ2＋PQ2＝BP2，所以△BPQ为直角三角形，∠BQP＝90°， 所以∠AQP＝180°－∠BQP＝90°， 所以△APQ为直角三角形． 13.[规律探究][2025·南京期末]【探索勾股数】与直角三角形三条边长对应的3个正整数(a，b，c)，称为勾股数，《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五”中的“3，4，5”就是一组最简单的勾股数，显然，这组数的整数倍，如(6，8，10)(9，12，15)(12，16，20)等都是勾股数．当然，勾股数远远不止这些，如(5，12，13)(8，15，17)等也都是勾股数．怎样探索勾股数呢？即怎样一组正整数(a，b，c)才能满足关系式a2＋b2＝c2.设(a，b，c)为一组勾股数，观察下表回答问题： 表1 表2 a b c a b c 3 4 5 6 8 10 5 12 13 8 15 17 7 24 25 10 24 26 9 40 41 12 35 37 (1)根据表1的规律写出勾股数(11， ， )；观察可得，表1中b，c与a2之间的关系是 ； (2)根据表2的规律写出勾股数(16， ， )；观察可得，表2中b，c与a2之间的关系是 ； (3)老师告诉小明一组勾股数，但他回家后只记得其中最大的数是145，你知道这组勾股数可能是多少吗？(请用勾股定理的形式直接写出结果，例如32＋42＝52) 3．若一个三角形的三边长为5，12，13，则这个三角形最长边上的高为( ) A．12 B．eq \f(12,5) C．eq \f(30,13) D．eq \f(60,13) (2)由(1)，得△ABC是直角三角形，AB2＝BC2＝10，∠ABC＝90°. 设AC边上高的长为h， 所以S△ABC＝eq \f(1,2)AB·BC＝eq \f(1,2)AC·h， 所以AB2·BC2＝AC2·h2， 所以h2＝5， 所以AC边上高的平方为5. 解：(1)60，61，a2＝b＋c； (2)63，65，eq \f(1,2)a2＝b＋c； (3)由题意得c＝145， 如果满足表1的规律，那么b＝c－1＝144，a2＝b＋c＝144＋145＝289， 所以a＝17， 且172＋1442＝1452，符合题意； 如果满足表2的规律，那么b＝c－2＝143， eq \f(1,2)a2＝b＋c＝143＋145＝288， 所以a＝24， 且242＋1432＝1452，符合题意； 综上所述，这组勾股数可能为172＋1442＝1452或242＋1432＝1452. $$