第21章一元二次方程 自主学习同步达标测试题 2025-2026学年人教版九年级数学上册

2025-2026学年人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》 自主学习同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）． A．9，5， B．9，4， C．9，，4 D．9，，5 2．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A．1 B．4 C． D． 3．用配方法解方程时，配方结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（   ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 7．在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（   ）人 A．9 B．10 C．45 D．46 8．如图1，将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形ABCD，则线段AB的长为（    ） A． B． C． D．3 二、填空题（满分24分） 9．已知关于x的方程若方程的一个根是，则方程的另一个根是 ． 10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 11．若关于x的一元二次方程的一个解为，则a的值是 ． 12．若，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 13．在解一元二次方程时，小明看错了一次项系数，得到的解为；小颖看错了常数项，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程 ． 14．方程的解是，则方程的解是 ． 15．保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松，某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有种农作物，经过两年不断的努力培育新品种，现在有种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为，则根据题意列出符合题意的方程是 ． 16．2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程．某校积极实施，建设校园劳动基地．如图，是该校一块矩形劳动场地，长，宽，要求在场地内修同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为种植区．如果种植区的总面积为，则所修道路的宽为 ． 三、解答题（满分72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 19．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 20．关于x的一元二次方程． (1)判定此方程根的情况； (2)等腰的两边 的长是方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值． 21．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程： 解：移项，得． 配方，得， 所以． 直接开平方，得， 所以，． 【问题解决】 （1）小明配方的依据是 A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 （2）用配方法解方程：． 【拓展应用】 （3）已知x是实数，求代数式的最小值． 22．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． (1)若花圃的面积为，求花圃的一边的长； (2)花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 23．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． (1)若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 24．如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，的面积能否等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 参考答案 1．解：由得， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，， 故选：B． 2．解：将代入方程，得：， 解得：， 因此，m的值为4， 故选：B． 3．解：原方程为， 两边同时加上，得： 左边写成完全平方形式：． 故选：D． 4．解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得：， ∴且， 故选：． 5．解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 6．解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故选B． 7．解：设有名同学参加聚会．每人与其他人各握手一次，但每两次握手会被重复计算一次，因此总握手次数为．根据题意，总握手次数为45次，列方程： ， 整理得： 解得（舍去） 故选B． 8．解：如图： 图1中的正方形面积为16， 正方形的边长为4， ∴直角三角形①中的长直角边为4， ， 解得：（已舍去负值）， ， 故选：A． 9．解：∵方程的一个根是， ∴， 解得：， 方程即为， 解得：， 方程的另一个根是． 故答案为：． 10．解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 11．解：∵关于x的一元二次方程的一个解为， ∴，， 解得， 故答案为：． 12．解：，是一元二次方程的两个根， 则，， ∴， ∴， 故答案为：4． 13．解：小明看错了一次项系数，得到的解为； ； 小颖看错了常数项，得到的解为． ， ． 正确的一元二次方程为． 故答案为：． 14．解：∵方程的解是， ∴方程的两个解是， 故答案为：． 15．解：两年前有家作物种子种， 这两年培育新品种数量平均年增长率为， 第一年后有农作物种子种， 第二年后（即现在）有农作物种子种， 现在有种农作物种子， 可得：， 故答案为：． 16．解：设所修道路的宽为，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：所修道路的宽为． 故答案为：1 17．（1）解：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， 解得， 18．（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 19．（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； （2）解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 20．（1）证明：． 方程有两个实数根； （2）解：由，且， 得 ∴，， 即、的长为，， 当时，三边为5，5，1，满足三角形构成条件，此时 ，解得； 当时，三边为5，1，1，不满足三角形构成条件． 综上所述，． 21．解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式． 故选：A． （2）， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得，即， 直接开平方得， 所以； （3）， ∵无论x取什么数，都有， ， ∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4． 22．（1）解：设的长为米，则米 由题意可得：， 解得：，， ，即：， ， ∴的长为10米； （2）花圃的面积不能达到．理由如下： 设的长为米， 由题意可得：， 化简得， △， 方程无解， 花圃的面积不能达到． 23．（1）①解：设每千克樱桃应降价x元，根据题意，得： ， 解得  ，， 答：每千克樱桃应降价4元或6元； ②由（1）可知每千克樱桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克樱桃应降价6元． 此时，售价为（元）， ∴． 故答案是：9． （2）设每千克樱桃应降价y元，根据题意，得： ， 即， ∵， ∴原方程没有实根． 答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2400元． 24．（1）解：设后，，. 根据三角形的面积公式列方程， 得：. 解得：，. 当时，，不合题意，舍去. 所以秒后，的面积等于； （2）的面积不能等于， 理由：根据三角形的面积公式列方程， 得：， 整理，得：. ∵， ∴没有实数根， 所以的面积不能等于. （3）根据勾股定理得到，， 得：. 解得：，（不符合题意，舍去）. 所以后，的长度等于． 学科网（北京）股份有限公司 $$