精品解析：甘肃省天水市秦州区天水市玉泉中学2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

2024-2025学年第二学期第一次教学质量检测八年级数学试卷 请各位考生注意： 1．本试题共4页，总分120分．考试时间100分钟． 2．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 可化简为（ ） A. B. C. 4 D. 8 2. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 4. 若与互为相反数，则x+y的值为（　　） A. 3 B. 9 C. 12 D. 27 5. 已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A. 5 B. 25 C. D. 5或 6. 以下列各组数为长度的线段，能构成直角三角形的是（　　） A. 4，5，6 B. 6，8，11 C. 1，， D. 5，12，23 7. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）． A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米 8. 能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ） A. AD=BC，AB∥CD B. ∠A=∠B，∠C=∠D C. AB=BC，AD=DC D. AB∥CD，CD=AB 9. 如图，平行四边形的周长为80，对角线、相交于O，若的周长比的周长小8，则的长是（　　） A. 24 B. 48 C. 16 D. 12 10. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 二、填空题：（每题3分，共24分） 11. 化简：__________． 12. 在中，点D，E分别是边，的中点，若．则______ 13. 当x=____________时，最简二次根式与能够合并． 14. 如图，中，，，，的垂直平分线交于，交于，则的长为______． 15. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为_____． 16. 在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若四边形是平行四边形，则点D的坐标是________． 17. 直角三角形两直角边长分别为5和，则它斜边上的高为______． 18. 阅读与理解 同学们，你知道平方差公式吗？它实际上就，你会用吗？请阅读下列解题过程： 这实际上就是分母有理化的过程！ 利用上面的解法，______． 三、解答题：（共40分，写出必要的步骤和过程） 19. 计算： （1） （2） （3） 20. 已知实数a、b满足，求的值． 21. 三角形的三边长为，且满足等式，判断此三角形的形状． 22. 某广场内有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，，，，求四边形ABCD空地的面积．     23. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：． 24. 如图，点是内一点，且，连接若点、、、分别为线段、、、的中点，且、、，求图中阴影部分的周长 四、解答题：（共26分，写出必要的步骤和过程） 25. 如图，一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 26. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 27. 如图，的对角线AC、BD相交于点O，，，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）求BQ的长，（用含t的代数式表示） （2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值 （3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期第一次教学质量检测八年级数学试卷 请各位考生注意： 1．本试题共4页，总分120分．考试时间100分钟． 2．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 可化简为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，，， （a≥0，b>0）． 2. 要使二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＋1≥0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x＋1≥0， 解得：x≥−1， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 3. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项错误； B、，不是最简二次根式，故本选项错误； C、是最简二次根式，本选项正确； D、，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选C． 4. 若与互为相反数，则x+y的值为（　　） A. 3 B. 9 C. 12 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值及二次根式的非负性得出二元一次方程组，求解代入即可得出结果． 【详解】解：， ， 解得：， ∴x＋y＝27， 故选D． 【点睛】题目主要考查二次根式及绝对值的非负性，解二元一次方程组，求代数式的值等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 5. 已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是（ ） A. 5 B. 25 C. D. 5或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4， ∴该直角三角形的斜边长的平方为， ∴该直角三角形的斜边长为5，即第三边长是5， 故选：A． 6. 以下列各组数为长度的线段，能构成直角三角形的是（　　） A. 4，5，6 B. 6，8，11 C. 1，， D. 5，12，23 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握其逆定理内容是解题关键． 欲判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，等于就是直角三角形，否则不是． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理知： A、因为，故此选项错误； B、因为，故此选项错误； C、因为，故此选项正确； D、因为，故此选项错误； 故选：C． 7. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）． A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 14米 【答案】B 【解析】 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，设大树高为米， 小树高为米， 过点作于，则是矩形， 连接， 米，米，米， 在中，米， 故选：B． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 8. 能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ） A. AD=BC，AB∥CD B. ∠A=∠B，∠C=∠D C. AB=BC，AD=DC D. AB∥CD，CD=AB 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 解：根据平行四边形的判定定理知，A、B、C均不符合是平行四边形的条件； D、满足一组对边相等且平行的四边形是平行四边形． 故选D． 考点：平行四边形的判定． 9. 如图，平行四边形的周长为80，对角线、相交于O，若的周长比的周长小8，则的长是（　　） A. 24 B. 48 C. 16 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质的应用，关键是能根据题意得出，，根据平行四边形的性质得出，，，，由的周长为80和的周长比的周长小8，得，，然后解此方程组，即可求得答案. 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ，，，， 平行四边形的周长为80， ①， 的周长比的周长小8， ， ②， 由①②解得：，． 故选：C． 10. 如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ） A. 20米 B. 25米 C. 30米 D. 15米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 二、填空题：（每题3分，共24分） 11. 化简：__________． 【答案】7 【解析】 【详解】解：． 12. 在中，点D，E分别是边，的中点，若．则______ 【答案】10 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，DE=5， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE=10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 13. 当x=____________时，最简二次根式与能够合并． 【答案】2 【解析】 【分析】根据最简二次根式与能够合并，得与为同类二次根式，列式求出x即可. 【详解】∵最简二次根式与能够合并， ∴与为同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：2. 【点睛】本题是对同类二次根式的考查，熟练掌握同类二次根式知识是解决本题的关键. 14. 如图，中，，，，的垂直平分线交于，交于，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，根据勾股定理可得出答案． 【详解】解：连接AD， ∵的垂直平分线交于，交于， ∴BD＝AD， 设AD＝x，则CD＝4−x， ∵ ∴在Rt△ACD中，AD2＝CD2＋AC2， ∴x2＝（4−x）2＋32， 解得x＝． ∴= 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 15. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为_____． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据三角形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴的形状为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 16. 在平面直角坐标系中，已知A，B，C，若四边形是平行四边形，则点D的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分，即对角线中点坐标相同，设出点坐标列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分，即中点坐标与中点坐标相同， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为． 17. 直角三角形两直角边长分别为5和，则它斜边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，利用三角形的面积求高，解题关键是求出斜边长． 先利用勾股定理求出斜边长，再利用利用三角形的面积求出斜边上的高． 【详解】解：设它斜边上的高为， ∵直角三角形两直角边长分别为5和， ∴它斜边长为， 这个直角三角形的面积为， 解得：， 故答案为：． 18. 阅读与理解 同学们，你知道平方差公式吗？它实际上就，你会用吗？请阅读下列解题过程： 这实际上就是分母有理化的过程！ 利用上面的解法，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．先分母有理化得到原式，然后合并即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为： 三、解答题：（共40分，写出必要的步骤和过程） 19. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，包括二次根式的化简，去绝对值，零指数幂，负整数指数幂，平方差，完全平方公式等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）利用二次根式的化简，去绝对值，零指数幂，负整数指数幂等运算法则进行计算即可； （2）先进行二次根式的化简，再进行加减运算即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 20. 已知实数a、b满足，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 三角形的三边长为，且满足等式，判断此三角形的形状． 【答案】这个三角形是等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了勾股逆定理以及算术平方根以及绝对值的非负性，先据此得出，再根据勾股逆定理作出判断，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵的三边长分别为a，b，c， ∴的形状为等腰直角三角形． 22. 某广场内有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，，，，求四边形ABCD空地的面积．     【答案】． 【解析】 【分析】连接AC，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、AD、DC的长度关系可得三角形DAC为一直角三角形，DA为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△DAC构成，则容易求出面积． 【详解】连接AC．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=62+82=102，     ∴AC=10． 在△DAC中，AD2=262，CD2=242， 而242+102=262， 即AC2+CD2=AD2， ∴∠DCA=90°， S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC•BC•ABDC•AC=8×624×10=144（m）2． 答：四边形ABCD空地的面积是144m2． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单，求出四边形ABCD的面积是解题的关键． 23. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，过点O且与分别交于点E、F．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【解析】 【分析】先结合平行四边形的性质得，再证明，故，即可作答． 【详解】略． 24. 如图，点是内一点，且，连接若点、、、分别为线段、、、的中点，且、、，求图中阴影部分的周长 【答案】23 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，勾股定理．根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理“三角形中位线等于第三边的一半”解答即可． 【详解】解：∵， ， 由勾股定理得：， ∵点、、、分别为线段、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中位线， ∴，，，， ∴阴影部分的周长为：． 四、解答题：（共26分，写出必要的步骤和过程） 25. 如图，一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有12米高 （2）当梯子的顶端下滑5米时，梯子的底端在水平方向后移了米 【解析】 【分析】（1）由题意易得米，米，然后根据勾股定理可求解； （2）由题意得米，然后根据勾股定理可得求解． 【小问1详解】 解：根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：（米）； 答：这个梯子的顶端距地面有12米高； 【小问2详解】 解：梯子下滑了5米即梯子距离地面的高度为（米）， 根据勾股定理：（米）， 米 答：当梯子的顶端下滑5米时，梯子的底端在水平方向后移了米． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 26. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证，即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出，进而解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 27. 如图，的对角线AC、BD相交于点O，，，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． （1）求BQ的长，（用含t的代数式表示） （2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值 （3）当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得出，则BQ即可用t表示； （2）由题意知，根据，列出方程即可得解； （3）方法一：如图，先求出OA和OE的长，若O在线段AP的垂直平分线上，则，在中，根据勾股定理得：，列方程可得t的值． 方法二：如图，连接AQ，CP，证明四边形AQCP为平行四边形，由面积法求出AQ，由勾股定理求出BQ的长，则可得出CQ的长，则可求出答案． 【小问1详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， 当时，四边形ABQP是平行四边形， 即， ， ∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形； 【小问3详解】 ， 方法一：如图， 中， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵OE是AP的垂直平分线， ∴ 由勾股定理得：， ∴， ∴或（舍）， ∴当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上． 方法二：如图，连接AQ，CP， ∵， ∴四边形AQCP为平行四边形， ∵O在线段AP的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴四边形AQCP为矩形， ∴， 同方法一求出， ∴ ∴， ∴， ∴当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $