精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县洛香镇初级中学2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

从江县洛香中学2024-2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 计算的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6， ∴AB==10， 故选D． 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 3. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大为原来的两倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由于锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正切的定义得到锐角的正切函数值也不变． 【详解】解：因为锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变， 所以锐角的正切函数值也不变． 故选：C． 【点睛】本题考查了正切的定义，解题的关键是掌握在直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 4. 如图，在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，则，利用勾股定理求出的长，在中利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴在中，． 故选：C． 5. 如图，在中，是斜边上的中线．已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求角的余弦值、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据斜边中线定理可得，得到，，再利用勾股定理求出的长，在中利用余弦的定义求出的值，等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：D． 6. 如图，为测量河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（）测得，则A、B间的距离应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正切函数的应用，根据题意，，变形计算即可． 【详解】根据题意，得，且， 故米， 故选C． 7. 在Rt中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 在中，已知，且，利用三角函数定义及勾股定理即可求解的值. 【详解】解：如图，在中，，且， 设对边为，则斜边为， 根据勾股定理，得， ∴. 故选：D. 8. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=10，tan∠B=，则BC的长为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=CD，解直角三角形即可得到结论． 【详解】∵AB=AC， ∴BD=CD， ∵tan∠B=， ∴AD=， ∵AD2+BD2=AB2， ∴（）2+BD2=102， ∴BD=8， ∴BC=16； 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质. 9. 如图，在中，是斜边上的高，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角函数求值，勾股定理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵中，是斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴，故A选项不正确； ∴，故B选项不正确； ∴，故C选项不正确； ∴，故D选项正确， 故选：D． 10. 如图，是的内接三角形，是的直径，且半径是，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由是的直径，得到，在中利用正弦的定义得出，再根据，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，且半径是， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴． 故选：A． 11. 如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于是等边三角形，还给出，所有考虑直接把转移到一个直角三角形中求解，那么这个角度如何利用，恰好想到过点A作的垂线直接得到了，可求，再利用正切，可求,最后在求． 【详解】∵是等边三角形； ∴； 过点作的垂线，垂足为； ∴； ∴； ∵； ∴； ∵； ； ∴； 在中， ； 在中； ； ∴； ∴； ∴； ∴； ∵； ∴； 故选． 二、填空题（每小题4分，共16分） 12. 在中，，如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 13. 如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则的长度是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出． 【详解】解：在中，，， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出是解决本题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，求正弦，根据点的坐标得出是等腰直角三角形，进而根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示，取点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tan∠DCF的值是____． 【答案】． 【解析】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°， ∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF＝BC， ∵，∴．∴设CD＝2x，CF＝3x， ∴． ∴tan∠DCF＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）在中，，解这个直角三角形． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算及解直角三角形， （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）先求出，再根据三角函数值求出角度即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：在中，， ∴ ∴，， ∴． 17. 如图，在中，，点D在上，，．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，先解得到，再解可得． 【详解】解：中，，， ∴， 在中，，， ∴． 18. 如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度． （参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 【答案】68.5m 【解析】 【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可． 【详解】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E． 则AE＝50m， 在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m）， 在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m）， ∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）． 答：铁塔CD的高度约为68.5m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键． 19. 由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，求的长”．这时小明去翻看了标准答案，显示．你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？ 【答案】． 【解析】 【分析】此题考查解直角三角形的应用，作辅助线于H．中，利用正弦求得，利用余弦求得，所以；然后根据直角三角形的正切值求得的值． 【详解】解：作于H． 在中，，， ∴， ∴， ∴污渍部分内容内为． 20. 如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73） 【答案】 解：没有触礁的危险； 理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N， 由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°， ∴∠ABC＝∠BAC＝30°， ∴BC＝AC＝12， 在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12×＝6， ∵AN＝6≈10.38＞10， ∴没有危险． 【解析】 【分析】作高AN，由题意可得∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，进而得出∠ABC＝∠BAC＝30°，于是AC＝BC＝12，在Rt△ANC中，利用直角三角形的边角关系，求出AN与10海里比较即可． 【详解】略 【点睛】考查直角三角形的边角关系及其应用，构造直角三角形是常用的方法，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提． 21. 如图，拦水坝的横断面为等腰梯形，坝顶宽为，坝高为．为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的变成，求加高后的坝底的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟知坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡面的铅垂高度和水平长度的比叫做坡面的坡度（或坡比）是解题的关键．先根据题意得到，，，再根据坡度定义分别求得，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，． ∵在中，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 答：加高后的坝底的长为． 22. 如图，是的中线，，，，求： （1）的长； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点作，先利用锐角三角函数求的长，从而利用勾股定理求的长，再利用锐角三角函数求的长，从而求的长，即可解答；（2）利用三角形的中线求的长，从而求出的长，利用勾股定理求出的长，在利用锐角三角函数进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 的长为； 【小问2详解】 是的中线， ， ， 在中，， ， ， 的值为． 23. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．小红同学安装化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，其示意图如图所示．已知试管，，试管倾斜角为．（结果精确到，参考数据：，） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长，交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），测得，求线段的长． 【答案】（1）15.7厘米 （2）25.8厘米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）过E作，根据三角函数求出，再根据矩形的性质即可得解； （2）过B作，根据三角函数求出，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：过E作，垂足为点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 答：的长度约为； 【小问2详解】 解：过点B分别作，垂足分别为点H，P， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 答：线段的长约为． 24. 在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． （1）如图③ ，若，则__，_____；． （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式．（用含的式子表示） 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线作所求角的直角三角形． （1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可； （2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 由勾股定理可得： 由三角函数的定义可得， 由材料可得： 故答案为；； 【小问2详解】 取的中点，连接，过点作于点，如下图： 则，，， 在中，， 在中，， 在中，， 则 则 故答案为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县洛香中学2024-2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 计算的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（ ） A. 扩大为原来的两倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 不能确定 4. 如图，在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图，在中，是斜边上的中线．已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为测量河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（）测得，则A、B间的距离应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 在Rt中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=10，tan∠B=，则BC的长为（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 9. 如图，在中，是斜边上的高，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的内接三角形，是的直径，且半径是，，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是边长为6的等边三角形，点D，E在边上，若，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 12. 在中，，如果，，那么______． 13. 如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则的长度是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，有三点，，，则______． 15. 如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tan∠DCF的值是____． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）在中，，解这个直角三角形． 17. 如图，在中，，点D在上，，．求的值． 18. 如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度． （参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 19. 由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，求的长”．这时小明去翻看了标准答案，显示．你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？ 20. 如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.73） 21. 如图，拦水坝的横断面为等腰梯形，坝顶宽为，坝高为．为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的变成，求加高后的坝底的长． 22. 如图，是的中线，，，，求： （1）的长； （2）的值． 23. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．小红同学安装化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，其示意图如图所示．已知试管，，试管倾斜角为．（结果精确到，参考数据：，） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长，交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），测得，求线段的长． 24. 在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）． 聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出． 阅读以上内容，回答下列问题：在中，． （1）如图③ ，若，则__，_____；． （2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式．（用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $