精品解析：广东省中山市小榄花城中学2024-2025学年九年级下学期第一次限时训练数学试题

2024-2025学年第二学期九年级第一次限时训练数学试题 （所有答案做在答题卡上，时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个选项中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 单项式的次数是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 3. 已知是方程的解，则的值是（　　　） A. 3 B. 2 C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 若点，，在同一条直线上，则a的值是（ ） A. 6或 B. 6 C. -6 D. 6或3 9. 下列函数中，当时随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动．记，点D到直线PA的距离为y，则y的最小值是（ ） A. 6 B. C. 5 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 截至月日，电影《哪吒》全球总票房突破亿元，长沙万象城影院某天《哪吒》的票房累计约元，数字用科学记数法表示为______． 12. 4的平方根是_______． 13. 若，则锐角_______°． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 15. 如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为______． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 解不等式组： 18. 解方程：． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，AE平分，D为AE上一点，． （1）求证：； （2）若D为AE中点，，求CD的长． 21. 2024年是甲辰龙年，在中国传统文化中，龙象征着权威、尊贵、吉祥、繁荣等美好寓意．因此，剪纸龙、泥塑龙、龙雕刻、龙绣等具有龙元素的工艺品更是深受人民喜爱．某商场决定购进一批剪纸龙和龙绣进行销售，已知每套龙绣的价格是每套剪纸龙价格的2倍，购进5套龙绣和10套剪纸龙共花费600元． （1）求商场购进每套龙绣和剪纸龙的价格各是多少元？ （2）该商场购进龙绣和剪纸龙之后重新定价销售，每套剪纸龙的售价为50元，每套龙绣的售价为90元，现商场决定用1500元（恰好用完）购买龙绣和剪纸龙若干套，且购买剪纸龙的数量不超过龙绣数量的一半，则如何安排进货才能使商场获得最大利润？最大利润是多少？ 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共24分） 22. 在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． （1）初步尝试：我们知道： ， ，发现结论： ；（选填“”或“”） （2）实践探究：如图，在中，，，，求的值； 小明想构造包含的直角三角形：延长至点，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解； （3）拓展延伸：如图，在中，，，，求． 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级第一次限时训练数学试题 （所有答案做在答题卡上，时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个选项中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴最小的数为：； 故选A． 2. 单项式的次数是（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的次数的意义判断即可． 【详解】解：单项式的次数是4， 故选：A． 3. 已知是方程的解，则的值是（　　　） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，将代入方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先根据偶次方的非负性判断的正负，然后根据点的坐标正负判断点的位置即可．本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征． 【详解】解：∵， ∴， ∴点一定在第二象限， 故选：B． 5. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，主视图是从几何体的正面看到的图形，据此即可作答． 【详解】解：依题意，主视图是， 故选：C． 6. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与几何变换，利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为：，即， 故选：B． 7. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即m的取值范围为且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8. 若点，，在同一条直线上，则a的值是（ ） A. 6或 B. 6 C. -6 D. 6或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的特点，设一次函数的解析式为y=kx+b，然后把AB点的坐标代入解析式，解方程组，即可求出一次函数的解析式，再将x=5代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：设该直线对应的函数表达式为， 把，代入，得 解得 ∴， 又∵点也在这条直线上， ∴. 故选B. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式．函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．解决本题的关键是根据一次函数解析式的特点先求出一次函数的函数关系式． 9. 下列函数中，当时随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵-2<0, ∴当时随的增大而增大,故A正确； ∵-2<0, ∴当时随的增大而减小,故B不正确； ∵-1<0, ∴当时随的增大而减小,故C不正确； ∵1>0,对称轴 ∴当时随的增大而增大,故D不正确； 10. 如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发，按A→B→C的方向在边AB和BC上移动．记，点D到直线PA的距离为y，则y的最小值是（ ） A. 6 B. C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：①当点P在AB上运动时，D到PA的距离， ∴当时，， ②当P在BC上运动时， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠BAD=90°， ∴∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°， ∴∠APB=∠PAD， 又∵∠B=∠DEA=90°， ∴△ABP∽△DEA， ∴，即：， ∴当时，， ∴， 即当时，函数图象为平行于x轴的线段，且； 当时，函数图象为反比例函数， 时，y的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题函数，涉及矩形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质等知识，解题关键是利用相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分情况讨论． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 截至月日，电影《哪吒》全球总票房突破亿元，长沙万象城影院某天《哪吒》的票房累计约元，数字用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 13. 若，则锐角_______°． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了根据三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值可得，求解即可． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 15. 如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与面积，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】如图，交轴于， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∵过第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】分别计算负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂，再合并即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查实数的运算，考查了负整数指数幂，锐角三角函数，绝对值，零次幂的运算，掌握以上知识是解题的关键． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为：； 18. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，先将分式方程转化为整式方程，再解出即可，注意要进行检验． 【详解】解：去分母得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 检验：当时，，故是增根， 原分式方程无解． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的运算法则．先根据分式的运算法则化简，再代入值计算即可． 【详解】解： 原式 当时，原式． 20. 如图，AE平分，D为AE上一点，． （1）求证：； （2）若D为AE中点，，求CD的长． 【答案】 （1）证明∵AE平分， ∴， 在与中， ∵， ， ∴； （2）CD的长为2． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可得，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）由中点的定义可得，再由（1）中结论相似三角形的性质即可得． 【详解】解：（1）略； （2）解：∵D为AE中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴CD的长为2． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线和线段中点的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 21. 2024年是甲辰龙年，在中国传统文化中，龙象征着权威、尊贵、吉祥、繁荣等美好寓意．因此，剪纸龙、泥塑龙、龙雕刻、龙绣等具有龙元素的工艺品更是深受人民喜爱．某商场决定购进一批剪纸龙和龙绣进行销售，已知每套龙绣的价格是每套剪纸龙价格的2倍，购进5套龙绣和10套剪纸龙共花费600元． （1）求商场购进每套龙绣和剪纸龙的价格各是多少元？ （2）该商场购进龙绣和剪纸龙之后重新定价销售，每套剪纸龙的售价为50元，每套龙绣的售价为90元，现商场决定用1500元（恰好用完）购买龙绣和剪纸龙若干套，且购买剪纸龙的数量不超过龙绣数量的一半，则如何安排进货才能使商场获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）商场购进每套龙绣的价格为60元，每套剪纸龙的价格为30元 （2）商场购进20套龙绣、10套剪纸龙可获得最大利润，最大利润是800元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，（1）设商场购进每套剪纸龙的价格为x元，则购进每套龙绣的价格为元，根据“购进5套龙绣和10套剪纸龙共花费600元，”列一元一次方程求解即可； （2）设购买龙绣a套，购买剪纸龙套，先根据“购买剪纸龙的数量不超过龙绣数量的一半，”列不等式求得，再根据列w关于a的一次函数，由一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设商场购进每套剪纸龙的价格为x元，则购进每套龙绣的价格为元．由题意，得， 解得， ， 答：商场购进每套龙绣的价格为60元，每套剪纸龙的价格为30元． 【小问2详解】 解：设购买龙绣a套，购买剪纸龙套． 由题意，得， 解得． ∵， ∴， ∴， 设商场获得的利润为w元． 则， ， ∴w随a的增大而减小， 又∵， ∴当时，w有最大值，最大值为． 此时， 答：商场购进20套龙绣、10套剪纸龙可获得最大利润，最大利润是800元． 五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共24分） 22. 在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对互为倍数的两个锐角正切三角比产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． （1）初步尝试：我们知道： ， ，发现结论： ；（选填“”或“”） （2）实践探究：如图，在中，，，，求的值； 小明想构造包含的直角三角形：延长至点，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路求解； （3）拓展延伸：如图，在中，，，，求． 【答案】（1），，； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）根据特殊角的三角函数值即可求解； （）利用勾股定理求出，延长至，使得，连接，如图所示，可得，，进而得，，根据即可求解； （）如图，作的垂直平分线交于，连接，可得，由得，即得，设，则，在中由勾股定理得，得到，即得，进而得，再根据即可求解； 本题考查了三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：，， 发现结论：， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， 延长至，使得，连接，如图所示， ∴，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作的垂直平分线交于，连接，则， ∴， ∴ ∵中，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴． 23. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴另一交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质及待定系数法求二次函数表达式，熟练掌握二次函数性质是解题关键， （1）先求出，代入表达式计算解出即可； （2）过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，先证明，设，则，求出，，求出最值即可． 【小问1详解】 解：直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ， 把代入抛物线解析式， 得：， 解得， 抛物线解析式为． 【小问2详解】 如图，过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，则， ， ， 设， 直线的解析式为， ， ， 令，得， 解得， 故， ， 则当时，， ， ， 的面积为的面积为，且两个三角形为同高三角形， ， ， 有最大值，且当取最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $