1.1探索勾股定理 课件 2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

第一章 勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时　认识勾股定理 知识点1 勾股定理 1．勾股定理 (1)文字叙述：直角三角形两直角边的_______等于斜边的_____． (2)字母表示：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c， 那么__________． 平方和 平方 a2＋b2＝c2 2．勾股定理的变形 如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°. (1)c2＝______； (2)b2＝______； (3)a2＝______． a2＋b2 c2－a2 c2－b2 【注意】 1.应用勾股定理的前提是三边均在同一直角三角形中，非直角三角形的三边不存在此种关系． 2．应用勾股定理时必须分清哪两条边是直角边，哪条边是斜边． 知识点2 利用勾股定理求面积 利用勾股定理，均可得到S1＋S2＝S3. 考点1 勾股定理 典例1 在Rt△ABC中，AB2＝10，AC2＝6，则BC2＝( ) A．8 B．16或64 C．4 D．4或16 思路导析 分∠C＝90°和∠A＝90°两种情形，分别利用勾股定理计算即可． 变式 [2023·二道区期末]一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为( ) A．10 B．13 C．7 D．14 考点2 利用勾股定理求面积 典例2 如图，以Rt△ABC(∠ACB＝90°)的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3.若S1＋S2＋S3＝12，则S1的值是( ) A．3 B．6 C．7 D．8 思路导析 根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案． 变式 [2023·宁波期末]将三张半圆形纸片按如图所示的方式摆放，半圆的直径恰好构成一个直角三角形，若知道图中两个月牙形(阴影)的面积和，则一定能求出( ) A．直角三角形的面积 B．最大半圆形的面积 C．较小两个半圆形的面积和 D．最大半圆形与直角三角形的面积和 第2课时　验证勾股定理 知识点 勾股定理的验证 用4个如图1所示的直角边长分别为a，b，斜边长为c的全等的 直角三角形，可拼成如图2所示的大正方形． (1)由正方形的面积公式可得大正方形的面积为_______； (2)由各部分面积和等于大正方形面积，可得大正方形的面积 为_______； (3)由(1)(2)整理可得__________，从而验证了勾股定理． (a＋b)2 2ab＋c2 a2＋b2＝c2 考点 勾股定理的验证 典例 数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美 图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定 理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是： 将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC按如图所示 摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝ ∠D＝90°，即可借助图中几何图形的面积关 系来证明a2＋b2＝c2.请写出证明过程． 思路导析 用两种不同的方法表示梯形ABCD的面积，计算化简后，即可得出a2＋b2＝c2. 证明：如图，连接BC. 因为Rt△ABE≌Rt△DEC， 所以∠AEB＝∠DCE，BE＝EC＝c. 因为∠D＝90°， 所以∠DCE＋∠DEC＝90°， 所以∠AEB＋∠DEC＝90°， 所以∠BEC＝90°， 所以△BEC是等腰直角三角形． 因为S梯形ABCD＝SRt△ABE＋SRt△CDE＋SRt△BEC， 变式 [数学传统文化][2023·泌阳县期末]我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是( ) 所以eq \f(（AB＋CD）·AD,2)＝eq \f(AE·AB,2)＋eq \f(ED·DC,2)＋eq \f(BE·EC,2)， 即eq \f(（a＋b）（a＋b）,2)＝eq \f(ab,2)＋eq \f(ba,2)＋eq \f(c·c,2)， 所以eq \f(a2＋2ab＋b2,2)＝eq \f(c2＋2ab,2)， 所以a2＋b2＝c2. $$