第09讲 空间向量与立体几何：动点轨迹讲义（知识点+11题型+巩固练习)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第09讲 空间向量与立体几何的动点轨迹，边长缺失，截面专题 思 维 导 图 学 习 目 标 1理解空间中轨迹的概念：能结合立体几何背景，明确空间轨迹（如点的轨迹、线的轨迹等）的形成原理，区分平面轨迹与空间轨迹的差异。 2.掌握空间向量的应用方法：能熟练运用空间向量的坐标运算、数量积、模长等知识，将立体几何中与轨迹相关的条件转化为向量关系或代数方程。 3.学会分析轨迹类型：能根据已知条件（如距离关系、角度关系、平行垂直关系等），判断空间轨迹的形状（如球面、圆柱面、圆锥面、平面与曲面的交线等）。 4．提升综合解题能力：能综合运用空间向量、立体几何的判定与性质定理，解决与轨迹相关的计算（如轨迹方程、轨迹范围）和证明问题，形成“几何问题代数化”的解题思路。 知识点讲解 立体几何中的动点轨迹问题是高考数学的重要考点，这类问题融合了立体几何与解析几何的知识，对同学们的空间想象力、逻辑思维能力和运算求解能力都有较高要求。通过对动点轨迹问题的研究，我们能够更好地理解空间中几何元素的位置关系和运动规律，提升数学综合素养。 一．知识回顾 （一）立体几何基本定理 1. 线面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 2. 线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 。 3. 面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 4. 面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 二．圆锥曲线定义 1. 圆：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 2. 椭圆：平面内到两个定点F_1,F_2的距离之和等于常数（大于|F_1F_2|）的点的轨迹。 3. 双曲线：平面内到两个定点F_1,F_2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F_1F_2|且大于0 ）的点的轨迹。 4. 抛物线：平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹 。 三、题型分类及解法 （一）由动点保持平行求轨迹 1. 线面平行转化为面面平行得轨迹 通过在已知平面内找两条相交直线，分别与目标直线平行，从而确定包含目标直线的平行平面，进而得到动点轨迹。 2. 平行时可利用法向量垂直关系求轨迹（向量法） 建立空间直角坐标系，求出已知平面的法向量，根据线面平行时直线方向向量与法向量垂直列方程求解。 （二）动点保持垂直求轨迹 1. 利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹 通过证明线面垂直，确定包含动点且与已知直线垂直的平面，其与指定平面的交线即为动点轨迹。 2. 利用空间坐标运算求轨迹 建系后根据向量垂直的坐标表示列方程，结合动点所在平面的范围确定轨迹。 3. 利用垂直关系转化为平行关系求轨迹 通过已知垂直关系构造辅助线，利用线面垂直、线线平行的关系确定动点轨迹。 （三）由动点保持等距（或者定距）求轨迹 1. 距离转化为在一个平面内的距离关系，借助圆锥曲线定义求解轨迹 根据距离关系列出等式，化简后根据圆锥曲线定义判断轨迹形状。 2. 利用空间坐标计算求轨迹 建系后根据距离公式列出方程，得到动点轨迹方程，确定轨迹形状。 （四）由动点保持等角（或定角）求轨迹 1. 直线与面成定角，可能是圆锥侧面 根据线面角的定义和三角函数关系，结合距离公式确定动点轨迹。 2. 直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面 通过作辅助线，利用线线角的定义和几何关系确定圆锥的母线，从而得到动点轨迹。 3. 利用空间坐标系计算求轨迹 （五）翻折有关的的轨迹问题 1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹 2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹 3.可以利用空间坐标运算求轨迹 题 型 归 纳 题型01：边长缺失问题 【典型例题1】如图，直三棱柱中，，，M，D分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）设的中点为，连接. 因为M，D分别为，的中点， 所以，且. 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面， 所以平面. （2）在直三棱柱中，， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，得. 设平面的一个法向量为， 则，取，得. 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以. 解得，即. 【典型例题2】在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点． (1)证明：为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）如图，连接，在正四棱柱中， 由与平行且相等，得是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，是中点， 所以是的中点； （2）以为轴建立空间直角坐标系，如图， 设（），则，，，， ，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以的长为． 巩固练习 1．如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为底面底面， 所以. 因为，所以. 取的中点，则，所以. 由得，，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解：由（1）及条件可知，两两垂直. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以 设，则，所以 . 设平面的一个法向量为， 由得取， 设平面的一个法向量为， 由得取， 所以， 令，则，整理得， 解得. 由，解得（负值舍去）， 即. 2.如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，，连接    (1)求证： (2)当与平面所成角的正弦值为时，求棱的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）过点E在平面内作交棱于点，连 ∵，∴，又∵，∴， 于是， 又∵，∴∽，∴， ∵，于是，∴， ∵平面，，∴平面，∴， 又∵，且、平面， ∴平面， 又∵平面， ∴ （2）以点A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．    设，则，，， ∴，，， 设平面BPC的法向量为，则，即，取， 于是， 设CE与平面BPC所成角为， 则， 化简整理得，解得或， 所以棱的长为：或 3．如图，在四棱锥中，点在平面内的射影为点，，，平分，. (1)若为棱的中点，求证：平面. (2)若二面角的平面角的正弦值为. （i）求的长； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）设棱的中点为，连接，，如图， 则，. 由题意知，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面， 所以平面. （2）过点作交于点，则，， 可得四边形是矩形. 又平分，所以四边形为正方形，且边长为2. 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （i）设，则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则即 令，可得平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则即 令，可得平面的一个法向量为. 设向量与所成的角为，则， 所以，解得，即. （ii）由（i）知，向量，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 4．如图所示，在四棱锥中，，，．    (1)若平面，证明：平面； (2)若底面，，二面角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，，，即， ∴，即， ∵平面，平面， ∴， ∴，又平面，平面， ∴平面； （2）∵底面，底面， ∴，，又， 以点为原点，以所在的直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：    令，则， ，则， ， 设平面的法向量为， ∴， 令，则， ∴， 设平面的法向量为， ∴， 令，则， ∴， ∵二面角的正弦值为，则余弦值为， 又二面角为锐角，∴， 解得，所以. 5．如图所示，在几何体中，底面，，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）由底面，，得直线两两垂直， 以点为原点，直线两两垂直分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 显然是平面的一个法向量，而，， 即，因此平面，又平面， 所以平面.    （2）由（1）知，， 设平面的法向量，则，令，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）知，，设平面的法向量， 则，令，得， 由（2）知平面的法向量，由平面与平面所成角的余弦值为， 得，解得， 所以线段的长为. 6．如图，五面体中，，，平面ABCD． (1)求证：； (2)若，，，求点E到直线AB的距离； (3)若，，，二面角的余弦值为，求DE的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【详解】（1）因为，平面，平面，可得平面， 又因为平面，平面平面， 所以. （2）由题意可知：，平面ABCD， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 若，，，则， 可得， 所以点E到直线AB的距离为. （3）由（2）中坐标系，若，，， 则， 设，则，可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 由题意可知：设平面的法向量， 则，解得， 所以DE的长为. 题型02：动点轨迹形状 【典型例题1】.已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ） A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 【答案】C 【解析】以点D为原点，，，为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则，设， 可得，， 因为直线与的所成角为， 则，化简可得， 所以点Q的轨迹为抛物线. 故选：C.    【典型例题2】如图，正四棱柱中，，点是面上的动点，若点到点的距离是点到直线的距离的2倍，则动点的轨迹是（ ）的一部分 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【解析】由题意知，以D为原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则，设， 所以， 因为到的距离是到的距离的2倍， 所以，即， 整理，得， 所以点P的轨迹为双曲线. 故选：C 巩固练习 1. 【多选】如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．当时，的值最小 B．当时， C．若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．直线与平面所成角的正弦值是 【答案】ABC 【解析】对于A选项，建立如图1所示的空间直角坐标系，    设，则． 设，则． ， ， ， 当，即时，的值最小，故A正确． 对于B选项，， ， ，故B正确． 对于C选项，如图2所示构造圆锥．母线与中轴线的夹角为，然后用平面去截圆锥， 使直线与平面的夹角为，则截口为点的轨迹图形， 由圆锥曲线的定义可知，点的轨迹为椭圆，故C正确． 对于D选项，直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角． 是与平面所成的角，又，则，故D不正确． 故选：ABC． 题型03：与平行相关的动点轨迹问题 轨迹长度 【典型例题1】如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 【分析】利用坐标法，根据线面平行和面面平行的判定及性质找出的轨迹，根据轨迹特点可求答案. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ; 所以, , ; 故，即，又平面，平面， 所以平面，同理可得平面，又平面， 所以平面平面； 因为P是侧面内一点（含边界），平面AEF， 所以点P必在线段MN上，即点P的轨迹为MN， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 【典型例题2】 【多选】已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，    则， 所以， 由平面，得，即， 化简可得：， 所以动点P在直线上， 对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误； 对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确； 对于选项C：，C选项正确； 对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确； 故选：BCD. 巩固练习 1.【多选】如图，已知正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，点在侧面内，则以下说法正确的有（    ） A．平面 B．过点作正方体的截面，所得截面的面积是 C．点到平面的距离为 D．若平面，则点的轨迹长度为 【答案】AD 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，坐标法证明即可得证；对于B，通过平行画出截面为正六边形，计算面积即可；对于C，利用向量法即可计算得到点到平面距离；对于D，通过面面平行，找到平面的交线，从而确认动点的运动轨迹，即可得解. 【详解】对于A，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， 则，， ，，， 所以，， 则平面，故A正确； 对于B，作中点，的中点，的中点， 连接，，，，， 则正六边形为对应截面面积， 正六边形边长为， 则截面面积为：，故B错误； 对于C，由A选项知，向量为平面的法向量， 且，， 所以到平面的距离为 ，故C错误； 对于D，取BC中点R，CC1中点T，所以相交， 所以平面平面，即平面平面， 由B选项知，当动点在上运动时，平面，总是会有平面， 所以若平面，则点的轨迹为，， 故D正确； 故选：AD 2.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若 平面，则点的轨迹的长度为 . 【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面，的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，由题知平面， 因为是平面内的相交直线，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令得， 因为，所以， 解得，则，又 所以， 所以. 故答案为：. 二：轨迹围成图形面积 3.在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点轨迹形成图形的面积为__________ 【答案】 【解析】因为，故P点轨迹为以为直径的球， 如图，易知中点即为正方体中心，球心在每个面上的射影为面的中心， 设在底面上的射影为，又正方体的棱长为，所以， 易知，，又动点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹是六个半径为a的圆，所以P点轨迹形成图形的面积为 故答案为：. 题型04：与垂直相关的动点轨迹问题 【典型例题1】在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】   在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以，，当时，；当时，； 取，，，， 连接，，，，则，， 所以四边形为矩形， 则，，即，， 又，且平面，平面， 所以平面， 又，，所以为中点，则平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为四边形， 因此点不可能是棱的中点，即A错； 又，，所以，则点的轨迹不是正方形； 且矩形的周长为，故C错，D正确； 因为点为中点，则点为矩形的对角线交点，所以点到点和点的距离相等，且最大，所以线段的最大值为，故B错. 故选：D. 【典型例题2】在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 球心，取的中点，的中点，连接， 则，， ， 故，， 又，平面， 故⊥平面， 故当位于平面与内切球的交线上时，满足， 此时到平面的距离为 ， ，其中为平面截正方体内切球所得截面圆的半径， 故点的轨迹为以为半径的圆， 故点的轨迹长度为. 故选：B 巩固练习 1.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（    ） A． B． C． D． 【分析】 建立空间直角坐标系，找到球心O和点的轨迹，求出到平面的距离，利用几何法求截面圆的半径和周长. 【详解】 取面对角线中点，连接，，，，分别在上，且， 以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，，， ，，，，， ，，，， 三棱锥中， 为直角三角形，所以， 因此点即为三棱锥的外接球球心，球半径长为， ，，，，，共面， ，，， ， 平面，，平面，平面， 点的轨迹为矩形的四边，如图所示， ，为平面的法向量， 则球心到平面的距离为， 球面被平面截得的圆的半径，圆的周长为. 故选：B. 2. 【多选】如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（    ） A．若，则点P的轨迹长为 B．在线段上存在点P，使得直线PM与直线为异面直线 C．若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等 D．过点P可以作4条直线与，AC均成角 【答案】AC 【分析】对于选项A，建立空间直角坐标系，令，根据，建立关于的方程，从而得到动点P的轨迹方程，即可求出点P轨迹长； 对于选项B，根据四点共面，即可判断直线与直线不是异面直线； 对于选项C，直接求出，根据，构造三棱柱，利用即可求解，； 对于选项D，根据直线与，AC均成角，只要过点P作直线与平行即可满足题意. 【详解】对于选项A，建立如图所示空间直角坐标系，, ，因为，所以， 所以，即， 又因为点P在正方形内部（含边界）运动，所以，所以点P的轨迹长为，故A正确； 对于选项B，如图，连接，，由正方体的性质知，， 所以四点共面，平面，故B不正确； 对于选项C，如图，取的中点F，连接，设， 连接，则几何体为斜三棱柱， 从而， 在三棱柱中，, 其中, , ∴, 又，故C正确； 对于选项D，通过平移直线可知，直线与，AC均成角，那么只要过点P作直线与平行即可满足与，AC均成角，这样的直线有无数条，故D不正确, 故选：AC. 【点睛】思路点睛：对于选项A，由轨迹可以想到，是否可以把动点的轨迹方程求出，在根据方程得到轨迹，从而求出轨迹长度；对于选项B，判断异面，只需要证明共平面就可以反证出不异面；对于选项C，在求解三棱锥的体积时一般可以通过转换顶点，更换几何体的底面和高求解，也可以将三棱锥的体积转化为几个容易求解的几何体的体积差求解；对于选项D，通过平移找到和，AC均成角直线即可解决问题. 3.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）． A． B． C． D．4a 【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及，两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， ∴，，，，∴， 设，则，    ∵，∴，可得； 当时，，当时，， 取，，，， 连结，，，， 则，， ∴四边形为矩形，则，， 即，，又和为平面中的两条相交直线， ∴平面， 又，， ∴为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，，∴，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为． 故选：A. 4. 【多选】在三棱锥中，平面，点是三角形内的动点（含边界），，则下列结论正确的是（    ） A．与平面所成角的大小为 B．三棱锥的体积最大值是2 C．点的轨迹长度是 D．异面直线与所成角的余弦值范围是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，把几何体补形成正四棱柱，利用几何法求出线面角判断A；确定点的轨迹并求出长度判断C；求出点到距离的最大值计算判断B；建立坐标系，利用异面直线夹角的向量求法建立函数关系求解判断D. 【详解】如图，把三棱锥补形成正四棱柱并建立空间直角坐标系， 对于A，由平面，得是与平面所成的角，， 因此，A正确； 对于C，由，得点的轨迹是以线段为直径的球面与相交的一段圆弧及点， 令的中点分别为，则平面，，于是， 显然点所在圆弧所对圆心角大小为，长度是，C正确； 对于B，由选项C知，当时，点到平面距离最大，最大距离为1， 因此三棱锥的体积，B错误； 对于D，设，则点，而， 于是，又，令异面直线与所成的角大小为， 则， 令，在上单调递增， 因此，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解. 5.在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点轨迹形成图形的面积为__________ 【答案】 【解析】因为，故P点轨迹为以为直径的球， 如图，易知中点即为正方体中心，球心在每个面上的射影为面的中心， 设在底面上的射影为，又正方体的棱长为，所以， 易知，，又动点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹是六个半径为a的圆，所以P点轨迹形成图形的面积为 故答案为：. 题型05：距离（长度）有关的动点轨迹问题 【典型例题1】在正方体中，分别为棱的中点，动点平面，，则下列说法错误的是（    ） A．的外接球面积为 B．直线平面 C．正方体被平面截得的截面为正六边形 D．点的轨迹长度为 【分析】可证明正方体被平面截得的截面为正六边形，故可判断C的正误，利用面面平行的判定定理可判断B的正误，利用补体法可求的外接球的直径后可判断A的正误，利用向量的方法可求到平面的距离，从而可求点的轨迹长度，故可判断D的正误. 【详解】如图，设的中点分别为，连接. 由正方体的性质可得，而为三角形的中位线， 故，故，故四点共面， 同理，也四点共面，故五点共面， 同理也四点共面，故六点共面. 正方体被平面截得的截面为六边形， ， 因为平面平面，平面平面， 而平面平面，故， 而为三角形的中位线，故，故， 但与方向相反，故与互补，而为等边三角形， 故，故，    同理， 故正方体被平面截得的截面为正六边形，故C正确. 由，平面，平面，故平面， 同理故平面，而平面， 故平面平面，而平面，故平面，故B正确. 对于A，将三棱锥补成如图所示的长方体， 其中分别为、的中点， 则其外接球的直径即为的体对角线的长度即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确.    建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 故， 设平面的法向量为，则， 故，取，则， 故，而， 故到平面的距离为， 而，故点的轨迹为平面与球面的截面（圆）， 该圆的半径为，故圆的周长为，故D错误. 故选：D. 【典型例题2】【多选】如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 巩固练习 1.如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为 ． 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法求得M点在底面内的轨迹，进而求得其长度. 【详解】取中点N，中点O，连接， 因为平面平面， ，平面平面，平面 所以平面， 由题意可得两两垂直， 以O为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，令, 则 由，可得， 则，整理得， 则M点在底面内的轨迹为线段 ， 所以轨迹的端点的坐标为 则M点在底面内的轨迹长度为 故答案为：. 2.如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（    ）    A．   B．   C．   D．   【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，结合，化简的得到，即可求解. 【详解】以为原点，分别为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，如图所示， 设，正方形边长为，则， 则， 由，即，整理得到， 所以点在正方形内的轨迹为一条直线的一部分 故选：A. 3.如图已知每条棱长都为3的直平行六面体中，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一个端点在底面上运动，则中点的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】如图所示，利用代数法先确定点的轨迹，从而确定点的轨迹与平行六面体所围成的几何体的形状，即可求几何体的体积． 【详解】 如图所示，取的中点连接，由题意知， 以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 设，，则 即 点的轨迹是以原点为球心，以1为半径的球的一部分 又，． 点的轨迹是球的 几何体的体积为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何体的体积的求法，涉及点的轨迹的求法，解析法的应用以及球的体积公式的应用，属于中档题． 题型06：与角度有关的动点轨迹问题 【典型例题1】如图，在棱长为8的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列三个结论：①若为上的动点，则的最小值为；②到平面的距离的最大值为；③为的中点，为空间中一点，且与平面所成的角为，与平面所成的角为，则在平面上射影的轨迹长度为，其中所有正确结论的序号是 ． 【分析】对于①：建系，设设，根据两点间距离公式分析求解；对于②：利用等体积法求点到面的距离；对于③：根据线面夹角分析可知：，建系，利用坐标系求点的轨迹方程. 【详解】对于①：以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，    可得， 设， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值，故①正确； 对于②：设到平面的距离的最大值为， 由可得，则， 由（1）可知的最小值为， 所以到平面的距离的最大值为，故②正确；    对于③：设在平面上射影为，连接， 可知：与平面所成的角为，与平面所成的角为， 则，可得， 在空间直角坐标系，则，    设，则， 整理得， 可知在平面上射影的轨迹为半径为的圆， 所以轨迹长度为，故③正确； 故答案为：①②③. 【典型例题2】.【多选】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为正方体表面上的动点，N为线段AC1上的动点，若直线AM与AB的夹角为，则下列说法正确的是(　　) A．点M的轨迹确定的图形是平面图形 B．点M的轨迹长度为＋2 C．C1M的最小值为－1 D．当点M在侧面BB1C1C上时，AN＋MN的最小值为1 答案　BCD 解析　如图，建立空间直角坐标系，则D(0,1,0)，C1(1,1,1)， ∵直线AM与AB的夹角为，当点M在侧面AA1D1D上时，AB⊥AM，不合题意； 当点M在底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D(不包含边界)上时，点M到直线AB的距离大于AB的长度，此时，AM与AB的夹角大于； 当点M在侧面AA1B1B和底面ABCD上时，可知线段AB1，AC满足题意； 当点M在侧面BCC1B1上时，由AB⊥BM，可知BM＝AB，此时弧B1C为所求． ∴M点的轨迹为线段AC，AB1，弧B1C， 显然线段AC，AB1，弧B1C不共面，∴A错误； 对于B，点M的轨迹长度为＋2，∴B正确； 对于C，若M在线段AC上，则C1M的最小值为1，同理，若M在线段AB1上，则C1M的最小值也为1，若M在弧B1C上，则C1M的最小值为C1B－1＝－1，∴C正确； 对于D，M(1，y，z)(0≤y≤1,0≤z≤1)，且y2＋z2＝1，由题意设N(λ，λ，λ)，λ∈[0,1]，则AN＋MN＝λ＋≥λ＋＝λ＋(1－λ)＝1， 当且仅当y＝z＝λ，且y2＋z2＝1，即y＝z＝λ＝时，等号成立，∴D正确． 巩固练习 1.四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点，且二面角的平面角大小为，则动点的轨迹的长度为 . 【分析】建立空间直角坐标系，设出，由二面角的大小，列出方程，得到，设直线与轴交点分别为，得到动点的轨迹的长度为的长，由勾股定理求出答案. 【详解】因为平面，平面， 所以PA⊥AB，PA⊥AD， 又因为， 所以PA，AB，AD两两垂直， 所以以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 因为是四边形内部一点，设， 其中， 平面PDA的法向量为， 设平面QPD的法向量为，则 ， 令，则， 所以， ， 由于， 所以，故， 因为的平面角大小为，设为， 则， 解得：， 设直线与轴交点分别为， 故动点的轨迹的长度为的长， 令得：，故 令得：，故 由勾股定理得：， 所以动点的轨迹的长度为. 故答案为：. 2.如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化 B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D．若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是 【答案】D 【分析】对A，点P在平面内运动时，四棱锥的底面积和高均不变，所以体积不变；对B，D，建系利用向量法求解；对C，根据线面角的定义，讨论点在各个表面的情况求解得答案. 【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，点P到平面的距离为正方体棱长， 所以四棱锥的体积不变，故A错误； 对于B，如图①，以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 可得，，.设，， 则，. 设直线与所成角为θ，则， 图① 因为，当时，可得，所以； 当时，，所以， 所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B错误； 对于C，已知直线与平面所成的角为45°，若点P在平面和平面内， 因为，最大，点P仅在点；若点P在平面内， 则点P的轨迹长度是；若点P在平面内，则点P的轨迹长度是； 若点P在平面内，作平面，如图②所示， 因为，所以. 图② 因为，所以，所以， 所以点P的轨迹是以点A1为圆心，以2为半径的四分之一圆， 所以点P的轨迹长度为. 综上，点P的轨迹总长度为，故C错误； 对于D，如图③，由前面建系得，，，， 设，，， 则，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. 图③ 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，故D正确． 故选：D. 3.在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于． (1)当时，求点的轨迹长度； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 【分析】（1）先通过垂直关系得到，然后建立空间直角坐标系得到点的轨迹，根据角度求轨迹的长； （2）利用向量法求面面角，解方程求出点的坐标，进而利用体积公式求解即可. 【详解】（1）作交于， 因为平面平面，且平面平面，面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 因为，，、平面，， 所以平面，又因为平面，所以． 分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，因为，所以， 又，， 所以，即， 设中点为，则，如图： 又，所以， 因此，的轨迹为圆弧，其长度为； （2）由（1）知，可设，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令得． 为平面的一个法向量，令二面角为角， ，又， 解得，（舍去）或，， 则或， 从而可得三棱锥的体积． 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DE⊥AB，DC＝8，DE＝6.沿着DE将△ADE折起，使A到达点A′的位置，且平面A′DE⊥平面ADE.设P为△A′DE内的动点，若∠EPB＝∠DPC，则点P的轨迹长度为______． 答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，C(0,8,0)，E(6,0,0)，B(6,4,0)，设P(x,0，z)， 则＝(－x,0，－z)，＝(－x,8，－z)，＝(6－x,0，－z)，＝(6－x,4，－z)， ∴cos∠EPB＝cos〈，〉＝＝， cos∠DPC＝cos〈，〉＝＝， ∵∠EPB＝∠DPC，∴cos∠EPB＝cos∠DPC， ∴＝， 整理化简得x2＋z2－16x＋48＝0， 即(x－8)2＋z2＝16，∴点P的轨迹为圆弧，所在圆交A′E于P1(6,0,2)，交DE于P2(4,0,0)， 则||＝＝4，∴所对应的圆心角α＝， ∴弧长l＝αr＝×4＝，即点P的轨迹长度为. 5.如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系，，，，，， 故，， ，设平面的法向量为， 则， 令得，，故， 因为，故平面， 为平面上的动点，直线与直线的夹角为30°， 平面，设垂足为，以为圆心，为半径作圆， 即为点的轨迹，其中， 由对称性可知，，故半径， 故点的轨迹长度为. 故选：C. 题型07： 与截面相关动点轨迹问题 【典型例题1】【多选】如图：已知直三棱柱，，且，为线段BC中点，，分别为线段AB，上的动点，且满足，点为线段EF的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若为AB的中点，则平面 B．若为的中点，则平面 C．点到平面ABC的距离为定值 D．点的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】由题意知，两两垂直， 以A为原点建立如图的空间直角坐标系， 则， 对于A，若为AB的中点，所以， 设平面的法向量为，且， 则，取，所以， 又在上的动点，设，， 因为，所以或（舍）， 即为的中点，所以，， 所以， 又平面，所以平面，故A对； 对于B，为的中点，所以， 又在AB上的动点，设， 又，所以或（舍）， 所以为AB的中点，所以， 又点为线段EF的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 因为， 则，取，所以， 所以，所以不成立，所以平面不成立，故B错； 因为，分别为线段AB，上的动点， 设，，所以， 且， 所以， 取平面ABC的法向量为， 所以点到平面ABC的距离为，故C对； 设，则， 因为，所以， 设的中点为O，则G的轨迹是以O为圆心，以为半径的圆周， 其轨迹长度为，故D对； 故选：ACD 【典型例题2】．【多选】如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（    ） A．过点的平面截该正方体所得截面面积为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，三棱锥的体积为 D．过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，如图，连接，作， 因为分别是棱的中点，所以是的中位线， 由中位线定理得，由正方体性质得，， 得到四边形是平行四边形，则，故， 即四点共面，则该平面截该正方体所得截面是梯形， 由勾股定理得，，同理可得， 由题意得四边形是矩形，则，故， 由勾股定理得，且设梯形面积为， 由梯形面积公式得， 即过点的平面截该正方体所得截面面积为，故A正确， 对于B，如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 因为正方体的棱长为， 所以，，，，设 因为分别是棱的中点，所以，， 则，，， 设面的法向量为，则，得到， 而，得到， 令，解得，，故， 因为平面，所以， 得到，即， 化简得，则点的轨迹是直线，在面内， 由题意得，当时，， 当时，，得到轨迹是点和点构成的直线， 连接，由两点间距离公式得， 即此时点的轨迹长度为，故B正确， 对于C，如图，连接， 设，，则， 而，因为，所以， 得到，解得，故， 在正方体中，由勾股定理得， 则是等边三角形，得到， 故， 且，，，， 设面的法向量为，则， 得到，而，则， 令，解得，，故， 设点到面的距离为， 则由点到平面的距离公式得， 故，故C错误， 对于D，由正方体性质得外接球的球心就是正方体的中心， 如图，我们把球心记为，且连接， 由外接球性质得，外接球半径为， 由两点间距离公式得， 而截面一定是圆，且设圆的半径为，由勾股定理得， 得到截面面积为，即截面面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD 巩固练习 1. 【多选】如图，在正方体中，是对应棱的中点，则（    ） A．直线∥平面 B．直线平面 C．直线与的夹角为 D．平面与平面的交线平行于 【答案】BCD 【详解】以点为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2， 则由题意可得，， ， 对于A，设平面的法向量为，因为， 所以，令，解得， 所以平面的法向量可以为， 注意到， 而， 从而直线与平面不平行，故A错误； 对于B，注意到，，所以， 所以，这表明也是平面的法向量， 故直线平面，故B正确； 对于C，， 所以直线与的夹角的余弦值为， 所以直线与的夹角为，故C正确； 对于D，设平面与平面的交线为， 因为平面平面，平面平面，平面平面直线， 所以直线直线，即平面与平面的交线平行于，故D正确. 故选：BCD. 2．【多选】正三棱柱的各棱长相等，且均为，在内及其边界上运动，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积的取值范围为 C．为中点，若平面，则动点的轨迹长度为 D．为中点，若，则动点到平面的最大距离为 【答案】BCD 【详解】对于A中，取的中点，的中点为，连接， 由为等边三角形，所以， 又由正三棱柱中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 因为平面平面， 过作于，根据面面垂直的性质定理，可得平面， 在矩形中，，所以， 如图所示，此时的延长线与线段无公共点， 所以不存在点，使得平面，所以A错误； 对于B选项，由，当点在内及其边界上运动时， 可得， 又因为，故三棱锥的体积的取值范围为，故B正确；    对于C中，由点为中点， 取的中点，连接、、， 可得，， 因为平面，且平面，所以平面， 同理可得平面， 又因为，且、平面，所以平面平面， 因为平面平面， 由平面，所以动点的轨迹为线段，其长度为，所以C正确； 对于D选项，取线段的中点，连接， 因为为等边三角形，则，又因为平面， 以点为坐标原点，、、的反向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，设点， ，， 因为，则，即，故点在线段上运动，则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 所以点到平面的距离为， 即点到平面距离的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 3.【多选】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P在线段上，Q在底面内，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则点Q的轨迹长度为 C．存在平面 D．平面截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得的面积为定值， 由平面平面，得三棱锥的高为定值2， ，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设平面的法向量为，， 则，令，得， 设，， ，，则， 由平面， 得， 即点的轨迹方程为，令，得；令，得. 又点在底面内， 因此点的轨迹长度即为两点间的距离，B正确； 对于C，若存在平面，则，由， 得，，因此不存在平面，C错误； 对于D，由平面，得点到平面的距离为定值， 而，则， 而，则该球的半径， 截面圆的半径满足， 则截面面积的取值范围为，D正确. 故选：ABD 4.【多选】在正方体中，，，则（    ） A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C．若，则三棱锥的体积为定值 D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 【答案】ABC 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、 、， 因为， 对于A选项，当时，、、三点共线， 则点的轨迹为线段，故A正确； 对于B选项，若，即点， 此时，点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段，故B正确； 对于C选项，若，即点，其中， ，，设平面的法向量为， 则，取，可得， ，则点到平面的距离为， 因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D选项，若，则，其中， 易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 当时，取最小值，此时取最大值，且， 则， 因此，当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，故D错误. 故选：ABC. 5.【多选】已知正方体的棱长为2，动点P满足，（x，y，，，，），下列说法正确的是（   ） A．当，，时，的最小值为 B．当，，时，三棱锥的体积为3 C．当，，时，则P到平面的距离的取值范围是 D．当，且时，则P的轨迹总长度为 【答案】ACD 【详解】如图，正方体的两个面和面沿展成一个平面，连结，交于点，此时最短，最小值为，故A正确； B.如图，以点为原点，以为轴正方向，建立空间直角坐标系， 当，，时，即，此时点在的中点处， ，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 是边长为的等边三角形，面积为， 所以三棱锥的体积为，故B错误； C. 当，，时，即，此时点在棱上， ，，由B可知，，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为，， 所以点到平面的距离的取值范围是，故C正确； D. 当时，可得四点共面， 所以点的轨迹在内（包括边界）， 设点在平面内的投影为点， 因为，所以点是的中心， 由B可知，，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 若，则， 即点落在以为圆心，为半径的圆上， 点到三边的距离为， 此时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分， 其轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD 6. 【多选】在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小 C．平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形 D．若为棱的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】对于A，如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 在棱长为2的正方体中，则，， ，而为棱的中点，由中点坐标公式得，， 由题意得为棱上一动点，则设，且， 而，易得面的法向量为， 设到面的距离为，由点到平面的距离公式得， 则，即三棱锥的体积为定值，故A正确， 对于B，易得面的法向量为，，， 则，设，故， 因为，所以，解得，即， 得到，，设面的法向量为， 则，， 令，解得，，得到，设二面角为， 且，则，解得， 得到是定值，则二面角不可能先增大后减小，故B错误， 对于C，如图，令与重合，找中点，连接， 因为为棱的中点，所以是的中位线， 由中位线性质得，由题意得四边形是平行四边形， 故，即，得到四点共面， 则面为所求截面，且由勾股定理得， 即四边形是等腰梯形，故C正确， 对于D，因为为棱的中点，所以由中点坐标公式得， 此时，，设面的法向量为， 则，， 令，解得，，则， 而，，则，设到面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 如图，作面，连接， 因为与平面所成角为，所以， 则，解得，而点在平面内运动， 则的轨迹为半径为的圆，由弧长公式得长度为，故D正确. 故选：ACD 7. 【多选】直三棱柱中，侧面为正方形，，E、F分别为AC、的中点，D为棱上的动点.设，，且，则（   ） A．过点，E，D的平面截该三棱柱所得的截面为梯形 B．无论点D如何运动，都有 C．当时，点B到平面DFE的距离为 D．已知H是平面DEF上的一动点，若，则点H的轨迹为抛物线 【答案】ABD 【详解】选项A，设与交于点， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，又，所以， 为中点，则为中点，所以， 截面为是梯形，A正确； 选项B，因为，所以，为中点，由直三棱柱知， ，从而， 所以，所以， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ，，，，， ， 所以，所以，即，B正确； 选项C，时，，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 则点到平面的距离为，C错， 选项D，因为，所以是以为轴，为母线的圆锥的一条母线，即点轨迹是圆锥的侧面与平面的交线， 因为平面，所以平面截该圆锥侧面为圆（以为圆心，为半径）， 在平面中圆方程为，设是圆上任意一点，可设， 又，所以， 由选项B的讨论知，又， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 设， 化简得， 即， 因为，所以， 所以 所以对任意，关于的方程有解， 即存在使得与平面平行，因此平面截圆锥的侧面所得点轨迹是抛物线，D正确． 故选：ABD． 8.如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）解：如图所示： ， 故， 因为， 所以； （2）解：因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时， 故， 即，解得； （3）解：， 设平面的法向量为， 则有 取， 则， 所以， 所以当时，取最大值. 所以. 9. 【多选】如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则三棱锥体积为定值 B．若，则动点所围成的图形的面积为 C．若，则的最小值为3 D．若动点在正方形内（包含边界），异面直线与所成角为．则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 【答案】ABD 【详解】对A,因为动点在正方体内及其边界上， 且，则的轨迹为线段． 由于，平面，所以， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对B,易知平面， 动点在正方体内及其边界上，且， 所以动点所围成的图形是矩形，则面积为，故B正确； 对C，设边上的高为,则， 由正弦定理可得，所以，故， 以为点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 则， 又因为，整理得：， 所以空间动点的轨迹是以为球心，2为半径且位于正方体内的部分球体， 又因为，所以，故C错误； 对D,在棱上取，则． 因为异面直线与所成角为，则直线与所成角为， 故空间动点的轨迹是以为旋转轴， 为母线的共顶点的双圆锥，直线是圆锥的一条母线， 又动点在底面内，故动点的轨迹在平面与双圆锥的截痕（椭圆）上， 椭圆以为长轴，球是底面与圆锥封闭几何体的内切球， 球与底面的切点为椭圆靠近顶点的焦点． 如图，即， 即，则，所以椭圆的离心率，故D正确. 故选：ABD. 10. 【多选】如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在正三棱柱的表面运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为 B．若为的中点，则到平面的距离为 C．的周长的最小值为 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】BCD 【详解】正三棱柱的所有棱长均为4， 对于A，点到平面的距离即为正边上的高， 则，A错误； 对于B，在中，，由为的中点，得， 的面积为，由选项A得三棱锥的体积为， 设点到平面的距离为，则，解得，B正确； 对于C，将正三棱柱的侧面和侧面沿展开到一个平面内， 当且仅当三点共线时，取得最小值，， 又，因此的周长的最小值为，C正确； 对于D，取的中点，连接，由三棱柱是正三棱柱，得侧面， ，连接，由，得， 因此点在平面的轨迹是以为圆心，2为半径的半圆弧，点的轨迹的长度为， 点在平面的轨迹是半径为4的四分之一圆弧，长度为， 所以点的轨迹的长度为，D正确. 故选：BCD 11. 【多选】如图，正方体的棱长为3，点E、F，G分别在棱，，上，满足，，记平面与平面的交线为l，则（    ） A．，平面 B．平面截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是 C．时，三棱锥的外接球表面积为 D．时，直线l与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【详解】A：由题设及正方体结构特征，有且平面，平面，故平面，故A正确； B：当时，平面截正方体所得截面图形为五边形或六边形， 如图，所以充分性不成立，故B错误： C：以D为原点，以，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 当时，，，，，， 外接球的球心在过线段的中点，且垂直于平面的直线上， 的中点，可记球心，外接球的半径， 所以，解得，， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C正确； D：作出截面图形，交于，交于， 直线即为直线，，又平面的法向量为， 则与平面所成的角满足，故D正确. 故选：ACD 12. 【多选】在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（    ） A．存在点，使得面 B．存在点，使得面 C．当点不是的中点时，都有面 D．当点不是的中点时，都有面 【答案】ACD 【详解】当点与点重合时，由，而面，面，可知面，即A正确. 若面，注意到面，则， 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1， ， 所以，与矛盾，即B错误. 当不是的中点时，由，且面，面，可知面， 又直线为面与面的交线，则，又面，面，从而可得面，即C正确. 同上，有，又面，面，所以， 又面， 所以面，则面，即D正确. 故选：ACD. 13. 【多选】在正三棱台中，分别是线段上的点，是上、下底面的中心，是底面内一点，下列结论正确的是（    ） A． B．若平面，则点的轨迹长等于 C． D．当时，四点构成的图形为直角梯形 【答案】AC 【详解】A选项，显然⊥底面，取的中点，连接， 过点作，交于点，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 则， 所以， 故，A正确； B选项， 取的中点，连接，， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 故当在上时，满足平面， 故的轨迹长度为，其中， 由余弦定理得， 点的轨迹长不等于，B错误； C选项，，， ，， 又棱台的体积为 ， 所以，C正确； D选项，四边形为等腰梯形，当与重合，时， ，但此时与平行，故与不平行， 此时四点构成的图形不为直角梯形，D错误. 故选：AC 14. 【多选】在棱长为2的正方体中，是侧面上的一个动点（含边界），是的中点，则（    ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．存在点，使得平面 C．若，则点的轨迹长度为 D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 【答案】BC 【详解】 对于A，如图1，取的中点，连接， 因为，所以， 所以，则可得， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以，故A错误； 对于B，如图2，当为的中点时，易证得四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，如图3，取的中点，连接， 在正方体中，平面，且， 所以平面，因为平面，所以， 则， 则点在侧面内的运动轨迹是以为圆心，1为半径的半圆， 其轨迹长度为，故C正确； 对于D，如图4，当为的中点时，取的中点， 三棱锥的外接球即为三棱柱的外接球， 设与的外心分别为，则球心为的中点， 易求得，由余弦定理，， 所以， 由正弦定理，， 所以所求外接球的半径， 其表面积为，故D错误. 故选：BC. 15. 【多选】在正方体中分别是的中点.下列说法正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．若点在正方体表面上运动，且点到点的距离与到点的距离之比为，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【详解】对于A，设为的中点，连接， 则，而， 所以，故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面，故A正确； 对于B，取的中点，连接，则且， 故或其补角为异面直线所成的角， 而，故，故，故B正确； 对于C，设直线与直线交于，连接角于， 因为，故，同理，故， 故，而， ，故截面图形的周长为，故C错误； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则， 则，故的轨迹为球与正方体表面的截线（如图所示）， 每段弧的圆心角为，所在圆的半径为，故三段弧长和为， 故D正确. 故选：ABD. 16. 【多选】如图，在正方体中，为棱上的动点（不含端点），下列选项正确的是（    ）    A．当时，平面 B．平面与平面的交线垂直于 C．直线，与平面所成角相等 D．点在平面内的射影在正方体的内部 【答案】BC 【详解】    对于A，连接，，，， ，， 类似可说明， 故，，又，平面， 于是平面，而为中点时，平面与平面不重合， 故A错误； 对于B，延长，交于，连接交于，连接， 则为平面与平面的交线， 根据正方体性质易知为平行四边形，故//， 由中位线性质，//，于是， 而根据A选项，平面，由平面，， ，故B正确； 对于C，连接，则，由可知， 与平面所成角相等，于是直线，与平面所成角也相等， 故C正确；    对于D，易知三棱锥是正三棱锥， 除为等边三角形之外，其余都是等腰直角三角形， 取中点，连接，由， 得（三线合一），同理， 于是的平面角是， 若设长方体的边长为，则，， 可得，，又， 根据勾股定理可得，即是锐二面角. 于是是钝二面角，根据B选项可知//，于是共面， 点在平面内的射影在四边形之外， 即正方体的外部，故D错误． 故选：BC． 题型08：与翻折有关的动点轨迹问题 【典型例题1】如图所示，在矩形中，，，平面，且，点为线段（除端点外）上的动点，沿直线将翻折到，则下列说法中正确的是（    ） A．当点固定在线段的某位置时，点的运动轨迹为球面 B．存在点，使平面 C．点到平面的距离为 D．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 【分析】当点固定在线段的某位置时，线段的长度为定值，，过作于点，为定点，的长度为定值，由此可判断A；无论在（端点除外）的哪个位置，均不与垂直，即可判断B；以，，为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由点到平面的距离公式求解，即可判断C；设，，利用向量夹角公式求解，即可判断D. 【详解】 选项A：当点固定在线段的某位置时，线段的长度为定值，，过作于点，为定点，的长度为定值，且在过点与垂直的平面内，故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A错； 选项B：无论在（端点除外）的哪个位置，均不与垂直，故不与平面垂直，故B错； 选项C：以，，为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系，则，，，． ， 设平面的法向量为，取， 则点到平面的距离为，故C错； 选项D：设，，，，设与所成的角为，则，故D正确. 故选：D． 题型09：截面问题 【典型例题1】【多选】如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ABD 【解析】对于A，由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，，， ，， 若，则， 即，取，此时点与点重合，满足题意， 所以存在点，使得，B正确； 对于C，，若， ，即， 所以点的轨迹就是线段， 轨迹长为，C错误； 对于D，如图取中点，连接， 由题可得，平面， 连接，因为，平面， 则，，又，     平面，则平面， 又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面， 又由两平面平行性质可知，，，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为，则， 故截面面积为，D正确. 故选：ABD 【典型例题2】已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该正方体外接球的半径为R， 依题意，，解得，故，，故. 分别取棱，的中点F，G，连接，，，，根据正方体的性质可知：四边形为等腰梯形， 建立如图所示空间直角坐标系，，， ，所以，由于， 所以平面，即截面为等腰梯形.由题可知，， 所以等腰梯形的高为，故截面图形的面积为 故选：D 题型10：轨迹、截面、动点、范围与最值多选题综合 【典型例题1】【多选】已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 若直线与平面所成角为，则点的轨迹是椭圆 C. 存在点，使得 D. 正方体的外接球被平面所截得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 所以，，， 所以，，所以，， 即，，又，平面， 所以平面，故A正确； 设，则，又平面的法向量可以为， 依题意，所以， 所以直线与平面所成角为，则点的轨迹是圆，故B错误； 因为， ，所以当时满足，故C正确； 正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， 则外接球的半径，球心为的中点，设为，则， 由平面，所以平面的一个法向量为， 又， 所以点到平面的距离， 设平面被外接球所截的截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积，故D正确. 故选：ACD 【典型例题2】【多选】如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 平面平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 周长最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】AD 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 对于A，，，，， 则，，， 设平面法向量，则，令，则， 设平面法向量，则，令，则， 所以，即，则平面平面，故A正确； 对于B，，，，则， 所以与不垂直，则与平面不平行，所以当在运动时，到平面的距离不是定值， 底面的面积为定值，则三棱锥的体积不是定值，所以B不正确； 对于C，由图可知 ，，所以周长最小值必定大于，故C错误； 对于D，可知正方体的球心，球的半径 ，，当时，， 所以，设平面法向量为， 所以，令，则 所以球心到平面的距离，， 所以平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径， 则平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确. 故选：AD 巩固练习 1. 【多选】在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 二面角余弦值为 B. 棱台的体积为26 C. 若点在侧面内运动，则四棱锥体积的最小值为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】A选项，因为平面，平面， 所以， 又底面分别是边长为4和2的正方形， 故， 故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系， 则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，，故， 则， 又从图形可看出二面角为锐角， 故二面角余弦值为，A正确； B选项，棱台的体积为，B错误； C选项，若点在侧面内运动，， 设，则， 整理得， 故点轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求， 过点作⊥于点，与圆弧交于点， 此时点到平面的距离最短， 由勾股定理得， 因为，， ， 故点到平面的最短距离为， 因为与平行，且⊥平面， 又平面，所以⊥， 故四边形为直角梯形，故面积为， 则四棱锥体积的最小值为，C正确； D选项，由C选项可知，当点在侧面内运动时，轨迹为圆弧， 设其圆心角为，则，故， 所以圆弧的长度为， 当点在面内运动时，， 设，则， 整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求轨迹，其中，故， 则圆弧长度， 若点在面内运动时，， 设，则， 整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求，此时圆心角， 故圆弧长度为， 经检验，当点在其他面上运动时，均不合要求， 综上，点的轨迹长度为，D正确. 故选：ACD 题型11：翻折问题 【典型例题1】如图，在矩形中，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥是中点，是中点，在线段上，且平面． (1)求； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为是中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 所以； （2）因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 则， 则，所以， 如图，过点作于点， 则，， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 因为轴平面，则可取为平面的一条法向量， 故， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【典型例题2】如下左图所示，在平面四边形中，，，，现将平面沿向上翻折，使得，为的中点，如下右图. (1)求三棱锥的体积； (2)若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 如图所示，过点作，交于点，连接. 由题意，在直角中，， 所以在直角中，，， 又，即，解得， 在直角中，， 因为，，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，，，，满足， 所以，又 ，，平面， 所以平面， 则三棱锥的高为，且， 则三棱锥的体积. （2）取的中点为E，连接， 因为，所以为的中点，所以. 在等腰中，由为的中点，得，又，则， 由（1）可知平面，又平面，所以. 因此，以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意知，，，， 则，，， 设平面DAB的一个法向量为， 则，令，得， 设，则， 所以， 所以， 化简得，解得 (舍去)， 所以点Q是上靠近D的三等分点，所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 巩固练习 1.如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面平面. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 取中点，连接. ∵，∴，由折叠得. ∵平面，∴平面. ∵平面，∴. （2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. ∵， ∴. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为，则，取. 由题意得，平面的法向量为， ∴， 由图可得二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为. （3）连接. 设，则. ∵翻折后与重合，∴， 由（2）得，，， ∴，解得，即. 2.如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥，且. (1)求翻折后线段的长； (2)点满足，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由,,,,平面, 可得平面,又平面,则, 在中,根据勾股定理, （2）如图,过点作于点,由（1）可知,平面平面,交于, ∴平面,∵,又,,∴为直角三角形,∴ 如图,以为轴,为轴,过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系 则,,,有,, 设平面的法向量,则, 令,解得其中一个法向量； 于是,, 故与平面所成角的正弦值为. 3.如图1，菱形的边长为4，，E是的中点，将△沿着翻折，使点C到点P处，连接，得到如图2所示的四棱锥 (1)证明：； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 如图1，连接. ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形， ∵E是的中点，∴， 在图2中，， ∵，平面，平面，∴平面． ∵平面，∴． （2）在平面内，过E点作，则. 由（1）可知平面，∵平面，∴． ∵，∴两两垂直． 以E为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． ∴，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，∴． 设平面与平面的夹角为，则 ， ∴平面与平面的夹角的余弦值为 ． 4.在平行四边形中，，，.将沿翻折到的位置，使得.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，，， 在三角形中，由正弦定理可得，， ，又，故， 所以，即， 因为，，，所以，则有， ，平面，所以平面，. （2）由（1）平面，且平面， 所以平面平面.平面平面， 在平行四边形中，，即，故平面. 以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，    设，其中， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以，， 易知平面的一个法向量为， 则，整理可得， 因为，解得， 因此，线段PC上存在点，使二面角的余弦值为，且. 5.如图所示，在直角梯形中，分别是上的点，且，将四边形沿向上折起，连接，在折起的过程中，记二面角的平面角为. (1)请将几何体的体积表达为关于的函数，并求其最大值； (2)当时，求平面和平面夹角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)，，最大值为； (2). 【详解】（1）由题意，在折叠之前的平面图形中， ，，是平面内的两条相交直线，是平面内的两条相交直线， 折叠过程中始终有平面，平面， 故二面角，故到平面的距离为， 平面平面， 平面，故到平面的距离等于到平面的距离，即为. 连接，则， ，当时取得最大值. （2）以点为坐标原点，以所在直线为，轴，过点作平面的垂线，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图， 则， ， 设平面的法向量为，则，且， 即 可得. 同理设平面的法向量为， 则，且， 即 可得， 记平面和平面所成角的平面角为，则 ， 令， 故， 显然为关于的增函数，故. 6.如图，在高为6的直三棱柱中，底面的周长为分别为棱，上的动点. (1)若，证明：平面. (2)求的最小值. (3)若，求平面与底面夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为底面的周长为12，且，所以， 则，所以. 在直三棱柱中，底面， 又平面，则， 又，平面，所以平面. （2）将直三棱柱的侧面沿剪开展平成矩形，如图所示， 其中，所以， 所以的最小值为. （3）设的中点分别为，连接， 因为三棱柱是直三棱柱，则. 因为，底面的周长为， 所以，所以，则. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 又， 则，， 则. 设平面的一个法向量为，则， 即， 取，得. 易得底面的一个法向量为， 则， 当时，取得最小值， 则取得最大值，且最大值为， 所以平面与底面夹角的余弦值的最大值为. 7.在中，，如图将沿翻折至.    (1)证明：平面平面； (2)若二面角大小为. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）存在点，当或时满足题意 【详解】（1）因为，所以， 因为平面，所以平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）（i）在四棱锥中，由（1）知即二面角的平面角， 故，因为，所以， 从而， 过点作，交于点，又因为，可得平面，与平面所成角即为. 在中，由余弦定理可得：， 由等面积法，， 所以与平面所成角的正弦值为； （ii）如图，建立空间直角坐标系，    则， ， 设，可得， ， 设平面的法向量为，平面的法向量为， ，即， 令，可得， ，即， 令，可得， 设平面与平面的夹角为，， 解得或， 所以存在点，当或时满足题意. 8.如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）取线段的中点为，连接， 因为为线段的中点，所以，且； 又是的中点，所以，且； 所以 ，且，故四边形为平行四边形； 所以， 因为平面，平面， 所以 直线平面； （2）因为是的中点，所以，所以； 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则即， 取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角为. 9.在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)设， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，所以. 因为，，所以， 所以. 又因为，平面，， 所以平面. （ⅱ）. （2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系，设二面角的平面角为，则，，，. 所以.平面的法向量为. 设直线与平面所成角为，则. 设， 设， 所以，（当且仅当，即时取等号），即. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 10.如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点在线段PB上（不含端点）． (1)证明：； (2)若直线PC与AB所成角的余弦值为． （i）当直线PB与平面所成角为60°时，求PF； （ii）设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：取中点为，连接， 因为， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）（i）因为为等腰三角形，， 所以， 因为为等边三角形，所以， 设， 所以， ，， 所以， ，所以或， 又因为， 所以， 所以两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， ， 则， 设，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 所以， 解得或0（不符合题意，舍去）， 所以，即. （ii）设平面的法向量为， ， 则， 取，得， 所以 ， 令，则， 所以， 因为时，， 所以， 所以. 11.如图1，菱形的边长为4，，E是的中点，将△沿着翻折，使点C到点P处，连接，得到如图2所示的四棱锥 (1)证明：； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 如图1，连接. ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形， ∵E是的中点，∴， 在图2中，， ∵，平面，平面，∴平面． ∵平面，∴． （2）在平面内，过E点作，则. 由（1）可知平面，∵平面，∴． ∵，∴两两垂直． 以E为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． ∴，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，∴． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，∴． 设平面与平面的夹角为，则 ， ∴平面与平面的夹角的余弦值为 ． 12.如图，在矩形中，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥是中点，是中点，在线段上，且平面． (1)求； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为是中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 所以； （2）因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 则， 则，所以， 如图，过点作于点， 则，， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 因为轴平面，则可取为平面的一条法向量， 故， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 13.在中，，如图将沿翻折至.    (1)证明：平面平面； (2)若二面角大小为. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii）存在点，当或时满足题意 【详解】（1）因为，所以， 因为平面，所以平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）（i）在四棱锥中，由（1）知即二面角的平面角， 故，因为，所以， 从而， 过点作，交于点，又因为，可得平面，与平面所成角即为. 在中，由余弦定理可得：， 由等面积法，， 所以与平面所成角的正弦值为； （ii）如图，建立空间直角坐标系，    则， ， 设，可得， ， 设平面的法向量为，平面的法向量为， ，即， 令，可得， ，即， 令，可得， 设平面与平面的夹角为，， 解得或， 所以存在点，当或时满足题意. 14.如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）取线段的中点为，连接， 因为为线段的中点，所以，且； 又是的中点，所以，且； 所以 ，且，故四边形为平行四边形； 所以， 因为平面，平面， 所以 直线平面； （2）因为是的中点，所以，所以； 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则即， 取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角为. 能 力 提 升 压轴能力测评 1．设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以所在的平面建立平面直角坐标系，为x轴，垂直平分线为y轴， 则易知， 设 ，由，可得， 故M的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 转化到空间M的轨迹为以C为球心，为半径的球，同时M在球O上， 故M在两球的交线上，轨迹为圆. 又，，易求得，即为直角三角形， 则对应圆的半径为， M的轨迹长度即对应圆的周长为. 故选：B． 2.在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，若平面，则长度的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【解析】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则有，，设，，， ，，， 则，，令平面的法向量为， 则有，可令，则，即， 由平面，则有， 即，则 ， 故选：D 3．【多选】在长方体中，，，为棱上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 长方体表面积的最大值为6 B. 长方体外接球表面积的最小值为 C. 到平面的距离的最大值为 D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】AD 【解析】对于A，设，（），则该长方体表面积为 ， 所以当时，取得最大值6， 即长方体表面积的最大值为6，所以A正确， 对于B，设，（），设长方体外接球半径为， 则， 所以当时，上式取得最小值3，此时的最小值为， 所以长方体外接球表面积的最小值为，所以B错误， 对于C，设点到平面的距离为，即点到平面的距离为， 因为，所以， ， 所以， 设，（），则 所以， 因为，所以， 所以到平面的距离无最大值，所以C错误， 对于D，， 当且仅当，即时取等号， 所以三棱锥体积的最大值为，所以D正确， 故选：AD 4．（多选）在正方体中，动点满足，其中，，且，则（ ） A. 对于任意的，且，都有平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，存在点，使得平面 【答案】AB 【解析】对于A选项，设正方体的棱长为， 以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，     则， 设平面的法向量为， ，取，可得， ， 因为， 设平面ACP的法向量为, 则，取，可得， 因为，所以， 所以，对于任意的且，都有平面平面，故A对； 对于B选项，当时，点， 设平面的法向量为， ，， 则，取，可得，且， 所以，点P到平面的距离为， 又因为的面积为定值，故三棱的体积为定值，故B对； 对于C选项，当时，， 则， ， 所以，当时，不存在点，使得，故C错； 对于D选项，当时，， 假设存在点P，使得平面PCD，因为平面PCD，则， ，则，可得，与题设条件不符， 假设不成立，故当时，不存在点P，使得平面PCD，故D错误. 故选：AB． 5．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______． 【答案】 【解析】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形， 由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时， 该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设球心， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则球心到平面的距离为， 因为球与三个正方形面和等边三角形面相切， 所以，解得， 所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是. 故答案为： 6．【多选】在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，经过点的正方体截面面积的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对A，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 所以，， 则，，设平面的一个法向量为， 所以，令，则，即平面的一个法向量为， 若平面，则，即， 由，则，即P为中点时，有平面，且，A错误； 对B，因为平面，连接，则即为与平面所成角， 若与平面所成角为，则，所以， 即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，B正确； 对C，如图，将平面与平面沿展成平面图形， 线段即为的最小值，利用余弦定理可知，所以，故C正确； 对D，因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时对应截面面积为， 设的中点为H，由图形的变化得，当点P在DH和运动时，所得截面对称相同， 于是当时，的面积取最小值，此时对应截面面积为， 所以截面面积的取值范围为，故D正确. 故选：BCD 7．【多选】如图，是棱长为1正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个 D. 若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为 【答案】AC 【解析】 对A，如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 则，所以，即， 所以平面，故A正确； 对B，设与平面所成的角为， 则，故B错误； 对C，因为正方体的棱长为1，所以正的边长为， 正方体的对角线， 设到平面的距离为，由， 则，则， 则到平面的距离为， 因为， 所以在以为顶点的棱上，满足条件的点共有3个， 又与平面所成角的正弦值为， 所以到平面的距离为， 因为，所以在棱上都存在满足条件的点， 同理在都存在满足条件的点， 而棱到平面最近的距离为，所以不存在满足条件的点， 所以满足条件的点共有9个，故C正确； 对D，设，则，又， 所以，即， 则点在侧面内，以为圆心，为半径的一段圆弧上运动， 而当点和或重合时与所成角为，故D错误. 故选：AC. 8．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是 ． 【答案】 【解析】设直线与所成角为，设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，，，作于，翻折过程中，始终与垂直，，则，，因此可设，则，与平行的单位向量为， 所以＝，所以时，取最大值． 故答案为：． 9.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直， . 分别是 的中点，点 在直线 上，且 . （1）证明： ； （2）当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值. （3）是否存在点，使得平面与平面 所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2），2；（3）存在， 【解析】（1）证明: 如图，以 原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 则 ， ，即 ， ， 所以无论 取何值， （2） 是平面的一个法向量. 当 时， 取得最大值， 此时 . （3）假设存在，则，因为， 设 是平面的一个法向量. 则 ，解得 ，令 ，得， ， , 化简得，解得， 存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置在 10．如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. （1）求证：： （2）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）或. 【解析】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又面，于是， 而，，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 假定在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面法向量，则，令，得， 于是，整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 空间向量与立体几何的动点轨迹，边长缺失，截面专题 思 维 导 图 学 习 目 标 1理解空间中轨迹的概念：能结合立体几何背景，明确空间轨迹（如点的轨迹、线的轨迹等）的形成原理，区分平面轨迹与空间轨迹的差异。 2.掌握空间向量的应用方法：能熟练运用空间向量的坐标运算、数量积、模长等知识，将立体几何中与轨迹相关的条件转化为向量关系或代数方程。 3.学会分析轨迹类型：能根据已知条件（如距离关系、角度关系、平行垂直关系等），判断空间轨迹的形状（如球面、圆柱面、圆锥面、平面与曲面的交线等）。 4．提升综合解题能力：能综合运用空间向量、立体几何的判定与性质定理，解决与轨迹相关的计算（如轨迹方程、轨迹范围）和证明问题，形成“几何问题代数化”的解题思路。 知识点讲解 立体几何中的动点轨迹问题是高考数学的重要考点，这类问题融合了立体几何与解析几何的知识，对同学们的空间想象力、逻辑思维能力和运算求解能力都有较高要求。通过对动点轨迹问题的研究，我们能够更好地理解空间中几何元素的位置关系和运动规律，提升数学综合素养。 一．知识回顾 （一）立体几何基本定理 1. 线面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 2. 线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 。 3. 面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 4. 面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 二．圆锥曲线定义 1. 圆：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 2. 椭圆：平面内到两个定点F_1,F_2的距离之和等于常数（大于|F_1F_2|）的点的轨迹。 3. 双曲线：平面内到两个定点F_1,F_2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F_1F_2|且大于0 ）的点的轨迹。 4. 抛物线：平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹 。 三、题型分类及解法 （一）由动点保持平行求轨迹 1. 线面平行转化为面面平行得轨迹 通过在已知平面内找两条相交直线，分别与目标直线平行，从而确定包含目标直线的平行平面，进而得到动点轨迹。 2. 平行时可利用法向量垂直关系求轨迹（向量法） 建立空间直角坐标系，求出已知平面的法向量，根据线面平行时直线方向向量与法向量垂直列方程求解。 （二）动点保持垂直求轨迹 1. 利用线线、线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹 通过证明线面垂直，确定包含动点且与已知直线垂直的平面，其与指定平面的交线即为动点轨迹。 2. 利用空间坐标运算求轨迹 建系后根据向量垂直的坐标表示列方程，结合动点所在平面的范围确定轨迹。 3. 利用垂直关系转化为平行关系求轨迹 通过已知垂直关系构造辅助线，利用线面垂直、线线平行的关系确定动点轨迹。 （三）由动点保持等距（或者定距）求轨迹 1. 距离转化为在一个平面内的距离关系，借助圆锥曲线定义求解轨迹 根据距离关系列出等式，化简后根据圆锥曲线定义判断轨迹形状。 2. 利用空间坐标计算求轨迹 建系后根据距离公式列出方程，得到动点轨迹方程，确定轨迹形状。 （四）由动点保持等角（或定角）求轨迹 1. 直线与面成定角，可能是圆锥侧面 根据线面角的定义和三角函数关系，结合距离公式确定动点轨迹。 2. 直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面 通过作辅助线，利用线线角的定义和几何关系确定圆锥的母线，从而得到动点轨迹。 3. 利用空间坐标系计算求轨迹 （五）翻折有关的的轨迹问题 1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹 2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹 3.可以利用空间坐标运算求轨迹 题 型 归 纳 题型01：边长缺失问题 【典型例题1】如图，直三棱柱中，，，M，D分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【详解】（1）设的中点为，连接. 因为M，D分别为，的中点， 所以，且. 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面， 所以平面. （2）在直三棱柱中，， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 设，则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，取，得. 设平面的一个法向量为， 则，取，得. 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以. 解得，即. 【典型例题2】在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点． (1)证明：为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）如图，连接，在正四棱柱中， 由与平行且相等，得是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，是中点， 所以是的中点； （2）以为轴建立空间直角坐标系，如图， 设（），则，，，， ，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以的长为． 巩固练习 1．如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)若二面角的余弦值为，求的长. 2.如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，且，，，连接    (1)求证： (2)当与平面所成角的正弦值为时，求棱的长． 3．如图，在四棱锥中，点在平面内的射影为点，，，平分，. (1)若为棱的中点，求证：平面. (2)若二面角的平面角的正弦值为. （i）求的长； （ii）求点到平面的距离. 4．如图所示，在四棱锥中，，，．    (1)若平面，证明：平面； (2)若底面，，二面角的正弦值为，求的长． 5．如图所示，在几何体中，底面，，，，，．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 6．如图，五面体中，，，平面ABCD． (1)求证：； (2)若，，，求点E到直线AB的距离； (3)若，，，二面角的余弦值为，求DE的长． 题型02：动点轨迹形状 【典型例题1】.已知正方体，Q为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ） A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆 【答案】C 【解析】以点D为原点，，，为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则，设， 可得，， 因为直线与的所成角为， 则，化简可得， 所以点Q的轨迹为抛物线. 故选：C.    【典型例题2】如图，正四棱柱中，，点是面上的动点，若点到点的距离是点到直线的距离的2倍，则动点的轨迹是（ ）的一部分 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【解析】由题意知，以D为原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则，设， 所以， 因为到的距离是到的距离的2倍， 所以，即， 整理，得， 所以点P的轨迹为双曲线. 故选：C 巩固练习 1. 【多选】如图，在正方体中，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．当时，的值最小 B．当时， C．若平面上的动点满足，则点的轨迹是椭圆 D．直线与平面所成角的正弦值是 题型03：与平行相关的动点轨迹问题 轨迹长度 【典型例题1】如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为 ． 【分析】利用坐标法，根据线面平行和面面平行的判定及性质找出的轨迹，根据轨迹特点可求答案. 【详解】如图，分别取的中点，连接， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ; 所以, , ; 故，即，又平面，平面， 所以平面，同理可得平面，又平面， 所以平面平面； 因为P是侧面内一点（含边界），平面AEF， 所以点P必在线段MN上，即点P的轨迹为MN， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 【典型例题2】 【多选】已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，    则， 所以， 由平面，得，即， 化简可得：， 所以动点P在直线上， 对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误； 对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确； 对于选项C：，C选项正确； 对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确； 故选：BCD. 巩固练习 1.【多选】如图，已知正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，点在侧面内，则以下说法正确的有（    ） A．平面 B．过点作正方体的截面，所得截面的面积是 C．点到平面的距离为 D．若平面，则点的轨迹长度为 2.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点分别为的中点，点为内的一个动点（包括边界），若 平面，则点的轨迹的长度为 . 二：轨迹围成图形面积 3.在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点轨迹形成图形的面积为__________ 题型04：与垂直相关的动点轨迹问题 【典型例题1】在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为 【分析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】   在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以，，当时，；当时，； 取，，，， 连接，，，，则，， 所以四边形为矩形， 则，，即，， 又，且平面，平面， 所以平面， 又，，所以为中点，则平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为四边形， 因此点不可能是棱的中点，即A错； 又，，所以，则点的轨迹不是正方形； 且矩形的周长为，故C错，D正确； 因为点为中点，则点为矩形的对角线交点，所以点到点和点的距离相等，且最大，所以线段的最大值为，故B错. 故选：D. 【典型例题2】在棱长为5的正方体 中，是中点，点在正方体的内切球的球面上运动，且，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 球心，取的中点，的中点，连接， 则，， ， 故，， 又，平面， 故⊥平面， 故当位于平面与内切球的交线上时，满足， 此时到平面的距离为 ， ，其中为平面截正方体内切球所得截面圆的半径， 故点的轨迹为以为半径的圆， 故点的轨迹长度为. 故选：B 巩固练习 1.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，分别是底面与侧面的中心，为该正方体表面上的一个动点，且满足，记点的轨迹所在的平面为，则过四点的球面被平面截得的圆的周长是（    ） A． B． C． D． 2. 【多选】如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（    ） A．若，则点P的轨迹长为 B．在线段上存在点P，使得直线PM与直线为异面直线 C．若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等 D．过点P可以作4条直线与，AC均成角 3.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）． A． B． C． D．4a 4. 【多选】在三棱锥中，平面，点是三角形内的动点（含边界），，则下列结论正确的是（    ） A．与平面所成角的大小为 B．三棱锥的体积最大值是2 C．点的轨迹长度是 D．异面直线与所成角的余弦值范围是 5.在棱长为的正方体中，点分别为棱，的中点．已知动点在该正方体的表面上，且，则点轨迹形成图形的面积为__________ 题型05：距离（长度）有关的动点轨迹问题 【典型例题1】在正方体中，分别为棱的中点，动点平面，，则下列说法错误的是（    ） A．的外接球面积为 B．直线平面 C．正方体被平面截得的截面为正六边形 D．点的轨迹长度为 【分析】可证明正方体被平面截得的截面为正六边形，故可判断C的正误，利用面面平行的判定定理可判断B的正误，利用补体法可求的外接球的直径后可判断A的正误，利用向量的方法可求到平面的距离，从而可求点的轨迹长度，故可判断D的正误. 【详解】如图，设的中点分别为，连接. 由正方体的性质可得，而为三角形的中位线， 故，故，故四点共面， 同理，也四点共面，故五点共面， 同理也四点共面，故六点共面. 正方体被平面截得的截面为六边形， ， 因为平面平面，平面平面， 而平面平面，故， 而为三角形的中位线，故，故， 但与方向相反，故与互补，而为等边三角形， 故，故，    同理， 故正方体被平面截得的截面为正六边形，故C正确. 由，平面，平面，故平面， 同理故平面，而平面， 故平面平面，而平面，故平面，故B正确. 对于A，将三棱锥补成如图所示的长方体， 其中分别为、的中点， 则其外接球的直径即为的体对角线的长度即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确.    建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 故， 设平面的法向量为，则， 故，取，则， 故，而， 故到平面的距离为， 而，故点的轨迹为平面与球面的截面（圆）， 该圆的半径为，故圆的周长为，故D错误. 故选：D. 【典型例题2】【多选】如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（    ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点P，使得与所成的角为 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若，则P的轨迹的长度为 【答案】ACD 【分析】利用等体积转换即可求得体积为定值判断A；建立空间直角坐标系，设，得，，利用向量夹角公式求解判断B；求平面的法向量，利用向量夹角公式求解判断C；由，可得，即可求解判断D. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设，则 对于B，，使得与所成的角满足： ， 因为，故，故， 而，B错误； 对于C，平面的法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为：， 因为，故 故， 而，， 故即的取值范围为，C正确； 对于D，，由， 可得，化简可得， 在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为 ，D正确； 故选：ACD. 巩固练习 1.如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为 ． 2.如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC．则点M在正方形ABCD内的轨迹为（    ）    A．   B．   C．   D．   3.如图已知每条棱长都为3的直平行六面体中，，长为2的线段的一个端点在上运动，另一个端点在底面上运动，则中点的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为 ． 题型06：与角度有关的动点轨迹问题 【典型例题1】如图，在棱长为8的正方体中，是棱上的一个动点，给出下列三个结论：①若为上的动点，则的最小值为；②到平面的距离的最大值为；③为的中点，为空间中一点，且与平面所成的角为，与平面所成的角为，则在平面上射影的轨迹长度为，其中所有正确结论的序号是 ． 【分析】对于①：建系，设设，根据两点间距离公式分析求解；对于②：利用等体积法求点到面的距离；对于③：根据线面夹角分析可知：，建系，利用坐标系求点的轨迹方程. 【详解】对于①：以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，    可得， 设， 则，即， 可得， 当，即时，取到最小值，故①正确； 对于②：设到平面的距离的最大值为， 由可得，则， 由（1）可知的最小值为， 所以到平面的距离的最大值为，故②正确；    对于③：设在平面上射影为，连接， 可知：与平面所成的角为，与平面所成的角为， 则，可得， 在空间直角坐标系，则，    设，则， 整理得， 可知在平面上射影的轨迹为半径为的圆， 所以轨迹长度为，故③正确； 故答案为：①②③. 【典型例题2】.【多选】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为正方体表面上的动点，N为线段AC1上的动点，若直线AM与AB的夹角为，则下列说法正确的是(　　) A．点M的轨迹确定的图形是平面图形 B．点M的轨迹长度为＋2 C．C1M的最小值为－1 D．当点M在侧面BB1C1C上时，AN＋MN的最小值为1 答案　BCD 解析　如图，建立空间直角坐标系，则D(0,1,0)，C1(1,1,1)， ∵直线AM与AB的夹角为，当点M在侧面AA1D1D上时，AB⊥AM，不合题意； 当点M在底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D(不包含边界)上时，点M到直线AB的距离大于AB的长度，此时，AM与AB的夹角大于； 当点M在侧面AA1B1B和底面ABCD上时，可知线段AB1，AC满足题意； 当点M在侧面BCC1B1上时，由AB⊥BM，可知BM＝AB，此时弧B1C为所求． ∴M点的轨迹为线段AC，AB1，弧B1C， 显然线段AC，AB1，弧B1C不共面，∴A错误； 对于B，点M的轨迹长度为＋2，∴B正确； 对于C，若M在线段AC上，则C1M的最小值为1，同理，若M在线段AB1上，则C1M的最小值也为1，若M在弧B1C上，则C1M的最小值为C1B－1＝－1，∴C正确； 对于D，M(1，y，z)(0≤y≤1,0≤z≤1)，且y2＋z2＝1，由题意设N(λ，λ，λ)，λ∈[0,1]，则AN＋MN＝λ＋≥λ＋＝λ＋(1－λ)＝1， 当且仅当y＝z＝λ，且y2＋z2＝1，即y＝z＝λ＝时，等号成立，∴D正确． 巩固练习 1.四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点，且二面角的平面角大小为，则动点的轨迹的长度为 . 2.如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（    ） A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化 B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为 D．若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是 3.在三棱锥中，平面，，点在平面内，且满足平面平面垂直于． (1)当时，求点的轨迹长度； (2)当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB中点，DE⊥AB，DC＝8，DE＝6.沿着DE将△ADE折起，使A到达点A′的位置，且平面A′DE⊥平面ADE.设P为△A′DE内的动点，若∠EPB＝∠DPC，则点P的轨迹长度为______． 5.如图，在棱长为2的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，为平面上的动点，且直线与直线的夹角为，则点的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 题型07： 与截面相关动点轨迹问题 【典型例题1】【多选】如图：已知直三棱柱，，且，为线段BC中点，，分别为线段AB，上的动点，且满足，点为线段EF的中点，则下列说法正确的是（    ） A．若为AB的中点，则平面 B．若为的中点，则平面 C．点到平面ABC的距离为定值 D．点的轨迹长度为 【答案】ACD 【详解】由题意知，两两垂直， 以A为原点建立如图的空间直角坐标系， 则， 对于A，若为AB的中点，所以， 设平面的法向量为，且， 则，取，所以， 又在上的动点，设，， 因为，所以或（舍）， 即为的中点，所以，， 所以， 又平面，所以平面，故A对； 对于B，为的中点，所以， 又在AB上的动点，设， 又，所以或（舍）， 所以为AB的中点，所以， 又点为线段EF的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为， 因为， 则，取，所以， 所以，所以不成立，所以平面不成立，故B错； 因为，分别为线段AB，上的动点， 设，，所以， 且， 所以， 取平面ABC的法向量为， 所以点到平面ABC的距离为，故C对； 设，则， 因为，所以， 设的中点为O，则G的轨迹是以O为圆心，以为半径的圆周， 其轨迹长度为，故D对； 故选：ACD 【典型例题2】．【多选】如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，点M是其侧面上的动点（含边界），下列说法正确的是（    ） A．过点的平面截该正方体所得截面面积为 B．当平面时，点的轨迹长度为 C．当时，三棱锥的体积为 D．过作正方体外接球的截面，则截面面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，如图，连接，作， 因为分别是棱的中点，所以是的中位线， 由中位线定理得，由正方体性质得，， 得到四边形是平行四边形，则，故， 即四点共面，则该平面截该正方体所得截面是梯形， 由勾股定理得，，同理可得， 由题意得四边形是矩形，则，故， 由勾股定理得，且设梯形面积为， 由梯形面积公式得， 即过点的平面截该正方体所得截面面积为，故A正确， 对于B，如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 因为正方体的棱长为， 所以，，，，设 因为分别是棱的中点，所以，， 则，，， 设面的法向量为，则，得到， 而，得到， 令，解得，，故， 因为平面，所以， 得到，即， 化简得，则点的轨迹是直线，在面内， 由题意得，当时，， 当时，，得到轨迹是点和点构成的直线， 连接，由两点间距离公式得， 即此时点的轨迹长度为，故B正确， 对于C，如图，连接， 设，，则， 而，因为，所以， 得到，解得，故， 在正方体中，由勾股定理得， 则是等边三角形，得到， 故， 且，，，， 设面的法向量为，则， 得到，而，则， 令，解得，，故， 设点到面的距离为， 则由点到平面的距离公式得， 故，故C错误， 对于D，由正方体性质得外接球的球心就是正方体的中心， 如图，我们把球心记为，且连接， 由外接球性质得，外接球半径为， 由两点间距离公式得， 而截面一定是圆，且设圆的半径为，由勾股定理得， 得到截面面积为，即截面面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD 巩固练习 1. 【多选】如图，在正方体中，是对应棱的中点，则（    ） A．直线∥平面 B．直线平面 C．直线与的夹角为 D．平面与平面的交线平行于 2．【多选】正三棱柱的各棱长相等，且均为，在内及其边界上运动，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．三棱锥的体积的取值范围为 C．为中点，若平面，则动点的轨迹长度为 D．为中点，若，则动点到平面的最大距离为 3.【多选】如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P在线段上，Q在底面内，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的体积为定值 B．若平面，则点Q的轨迹长度为 C．存在平面 D．平面截以P为球心，PQ长为半径的球所得的截面面积的取值范围为 4.【多选】在正方体中，，，则（    ） A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为连接棱的中点和棱中点的线段 C．若，则三棱锥的体积为定值 D．若，则与平面所成角的余弦值的最大值为 5.【多选】已知正方体的棱长为2，动点P满足，（x，y，，，，），下列说法正确的是（   ） A．当，，时，的最小值为 B．当，，时，三棱锥的体积为3 C．当，，时，则P到平面的距离的取值范围是 D．当，且时，则P的轨迹总长度为 6. 【多选】在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小 C．平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形 D．若为棱的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为 7. 【多选】直三棱柱中，侧面为正方形，，E、F分别为AC、的中点，D为棱上的动点.设，，且，则（   ） A．过点，E，D的平面截该三棱柱所得的截面为梯形 B．无论点D如何运动，都有 C．当时，点B到平面DFE的距离为 D．已知H是平面DEF上的一动点，若，则点H的轨迹为抛物线 8.如图，在长方体中，，．为线段上一动点，记．以点为坐标原点，分别以，，为轴正方向，轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系. (1)写出点的坐标（用表示）； (2)当平面时，求的值； (3)过点、、作截面，求点到该截面距离的最大值. 9. 【多选】如图，棱长为3的正方体，动点在正方体内及其边界上运动，点在棱上，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，且，则三棱锥体积为定值 B．若，则动点所围成的图形的面积为 C．若，则的最小值为3 D．若动点在正方形内（包含边界），异面直线与所成角为．则的轨迹所在圆锥曲线的离心率为 10. 【多选】如图，正三棱柱的所有棱长均为4，点在棱上运动，点在正三棱柱的表面运动，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为 B．若为的中点，则到平面的距离为 C．的周长的最小值为 D．若，则点的轨迹的长度为 11. 【多选】如图，正方体的棱长为3，点E、F，G分别在棱，，上，满足，，记平面与平面的交线为l，则（    ） A．，平面 B．平面截正方体所得截面图形为六边形的充分不必要条件是 C．时，三棱锥的外接球表面积为 D．时，直线l与平面所成角的正弦值为 12. 【多选】在正方体中，点为线段上的动点，直线为平面与平面的交线，则（    ） A．存在点，使得面 B．存在点，使得面 C．当点不是的中点时，都有面 D．当点不是的中点时，都有面 13. 【多选】在正三棱台中，分别是线段上的点，是上、下底面的中心，是底面内一点，下列结论正确的是（    ） A． B．若平面，则点的轨迹长等于 C． D．当时，四点构成的图形为直角梯形 14. 【多选】在棱长为2的正方体中，是侧面上的一个动点（含边界），是的中点，则（    ） A．当为的中点时，异面直线与所成的角为 B．存在点，使得平面 C．若，则点的轨迹长度为 D．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为 15. 【多选】在正方体中分别是的中点.下列说法正确的是（    ） A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D．若点在正方体表面上运动，且点到点的距离与到点的距离之比为，则点的轨迹长度为 16. 【多选】如图，在正方体中，为棱上的动点（不含端点），下列选项正确的是（    ）    A．当时，平面 B．平面与平面的交线垂直于 C．直线，与平面所成角相等 D．点在平面内的射影在正方体的内部 题型08：与翻折有关的动点轨迹问题 【典型例题1】如图所示，在矩形中，，，平面，且，点为线段（除端点外）上的动点，沿直线将翻折到，则下列说法中正确的是（    ） A．当点固定在线段的某位置时，点的运动轨迹为球面 B．存在点，使平面 C．点到平面的距离为 D．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是 【分析】当点固定在线段的某位置时，线段的长度为定值，，过作于点，为定点，的长度为定值，由此可判断A；无论在（端点除外）的哪个位置，均不与垂直，即可判断B；以，，为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，由点到平面的距离公式求解，即可判断C；设，，利用向量夹角公式求解，即可判断D. 【详解】 选项A：当点固定在线段的某位置时，线段的长度为定值，，过作于点，为定点，的长度为定值，且在过点与垂直的平面内，故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，故A错； 选项B：无论在（端点除外）的哪个位置，均不与垂直，故不与平面垂直，故B错； 选项C：以，，为x，y，z的正方向建立空间直角坐标系，则，，，． ， 设平面的法向量为，取， 则点到平面的距离为，故C错； 选项D：设，，，，设与所成的角为，则，故D正确. 故选：D． 题型09：截面问题 【典型例题1】【多选】如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点，使得 C．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ABD 【解析】对于A，由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，，， ，， 若，则， 即，取，此时点与点重合，满足题意， 所以存在点，使得，B正确； 对于C，，若， ，即， 所以点的轨迹就是线段， 轨迹长为，C错误； 对于D，如图取中点，连接， 由题可得，平面， 连接，因为，平面， 则，，又，     平面，则平面， 又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面， 又由两平面平行性质可知，，，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为，则， 故截面面积为，D正确. 故选：ABD 【典型例题2】已知正方体的外接球表面积为，点E为棱的中点，且平面，点平面，则平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设该正方体外接球的半径为R， 依题意，，解得，故，，故. 分别取棱，的中点F，G，连接，，，，根据正方体的性质可知：四边形为等腰梯形， 建立如图所示空间直角坐标系，，， ，所以，由于， 所以平面，即截面为等腰梯形.由题可知，， 所以等腰梯形的高为，故截面图形的面积为 故选：D 题型10：轨迹、截面、动点、范围与最值多选题综合 【典型例题1】【多选】已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 若直线与平面所成角为，则点的轨迹是椭圆 C. 存在点，使得 D. 正方体的外接球被平面所截得的截面面积为 【答案】ACD 【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 所以，，， 所以，，所以，， 即，，又，平面， 所以平面，故A正确； 设，则，又平面的法向量可以为， 依题意，所以， 所以直线与平面所成角为，则点的轨迹是圆，故B错误； 因为， ，所以当时满足，故C正确； 正方体的外接球的直径为正方体的体对角线， 则外接球的半径，球心为的中点，设为，则， 由平面，所以平面的一个法向量为， 又， 所以点到平面的距离， 设平面被外接球所截的截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积，故D正确. 故选：ACD 【典型例题2】【多选】如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ） A. 平面平面 B. 任意，三棱锥的体积是定值 C. 周长最小值为 D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】AD 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 对于A，，，，， 则，，， 设平面法向量，则，令，则， 设平面法向量，则，令，则， 所以，即，则平面平面，故A正确； 对于B，，，，则， 所以与不垂直，则与平面不平行，所以当在运动时，到平面的距离不是定值， 底面的面积为定值，则三棱锥的体积不是定值，所以B不正确； 对于C，由图可知 ，，所以周长最小值必定大于，故C错误； 对于D，可知正方体的球心，球的半径 ，，当时，， 所以，设平面法向量为， 所以，令，则 所以球心到平面的距离，， 所以平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径， 则平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确. 故选：AD 巩固练习 1. 【多选】在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 二面角余弦值为 B. 棱台的体积为26 C. 若点在侧面内运动，则四棱锥体积的最小值为 D. 点的轨迹长度为 题型11：翻折问题 【典型例题1】如图，在矩形中，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥是中点，是中点，在线段上，且平面． (1)求； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为是中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 所以； （2）因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 则， 则，所以， 如图，过点作于点， 则，， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 因为轴平面，则可取为平面的一条法向量， 故， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【典型例题2】如下左图所示，在平面四边形中，，，，现将平面沿向上翻折，使得，为的中点，如下右图. (1)求三棱锥的体积； (2)若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 如图所示，过点作，交于点，连接. 由题意，在直角中，， 所以在直角中，，， 又，即，解得， 在直角中，， 因为，，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，，，，满足， 所以，又 ，，平面， 所以平面， 则三棱锥的高为，且， 则三棱锥的体积. （2）取的中点为E，连接， 因为，所以为的中点，所以. 在等腰中，由为的中点，得，又，则， 由（1）可知平面，又平面，所以. 因此，以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意知，，，， 则，，， 设平面DAB的一个法向量为， 则，令，得， 设，则， 所以， 所以， 化简得，解得 (舍去)， 所以点Q是上靠近D的三等分点，所以. 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为. 巩固练习 1.如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面平面. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长. 2.如图1，在矩形中，，，将沿矩形的对角线进行翻折，得到如图2所示的三棱锥，且. (1)求翻折后线段的长； (2)点满足，求与平面所成角的正弦值. 3.如图1，菱形的边长为4，，E是的中点，将△沿着翻折，使点C到点P处，连接，得到如图2所示的四棱锥 (1)证明：； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 4.在平行四边形中，，，.将沿翻折到的位置，使得.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. 5.如图所示，在直角梯形中，分别是上的点，且，将四边形沿向上折起，连接，在折起的过程中，记二面角的平面角为. (1)请将几何体的体积表达为关于的函数，并求其最大值； (2)当时，求平面和平面夹角的余弦值的取值范围. 6.如图，在高为6的直三棱柱中，底面的周长为分别为棱，上的动点. (1)若，证明：平面. (2)求的最小值. (3)若，求平面与底面夹角的余弦值的最大值. 7.在中，，如图将沿翻折至.    (1)证明：平面平面； (2)若二面角大小为. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 8.如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小. 9.在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点. (1)设， （ⅰ）证明：平面； （ⅱ）求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 10.如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点在线段PB上（不含端点）． (1)证明：； (2)若直线PC与AB所成角的余弦值为． （i）当直线PB与平面所成角为60°时，求PF； （ii）设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 11.如图1，菱形的边长为4，，E是的中点，将△沿着翻折，使点C到点P处，连接，得到如图2所示的四棱锥 (1)证明：； (2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 12.如图，在矩形中，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥是中点，是中点，在线段上，且平面． (1)求； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 13.在中，，如图将沿翻折至.    (1)证明：平面平面； (2)若二面角大小为. （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 14.如图，在菱形中，，是的中点，将沿直线翻折使点到达点的位置，为线段的中点. (1)求证：平面； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小. 能 力 提 升 压轴能力测评 1．设A、B是半径为的球体O表面上的两定点，且，球体O表面上动点M满足，则点M的轨迹长度为（ ） A． B． C． D． 2.在棱长为2的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，若平面，则长度的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D． 3．【多选】在长方体中，，，为棱上任意一点，则下列结论正确的是（ ） A. 长方体表面积的最大值为6 B. 长方体外接球表面积的最小值为 C. 到平面的距离的最大值为 D. 三棱锥体积的最大值为 4．（多选）在正方体中，动点满足，其中，，且，则（ ） A. 对于任意的，且，都有平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，存在点，使得平面 5．如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______． 6．【多选】在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ） A. 当平面时，不可能垂直 B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，经过点的正方体截面面积的取值范围为 7．【多选】如图，是棱长为1正方体的表面上一个动点，为棱的中点，为侧面的中心.下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 与平面所成角的余弦值为 C. 若点在各棱上，且到平面的距离为，则满足条件的点有9个 D. 若点在侧面内运动，且满足，则存在点，使得与所成角为 8．如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是 ． 9.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直， . 分别是 的中点，点 在直线 上，且 . （1）证明： ； （2）当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值. （3）是否存在点，使得平面与平面 所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 10．如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. （1）求证：： （2）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$