专题4.2 认识一次函数（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题4.2 认识一次函数 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一次函数和正比例函数的概念: 1 知识点梳理02：根据条件确定一次函数的关系式 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：正比例函数的定义 2 考点2：识别一次函数 4 考点3：根据一次函数的定义求参数 7 考点4：求一次函数自变量或函数值 9 考点5：列一次函数解析式并求值 10 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 23 知识点梳理01：一次函数和正比例函数的概念: 1. 一次函数：若两个变量、的对应关系可以表示成的形式，则称是的一次函数； 结构特征：①；②的次数是1;③自变量的取值范围是全体实数，常数项可以是任意实数. 2正比例函数：一次函数,当=0时称是的正比例函数； 结构特征:①;②的次数是1;③自变量的取值范围是全体实数,无常数项. 【要点提示】一次函数与正比例函数的关系： 区别：正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数 联系：当=0时，()，一次函数是正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 知识点梳理02：根据条件确定一次函数的关系式 列一次函数表达式的方法： (1) 分析题目； (2) 找出等量关系； (3) 列出一次函数的关系式； (4) 注意自变量的取值范围，对于实际问题，的取值要使实际问题有意义. 考点1：正比例函数的定义 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断即可． 【规范解答】 是关于的正比例函数， 且， 解得， 故选C． 【变式训练1】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知关于x的函数． (1)当k满足什么条件时，它是正比例函数？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而增大？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上的定义以及正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）根据正比例函数定义得出且，即可解答； （2）由y随x的增大而增大利用一次函数的性质可得出，解之即可得出结论； （3）根据一次函数的图象经过第一、二、四象限利用一次函数图象与系数的关系，即可分别得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 【规范解答】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， ∴； （2）∵y随x的增大而增大， ∴， ∴； （3）∵的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得：． 【变式训练2】（22-23八年级下·河南郑州·期中）在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 【答案】(1) (2)安排方案有4种，见解析 【思路引导】（1）先表示出装运生活用品的车辆数为，再结合表格中的数据解答即可； （2）先根据题意得出关于x的不等式组，求出解集后结合x为整数即可得到答案． 【规范解答】（1）解：根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为， 则有， 整理得，， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，，x， 由题意，得， 解这个不等式组，得， 因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8． 所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆． 【考点剖析】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数关系式和不等式组是解题的关键． 考点2：识别一次函数 【典例精讲】（23-24八年级上·广西百色·期末）某运输公司托运行李费的标准如下：当行李质量不超过20千克时就免费托运；当超过20千克，每超过1千克，则要交托运费元．若王先生托运行李的质量为x（千克），所付的托运费为y元，则： (1)写出托运费y与行李质量x之间的函数表达式，并判断此表达式属于何种函数； (2)若王先生行李质量为50千克，则他应交多少元托运费？ (3)如果王先生交了10元托运费，那么他的行李有多重？ 【答案】(1)；函数是一次函数 (2)他应交15元托运费 (3)他的行李有40千克 【思路引导】本题考查了一次函数的应用．理解清题意，得到一次函数的解析式是解决本题的关键．用到的知识点为：一次函数的一般形式为：均为常数． （1）王先生托运行李的质量超过20千克，托运费出超过20千克的费用，每千克0.5元，然后根据函数的形式判断属于何种函数； （2）把代入（1）中得到的函数解析式求解即可； （3）把代入（1）中得到的函数解析式求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得； 这函数是一次函数． （2）当时，． 答：他应交15元托运费． （3）当时，． 解得：． 答：他的行李有40千克． 【变式训练1】（2023·湖南永州·中考真题）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量y（单位：毫升） 7 12 17 22 27 … (1)探究：根据上表中的数据，请判断和（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系?并求出y关于t的表达式； (2)应用： ①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升? ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 【答案】(1)能正确反映总水量y与时间t的函数关系； (2)①102毫升；②144天 【思路引导】（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式； （2）①将代入函数，即可解答； ②由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答． 【规范解答】（1）解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系， 把，代入， 可得， 解得， y关于t的表达式； （2）①当时，， 故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升， 答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升． ②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升， 30天分钟分钟， 可供一人饮水天数天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键． 【变式训练2】（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 【答案】． 【思路引导】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，根据与成反比例，与成正比例，得出函数关系式，进而求出即可，根据已知假设出函数解析式是解题的关键． 【规范解答】解：∵与成反比例， ∴设， ∵与成正比例， ∴设， ∵， ∴， 把和分别代入上式， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为. 考点3：根据一次函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【规范解答】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【思路引导】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【规范解答】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 【变式训练2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位长度，得到点N，点N在直线上，则m的值为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】D 【思路引导】本题考查了点的平移规律，一次函数的性质． 根据点的平移规律，向上平移4个单位后得到点N的坐标，再代入直线方程求解m的值即可． 【规范解答】解：点向上平移4个单位长度，横坐标不变，纵坐标加4，得到点N的坐标为，即， ∵点N在直线上， ∴， 解得：， 故选：D． 考点4：求一次函数自变量或函数值 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了求一次函数函数值，一次函数的增减性，掌握系数与增减性的关系是解题关键． 根据解析式可得该函数y随x的增大而减小，则当时取得最大值，求出此时y的值即可得到答案． 【规范解答】解：∵一次函数解析式为，， ∴该函数y随x的增大而减小， ∴当时，时取得最大值， 此时， 故选：D． 【变式训练1】（24-25八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的“短距”．如果点和点的短距相等，那么称两点为“等距点”．例如点与点为“等距点”．已知点的坐标为，如果点在第三象限，且在直线上，且两点为“等距点”，那么点的坐标是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了新定义，求一次函数的函数值和自变量的值，点到坐标轴的距离，根据定义可得点A的“短距”为1，则点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1，据此求出点B的坐标，再验证其“短距”是否为1即可． 【规范解答】解：∵点的坐标为， ∴点A到x轴的距离为4，到y轴的距离为1， ∵， ∴点A的“短距”为1， ∵两点为“等距点”， ∴点B到x轴的距离为1或点B到y轴的距离为1， ∵点B在第三象限， ∴点B的横纵坐标都为负， 在中，当时，，此时， ∵， ∴此时点B的“短距”为1，符合题意； 当时，，此时， ∵， ∴此时点B的“短距”为0，不符合题意； ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【思路引导】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【规范解答】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 考点5：列一次函数解析式并求值 【典例精讲】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）某医疗器械生产厂家的甲、乙两车间要完成一批生产口罩的任务．如图折线和折线分别表示甲、乙生产的数量y（万件）与时间x（天）之间的函数关系的图象．根据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)乙车间每天生产 　 　万件，点C的坐标为 　 　． (2)求线段对应的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围． (3)当乙车间完成任务时，甲车间还需完成多少万件． 【答案】(1)10， (2), (3)4万件 【思路引导】（1）根据函数图象中的数据可以求得乙车间每天产量和点C的坐标； （2）设函数表达式为，将，代入可以求得线段AB对应的函数表达式； （3）将代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用15减去此时的y值即可求得结果． 【规范解答】（1）由图可得， 乙车间每天产量是：万件/天， 点C的横坐标为：， ∴点C的坐标为， 故答案为：； （2）设函数表达式为 将，代入 解得： 所以线段AB对应的函数表达式为 由线段的端点A、B的横坐标可知自变量的取值范围为： （3）当时， ∴万件 答：甲车间还需完成4万件． 【考点剖析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【变式训练1】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）人体标准体重随着人的身高的变化而变化，下表是标准体重与身高之间的函数关系： 身高 160 165 170 175 180 185 标准体重 56 59.5 63 66.5 70 73.5 (1)与之间的函数是_________函数；（填“正比例”“一次”或“其他”） (2)求与之间的函数表达式； (3)若马骥同学的身高为，求他的标准体重． 【答案】(1)一次 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了 一次函数的应用． （1）根据体重与身高之间的函数关系可知，身高每增加，体重增加可知与之间的函数是一次函数． （2）用待定系数法求一次函数解析式即可． （3）把代入（2）式中一次函数解析式求出值即可． 【规范解答】（1）解：根据体重与身高之间的函数关系可知，身高每增加，体重增加， 则与之间的函数是一次函数． （2）解：设与之间的函数表达式为，把代入， 得 解得 所以与之间的函数表达式为． （3）解：当时，． 答：马骥同学的标准体重为． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【思路引导】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 1．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．取求得的值，即可求解． 【规范解答】解：当时，， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式，可以令，求出函数值，进而得到点B的坐标即可． 【规范解答】解：∵， ∴当时，， ∴点B的坐标可以为； 故答案为：（答案不唯一） 3．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 4．（2023·青海西宁·中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点．    (1)求点和点的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)坐标是， 【思路引导】（1）令得出点的坐标是，把代入，即可求解； （2）画出经过的直线，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，   ∴令 解得 ∴点的坐标是     ∵点在一次函数的图象上 把代入， 得，   ∴， ∴点的坐标是； （2）解：如图所示，    （3）解：如图所示，当时，; ∵，， ∴， 当时，    ∴符合条件的点坐标是，. 【考点剖析】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2022·宁夏·中考真题）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　） A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对 【答案】B 【思路引导】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得，即可得到答案． 【规范解答】由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，设为常数， 由电流与是反比例关系，设 为常数， ， （为常数， 与的函数关系是正比例函数， 故选：B． 【考点剖析】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念． 基础夯实 1．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）若函数是正比例函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，因此常数项必须为零，即可求解． 【规范解答】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得， 故选：D． 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一次函数，代入选项中点的坐标，满足左右两边相等的即可得出结论． 【规范解答】解：A、当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； B．当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； C．当时，，故一次函数的图象经过这个点；此选项符合题意； D．当时，，故一次函数的图象不经过这个点；此选项不符合题意； 故选C． 3．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）下列函数中是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据一次函数的定义，（，为常数，），当时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答．本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】解：A、是正比例函数，故该选项不符合题意； B、不是一次函数，故该选项不符合题意； C、不是一次函数，故该选项不符合题意； D、是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意； 故选：D 4．（20-21八年级下·河北保定·期末）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用，解此题的关键是把点的坐标代入函数解析式看看两边是否相等．把点的坐标代入进行判断即可． 【规范解答】解：A、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合； B、把代入函数得，即点在正比例函数的图象上，故本选项符合； C、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合； D、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合． 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，是一款上下细中间粗的水杯，水杯中装有一定量的水，然后往水杯中放入大小相同的骰子．随着放入骰子数量的增加，水杯中的水面会升高，这样的升高 （填“是”或“不是”）“均匀”变化的． 【答案】不是 【思路引导】本题考查了变化过程的理解，理解茶杯的形状和水面高度的变化规律是解题的关键．根据茶杯的形状可以推断水面高度上升的速度，据此即可求解． 【规范解答】解：茶杯上下细中间粗， 往水杯中放入大小相同的骰子．随着放入骰子数量的增加，水杯中的水面会升高，从茶杯下部到中部，水面高度上升速度逐渐减慢；从茶杯中部到上部，水面高度上升速度逐渐加快， ∴这样的升高不是 “均匀”变化的． 故答案为：不是． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）若点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【规范解答】解：点在直线上， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x后，输出y值为13，则输入的x为 ． 【答案】或5 【思路引导】本题主要考查了求一次函数的自变量，根据运算程序示意图分两种情况求解即可． 【规范解答】解：当时， 此时运算公式为：．则可得方程， 根据绝对值的定义可得出． ∵， ∴符合条件，舍去． 当时， 此时运算公式为：．则可得方程． 解得，，符合这个条件． 故输入的x为：或5， 故答案为：或5 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 【答案】(1)不是的一次函数，也不是的正比例函数 (2)，是的一次函数，也是的正比例函数 (3)，是的一次函数，但不是的正比例函数 【思路引导】此题考查了一次函数和正比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式是关键． （1）根据正方形的面积是边长 x（）的平方列出函数解析式，再判断即可； （2）根据应缴电费y（元）是收费标准是0.53元/（）与用电量x（）的乘积，列出函数解析式，再判断即可； （3）根据汽车到A站的距离y（）是原来的距离加上汽车行驶距离列出函数解析式，再判断即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可得， 不是的一次函数，也不是的正比例函数； （2）解：根据题意可得， ，是的一次函数，也是的正比例函数； （3）解：根据题意可得， ，是的一次函数，但不是的正比例函数 9．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． （1）利用正比例函数的定义，设，然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式； （2）利用（1）中关系式求出自变量为时对应的函数值即可； （3）先求出函数值是和5时的自变量x的值，x的取值范围也就求出了． 【规范解答】（1）解：设， 把，代入得， 解得：， ∴， 即； （2）解：当时，； （3）解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ∴x的取值范围是． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的取值范围为 【思路引导】本题主要考查正比例函数，掌握待定系数法求解析式，正比例函数图象的性质是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设，把时，代入计算即可； （2）根据正比例函数图象的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：∵与成正比例关系， ∴设， 当时，， ∴， 解得，， ∴，整理得，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）可得，与之间的函数解析式为， ∴， ∴随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴当时，的取值范围为． 培优拔高 11．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数的性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键,将点、代入函数解析式，联立方程消去，得到与的关系式，然后即可求解. 【规范解答】解：∵点在函数上， 代入得：, ∴， ∵点在函数上， 代入得：， ∴， ∴ ， 化简得 ，即 ， 故选：A. 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，由条件可得，根据一次函数图象的性质，若点在图象上，则，将选项中的点代入函数，验证是否满足即可确定答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， A、点，代入函数得，与条件完全一致，故必经过该点，符合题意； B、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，（满足），此时，故不必然经过该点，不符合题意； C、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，，此时，故不必然经过该点，不符合题意； D、点代入得，显然矛盾，故不可能经过该点， 故选：A． 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线经过第一、二、三象限，若点，，都在直线上，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特点，设一次函数的解析式为，根据直线经过第一、二、三象限，得到，再根据一次函数的性质即可得出结论，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：设直线的解析式为， ∵直线经过第一、二、三象限， ∴， 由于点在直线上， ∴，即， ∴一次函数解析式为：， 当时，， ∵， ∴，故选项B不符合题意； 当时，， ∵， ∴，故选项C不符合题意； ∴，即，故选项A不符合题意； 当时，， 即， ∵， ∴， ∴，故选项D符合题意； 故选：D． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）对于函数，当 时，它是关于的正比例函数；当 时，它是关于的一次函数． 【答案】 【思路引导】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．若两个变量和间的关系式可以表示成（，均为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）；一般地，两个变量和间的关系式可以表示成（为常数，且）的形式，则称是的正比例函数，据此即可解答． 【规范解答】当是关于的正比例函数时，得，， 解得； 当是关于的一次函数时，得， 解得； 故答案为：， 15．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）已知点A是直线上一点，其横坐标为，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称的性质，解题的关键是点坐标． 把代入，求出点坐标，再利用轴对称的性质求出点坐标即可． 【规范解答】解：点是直线上一点，其横坐标为， 把代入得，， ， 点与点关于轴对称， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数上点的坐标，分为点B在x轴上和点B在y轴上两种情况，画图证明，，求出点M的坐标，代入直线解析式即可解题． 【规范解答】解：令点B旋转后的对应点为 当点B在x轴上时， 令点B坐标为， 则 由旋转可知， ，， 所以点M坐标可表示为 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为， 当点B在y轴上时，过点M作x轴的垂线，垂足为N， 令点B坐标为， 由旋转可知， ， 所以， 所以 在和中， ， 所以 ， 所以， 因为点A坐标为，点B坐标为， 所以，， 所以， 则点M坐标为， 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为 综上所述：点B的坐标为或， 故答案为：或． 17．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知一个正数的平方根和，的立方根为， (1)求的算术平方根； (2)点是否在一次函数的图像上？请说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【思路引导】本题考查了平方根和立方根的概念，一次函数图像上点的特征．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． （1）根据一个数的平方根互为相反数，有，可求出值，由的立方根是，可求出值，继而代入求出答案， （2）把代入中，求出，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：一个正数的平方根互为相反数，有， 解得：， 又的立方根是，即 解得：， ，算术平方根为：， 即的算术平方根为． （2）由（1）知 ，，点 的坐标为 ， 当时， ， ∴点不在一次函数的图像上． 18．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知一次函数． (1)若函数值随的增大而增大，求的取值范围； (2)若一次函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而增大，求解即可； （2）依据题意，函数图象经过点，从而，进而计算可以得解． 【规范解答】（1）解：由题意，函数值随的增大而增大， ， 解得：． （2）解：由题意，函数图象经过点， ． ． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【问题背景】我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物物体的质量（如图①）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克），则是的一次函数． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． /厘米 0 1 2 4 7 11 12 /千克 0.5 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 探索发现（1）在上表的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的？ （2）求出与之间的函数关系式； 【结论应用】当秤钩所挂物重是5.5千克时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少？ 【答案】探索发现：（1），这组数据错误；（2）；结论应用：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是5.5千克 【思路引导】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键． [探索发现]：（1）画出函数图象，根据图象判断即可得解； （2）利用待定系数法求解即可； [结论应用]：当时，，求出的值即可得解． 【规范解答】解：[探索发现]：（1）作出图象如图， 由图可知：，这组数据错误． （2）设， 把，和，代入可得：， 解得， 即． [结论应用]：当时，， 解得 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是5.5千克． 20．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式． (2)现有另一个一次函数，若点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【思路引导】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质： （1）把点，代入，即可求解； （2）把点代入可得，，从而得到，再整理即可求解 【规范解答】（1）解：把点，代入得： ，解得：，     ∴的表达式为； （2）解：把点代入得： ，即， ∴， ∵点和点分别在一次函数和的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 认识一次函数 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共40题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：一次函数和正比例函数的概念: 1 知识点梳理02：根据条件确定一次函数的关系式 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：正比例函数的定义 2 考点2：识别一次函数 3 考点3：根据一次函数的定义求参数 4 考点4：求一次函数自变量或函数值 5 考点5：列一次函数解析式并求值 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：一次函数和正比例函数的概念: 1. 一次函数：若两个变量、的对应关系可以表示成的形式，则称是的一次函数； 结构特征：①；②的次数是1;③自变量的取值范围是全体实数，常数项可以是任意实数. 2正比例函数：一次函数,当=0时称是的正比例函数； 结构特征:①;②的次数是1;③自变量的取值范围是全体实数,无常数项. 【要点提示】一次函数与正比例函数的关系： 区别：正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数 联系：当=0时，()，一次函数是正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 知识点梳理02：根据条件确定一次函数的关系式 列一次函数表达式的方法： (1) 分析题目； (2) 找出等量关系； (3) 列出一次函数的关系式； (4) 注意自变量的取值范围，对于实际问题，的取值要使实际问题有意义. 考点1：正比例函数的定义 【典例精讲】（24-25八年级上·贵州毕节·期中）若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）已知关于x的函数． (1)当k满足什么条件时，它是正比例函数？ (2)当k满足什么条件时，y随x的增大而增大？ (3)当k满足什么条件时，它的图象经过第一、二、四象限？ 【变式训练2】（22-23八年级下·河南郑州·期中）在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 考点2：识别一次函数 【典例精讲】（23-24八年级上·广西百色·期末）某运输公司托运行李费的标准如下：当行李质量不超过20千克时就免费托运；当超过20千克，每超过1千克，则要交托运费元．若王先生托运行李的质量为x（千克），所付的托运费为y元，则： (1)写出托运费y与行李质量x之间的函数表达式，并判断此表达式属于何种函数； (2)若王先生行李质量为50千克，则他应交多少元托运费？ (3)如果王先生交了10元托运费，那么他的行李有多重？ 【变式训练1】（2023·湖南永州·中考真题）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量y（单位：毫升） 7 12 17 22 27 … (1)探究：根据上表中的数据，请判断和（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系?并求出y关于t的表达式； (2)应用： ①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升? ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 【变式训练2】（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知，与成反比例，与成正比例，且当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 考点3：根据一次函数的定义求参数 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式训练1】（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北唐山·期末）在平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位长度，得到点N，点N在直线上，则m的值为（    ） A．7 B． C．1 D．5 考点4：求一次函数自变量或函数值 【典例精讲】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一次函数，当，的最大值为（   ） A． B． C．1 D．3 【变式训练1】（24-25八年级下·上海普陀·期末）在平面直角坐标系中，对于任意一点，给出如下定义：点到轴、轴的距离中的较小值叫做点的“短距”．如果点和点的短距相等，那么称两点为“等距点”．例如点与点为“等距点”．已知点的坐标为，如果点在第三象限，且在直线上，且两点为“等距点”，那么点的坐标是 ． 【变式训练2】（24-25八年级下·福建福州·期中）已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 考点5：列一次函数解析式并求值 【典例精讲】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）某医疗器械生产厂家的甲、乙两车间要完成一批生产口罩的任务．如图折线和折线分别表示甲、乙生产的数量y（万件）与时间x（天）之间的函数关系的图象．根据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)乙车间每天生产 　 　万件，点C的坐标为 　 　． (2)求线段对应的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围． (3)当乙车间完成任务时，甲车间还需完成多少万件． 【变式训练1】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）人体标准体重随着人的身高的变化而变化，下表是标准体重与身高之间的函数关系： 身高 160 165 170 175 180 185 标准体重 56 59.5 63 66.5 70 73.5 (1)与之间的函数是_________函数；（填“正比例”“一次”或“其他”） (2)求与之间的函数表达式； (3)若马骥同学的身高为，求他的标准体重． 【变式训练2】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 1．（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可） 2．（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可） 3．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 4．（2023·青海西宁·中考真题）一次函数的图象与轴交于点，且经过点．    (1)求点和点的坐标； (2)直接在上图的平面直角坐标系中画出一次函数的图象； (3)点在轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标． 5．（2022·宁夏·中考真题）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　） A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对 基础夯实 1．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）若函数是正比例函数，则m的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 2．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）下列函数中是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（20-21八年级下·河北保定·期末）函数的图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，是一款上下细中间粗的水杯，水杯中装有一定量的水，然后往水杯中放入大小相同的骰子．随着放入骰子数量的增加，水杯中的水面会升高，这样的升高 （填“是”或“不是”）“均匀”变化的． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）若点在直线上，则代数式的值是 ． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x后，输出y值为13，则输入的x为 ． 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长x（）之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)汽车从离A站的B地出发，以的速度沿射线方向匀速行驶，汽车到A站的距离y（）与匀速行驶的时间x（h）之间的关系． 9．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的取值范围． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 培优拔高 11．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知点，都在函数的图象上，下列对于，的关系判断正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，过点的直线经过第一、二、三象限，若点，，都在直线上，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）对于函数，当 时，它是关于的正比例函数；当 时，它是关于的一次函数． 15．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）已知点A是直线上一点，其横坐标为，若点B与点A关于y轴对称，则点B的坐标为 ． 16．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是 ． 17．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知一个正数的平方根和，的立方根为， (1)求的算术平方根； (2)点是否在一次函数的图像上？请说明理由． 18．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知一次函数． (1)若函数值随的增大而增大，求的取值范围； (2)若一次函数的图象经过点，求的值． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）【问题背景】我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物物体的质量（如图①）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克），则是的一次函数． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． /厘米 0 1 2 4 7 11 12 /千克 0.5 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 探索发现（1）在上表的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的？ （2）求出与之间的函数关系式； 【结论应用】当秤钩所挂物重是5.5千克时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少？ 20．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式． (2)现有另一个一次函数，若点和点分别在一次函数和的图象上，求证：． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$