第3章 图形的相似 单元测试2025-2026学年湘教版数学九年级上册

湘教版九年级上册 第3章 图形的相似 单元测试 一、选择题 1.若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝15，b＝5，c＝9，则线段d的长为（　　） A.2 B.3 C.6 D.27 2.已知两个相似三角形周长分别为8和6，则它们的面积比为（　　） A.4：3 B.16：9 C. D. 3.若线段a、b、c、d是成比例线段，且a＝2 cm，b＝6 cm，c＝5 cm，则d＝（　　） A.15 cm B.12 cm C.10 cm D.3 cm 4.已知，则的值等于（　　） A. B. C. D. 5.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（　　） A. B. C. D. 6.已知线段AB上有两点C、D且AC：CB＝1：5，CD：AB＝1：3，则AC：CD等于（　　） A.1：2 B.1：3 C.2：3 D.1：1 7.如果，那么x：y等于（　　） A.3 B. C.9 D.6 8.下列选项中的两个图形一定相似的是（　　） A.两个平行四边形 B.两个圆 C.两个菱形 D.两个等腰三角形 9.古希腊以来，人们以满足黄金分割比的事物为美．长发及腰，佳人倾城一笑亦是一种美．现有一名13岁的少女，从今年算起，未来x（0≤x≤4）年其身高近似满足函数y＝2x+160（单位：厘米）．若某一年该少女头发末端到脚底的长度与其身高之比恰好呈黄金分割比，已知该少女的头发长度为64厘米，则下列说法正确的是（　　）（注：黄金分割比为0.618） A.对于函数y＝2x+160而言，y为自变量，x为因变量，160为常量 B.该少女此时身高约为160厘米（四舍五入取整） C.该少女年龄为17岁（四舍五入取整） D.若某一年该少女身高为170厘米，则该少女年龄为18岁 10.为制作风筝，小明做了如图所示的风筝支架示意图，已知点B、点C分别在射线AD与AE上，且BC∥DE，AB：AD＝3：7，AE＝28 cm，则CE的长是（　　） A.8.4 cm B.11.2 cm C.12 cm D.16 cm 11.如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为2 cm/s．点Q由点D出发沿DA方向向点A匀速移动，速度为1 cm/s．如果动点P，Q同时从A，D两点出发，连接PQ，PC，设运动时间为t s（0＜t＜6）．若以点Q，A，P为顶点的三角形与△BPC相似，则t等于（　　） A.3或5 B.或 C.或9﹣3 D.或3 12.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　　） A.1 B.1 C.1 D.1 二、填空题 13.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.6 m，测得AB＝1.2 m，BC＝10.8 m，则建筑物CD的高是　　． 14.东方明珠塔高468米，上球体点A是塔身的黄金分割点（如图所示）．则点A到塔底部的距离约是　      　米（精确到0.1米）． 15.如果两个相似三角形对应角平分线的比为1：3，那么它们的面积比为       ． 16.一多层等腰三角形货架的截面图如图所示，AB＝100 cm，BC＝160 cm，每相邻两层之间的高度为10 cm，且每层货架中间部分被设计出截面为正方形的小长方体隔间． （1）第一层货架与第二层之间的隔板 MN的长度为　　cm； （2）若第n层仍能设计出长方体隔间，则n的最大值为　　． 17.将2020个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3…A2020和点M，M1，M2…M2019是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3…AM2019分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2…A2019M2018于点N1，N2，N3…N2019，四边形M1N1A1A2的面积是S1，四边形M2N2A2A3的面积是S2，…，则S2019为　　． 三、解答题 18.已知2x：3＝（x+1）：4，求x的值． 19.如图，AB表示路灯，CD表示小明所在的位置，小明发现在CD的位置上，他的影子长是自己身高的2倍，他量得自己的身高为1.6米，此时他离路灯的距离为6.8米，你能帮他算出路灯的高度吗？ 20.图中的图形是一些镜框，其内外两个图形有什么特点？ 21.如图，AD是△ABC的外角平分线，且，求证：C是BD的黄金分割点． 22.探索发现 如图（1），F是正方形ABCD边AB上的点，△DEF是等腰直角三角形，∠DEF＝90°，连接BD交EF于点G，连接CE． （1）求证：△DEG∽△DAF； （2）若FG＝EG，求的值； 迁移拓展 如图（2），F，H是菱形ABCD边AB，CD上的点，连接BD，FH交于点G，∠BAD＝120°，∠DFH＝30°，若F为AB的中点，直接写出的值． 湘教版九年级上册 第3章 图形的相似 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.若a、b、c、d是成比例线段，其中a＝15，b＝5，c＝9，则线段d的长为（　　） A.2 B.3 C.6 D.27 【答案】B 【解析】已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得：ad＝cb， 代入a＝15，b＝5，c＝9， 解得：． 故选：B． 2.已知两个相似三角形周长分别为8和6，则它们的面积比为（　　） A.4：3 B.16：9 C. D. 【答案】B 【解析】∵两个相似三角形周长分别为8和6， ∴它们的面积比＝（）2． 故选：B． 3.若线段a、b、c、d是成比例线段，且a＝2 cm，b＝6 cm，c＝5 cm，则d＝（　　） A.15 cm B.12 cm C.10 cm D.3 cm 【答案】A 【解析】∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴a：b＝c：d， ∵a＝2 cm，b＝6 cm，c＝5 cm， ∴2：6＝5：d， ∴d＝15（cm）． 故选：A． 4.已知，则的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵， ∴， ∴． 故选：D． 5.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．∵EF∥AB，∴，故本选项正确， B．∵DE∥BC， ∴， ∵EF∥AB， ∴DE＝BF， ∴， ∴， 故本选项正确， C．∵EF∥AB， ∴， ∵CF≠DE， ∴， 故本选项错误， D．∵EF∥AB， ∴， ∴， 故本选项正确， 故选：C． 6.已知线段AB上有两点C、D且AC：CB＝1：5，CD：AB＝1：3，则AC：CD等于（　　） A.1：2 B.1：3 C.2：3 D.1：1 【答案】A 【解析】∵AC：CB＝1：5，AC+CB＝AB， ∴AC：AB＝1：6， ∴ACAB， ∵CD：AB＝1：3， ∴CDAB， ∴AC：CDAB：AB． 故选：A． 7.如果，那么x：y等于（　　） A.3 B. C.9 D.6 【答案】B 【解析】由，可得：9x＝3y， 因为9x＝3y，使x和9做比例的外项，y和3做比例的内项， 所以x：y＝3：9． 故选：B． 8.下列选项中的两个图形一定相似的是（　　） A.两个平行四边形 B.两个圆 C.两个菱形 D.两个等腰三角形 【答案】B 【解析】A．任意两个平行四边形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意； B．任意两个圆一定相似，本选项符合题意； C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意； D．任意两个三角形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意； 故选：B． 9.古希腊以来，人们以满足黄金分割比的事物为美．长发及腰，佳人倾城一笑亦是一种美．现有一名13岁的少女，从今年算起，未来x（0≤x≤4）年其身高近似满足函数y＝2x+160（单位：厘米）．若某一年该少女头发末端到脚底的长度与其身高之比恰好呈黄金分割比，已知该少女的头发长度为64厘米，则下列说法正确的是（　　）（注：黄金分割比为0.618） A.对于函数y＝2x+160而言，y为自变量，x为因变量，160为常量 B.该少女此时身高约为160厘米（四舍五入取整） C.该少女年龄为17岁（四舍五入取整） D.若某一年该少女身高为170厘米，则该少女年龄为18岁 【答案】C 【解析】A．对于函数y＝2x+160而言，x为自变量，y为因变量，故该选项错误，不符合题意； B．设该少女头发末端到脚底的长度为m厘米， ∵该少女的头发长度为64厘米， ∴其身高为（m+64）厘米， 又∵该少女头发末端到脚底的长度与其身高之比恰好呈黄金分割比， ∴，解得m＝103.5， 其身高为103.5+64＝167.5≈168厘米， ∴该少女此时身高约为168厘米（四舍五入取整），故该选项错误，不符合题意； C．由B知，该少女此时身高约为168厘米， ∵其身高近似满足函数y＝2x+160， ∴解得x＝4， 又∵13+4＝17，故该选项正确，符合题意； D．若该少女身高为170厘米，则2x+160＝170， 解得x＝5， ∵0≤x≤4，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 10.为制作风筝，小明做了如图所示的风筝支架示意图，已知点B、点C分别在射线AD与AE上，且BC∥DE，AB：AD＝3：7，AE＝28 cm，则CE的长是（　　） A.8.4 cm B.11.2 cm C.12 cm D.16 cm 【答案】D 【解析】∵BC∥DE， ∴， ∵AB：AD＝3：7，AE＝28 cm， ∴AC：AE＝AC：28＝3：7， 解得AC＝12， ∴CE＝AE﹣AC＝28﹣12＝16（cm）． 故选：D． 11.如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为2 cm/s．点Q由点D出发沿DA方向向点A匀速移动，速度为1 cm/s．如果动点P，Q同时从A，D两点出发，连接PQ，PC，设运动时间为t s（0＜t＜6）．若以点Q，A，P为顶点的三角形与△BPC相似，则t等于（　　） A.3或5 B.或 C.或9﹣3 D.或3 【答案】C 【解析】分两种情况： ①当△AQP∽△BPC时，， 即， ∴t或t＝6（舍去）， ∴t． ②当△APQ∽△BPC时，， 即， ∴t2﹣18t+36＝0， ∴t＝9﹣3或t＝9+3， 经检验，t＝9±3是分式方程的解，t＝9+3不符合题意，舍去， ∴当t＝或9﹣3时，以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似． 故选：C． 12.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（　　） A.1 B.1 C.1 D.1 【答案】C 【解析】设HG＝x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1， 由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1， ∴四边形ADHE是矩形， ∵AD＝DH， ∴四边形ADHE是正方形， ∴AD＝HE＝1， ∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似， ∴， ∴， 解得：x1或x1， 经检验：x1或x1都是原方程的根， ∵GH＞0， ∴GH1， ∴DC＝2+x1， 故选：C． 二、填空题 13.如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.6 m，测得AB＝1.2 m，BC＝10.8 m，则建筑物CD的高是　　． 【答案】16 m 【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE＝1.6 m，AB＝1.2 m，BC＝10.8 m， ∴AC＝AB+BC＝12（m）， ∴， 解得，DC＝16， 即建筑物CD的高是16 m， 故答案为：16 m． 14.东方明珠塔高468米，上球体点A是塔身的黄金分割点（如图所示）．则点A到塔底部的距离约是　      　米（精确到0.1米）． 【答案】289.2 【解析】根据题意得：点A到塔底部的距离0.618×468≈289.2米． 故答案为：289.2． 15.如果两个相似三角形对应角平分线的比为1：3，那么它们的面积比为       ． 【答案】1:9 【解析】∵两个相似三角形对应角平分线的比为1：3， ∴它们的相似比为1：3， ∴它们的面积比为1：9． 故答案为：1：9． 16.一多层等腰三角形货架的截面图如图所示，AB＝100 cm，BC＝160 cm，每相邻两层之间的高度为10 cm，且每层货架中间部分被设计出截面为正方形的小长方体隔间． （1）第一层货架与第二层之间的隔板 MN的长度为　　cm； （2）若第n层仍能设计出长方体隔间，则n的最大值为　　． 【答案】（1） （2）5 【解析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，则AE⊥MN， ∵AB＝AC，BC＝160 cm， ∴BD＝CD＝80 cm， 在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AD60 cm， ∵每相邻两层之间的高度为10 cm， ∴AE＝50 cm， ∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴， 即， 解得 MN， 即第一层货架与第二层之间的隔板MN的长度为 cm； （2）由（1）知AD＝60 cm，每相邻两层之间的高度为10 cm， ∴n的最大值为5． 17.将2020个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点A，A1，A2，A3…A2020和点M，M1，M2…M2019是正方形的顶点，连接AM1，AM2，AM3…AM2019分别交正方形的边A1M，A2M1，A3M2…A2019M2018于点N1，N2，N3…N2019，四边形M1N1A1A2的面积是S1，四边形M2N2A2A3的面积是S2，…，则S2019为　　． 【答案】 【解析】如图：将（n+1）个边长为1的正方形按如图所示的方式排列， 由题意可得出：△M1MN1∽△M1EA， 则， 故MN1， 故四边形M1N1A1A2的面积为S1＝111； 同理可得出：， 故四边形M2N2A2A3的面积是S2＝111， 则四边形MnNnAnAn+1的面积是Sn＝1． 当n+1＝2020时，n＝2019， 所以S2019． 故答案为：． 三、解答题 18.已知2x：3＝（x+1）：4，求x的值． 【答案】解：2x：3＝（x+1）：4， 3（x+1）＝2x×4， 3x+3＝8x， 5x＝3， x． 【解析】 19.如图，AB表示路灯，CD表示小明所在的位置，小明发现在CD的位置上，他的影子长是自己身高的2倍，他量得自己的身高为1.6米，此时他离路灯的距离为6.8米，你能帮他算出路灯的高度吗？ 【答案】解：∵CD⊥BE，AB⊥BE， ∴∠CDE＝∠ABE＝90°． 又∠E＝∠E， ∴△EDC∽△EBA． ∴． ∵CD＝1.6，DE＝1.6×2＝3.2，BD＝6.8， BE＝DE+BD＝3.2+6.8＝10， ∴． 解得：AB＝5． 所以路灯高度为5米． 【解析】 20.图中的图形是一些镜框，其内外两个图形有什么特点？ 【答案】解：①②③④中内外两个图形的大小显然不同，但是题目形状是相同的或者说是相似的． 【解析】 21.如图，AD是△ABC的外角平分线，且，求证：C是BD的黄金分割点． 【答案】证明：过C作CE∥AD，交AB于点E， ∵CE∥AD， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵AD平分外角， ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4， ∴AE＝AC， ∵CE∥AD， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴BDCD， ∴CDBD， 即C是BD的黄金分割点． 【解析】 22.探索发现 如图（1），F是正方形ABCD边AB上的点，△DEF是等腰直角三角形，∠DEF＝90°，连接BD交EF于点G，连接CE． （1）求证：△DEG∽△DAF； （2）若FG＝EG，求的值； 迁移拓展 如图（2），F，H是菱形ABCD边AB，CD上的点，连接BD，FH交于点G，∠BAD＝120°，∠DFH＝30°，若F为AB的中点，直接写出的值． 【答案】探索发现：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线， ∴DA＝AB＝BC＝CD，∠A＝90°，∠ADB＝CDB＝45°， ∴∠ADF+∠BDF＝45°， ∵△DEF为等腰直角三角形，∠DEF＝90°， ∴∠EDF＝45°，ED＝EF， ∴∠EDG+∠BDF＝45°， ∴∠EDG＝∠ADF， 又∵∠DEF＝∠A＝90°， ∴△DEG∽△DAF； （2）解：设EG＝a，则FG＝EG＝a， ∴ED＝EF＝2a， 在Rt△DEF中，由勾股定理得：DF， ∵△DEG∽△DAF， ∴ED：DA＝EG：AF， 即2a：DA＝a：AF， ∴DA＝2AF， 即AB＝2AF， ∴点F为AB的中点， 即AF＝BF， 在Rt△ABCD中，BC＝CD，由勾股定理得：BDCD， ∴， ∵， ∴， 又∵∠BDF+∠BDE＝∠EDF＝45°，∠CDE+∠BDE＝∠CBD＝45°， ∴∠BDF＝∠CDE， ∴△BDF∽△CDE， ∴， ∴； 迁移拓展：解：设DF的中点为P，过点P作PE⊥DF交EH于E，连接DE，CE，连接AC交BD于O，设BF的中点为N，过点N作NM⊥BF交BD于M，连接MF，如下图所示： 则ED＝EF，MB＝MF， ∠DFH＝∠EDF＝30°， ∴∠DEF＝120°，∠EDG+∠BDF＝30°， ∵四边形ABCD为菱形，且∠BAD＝120°， ∴DA＝AB＝BC＝CD，∠ADC＝∠ABC＝60°，AC与BD互相垂直平分， ∴∠ADB＝∠ABD＝∠CDB＝30°， ∴∠ADF+∠BDF＝30°， ∴∠EDG＝∠ADF， 又∵∠DEF＝∠BAD＝120°， ∴△DEF∽△BAD， ∴DE：AD＝EG：AF， ∵点F为AB的中点， ∴AD＝2AF， ∴DE：2AF＝EG：AF， ∴DE＝2EG， ∴EF＝2EG， 即点G为EF的中点， ∴EG＝FG， 设MN＝x， 在Rt△BMN中，∠ABD＝30°， ∴BM＝2x，BNx， 则MF＝BM＝2x，NF＝BN， ∴BF＝NF+BN， ∴AB＝AD＝2BF＝4x， 在Rt△AOD中，AD＝4x，∠ADB＝30°， ∴OA＝2x，OD6x， ∴DB＝2OD＝12x， ∴DM＝DB﹣BM＝12x﹣2x＝10x， ∵∠CDB＝∠EDF＝30°， ∴∠CDE+∠EDB＝∠EDB+∠BDF， ∴∠CDE＝∠BDF， ∵∠DEF＝120°， ∴∠DEH＝60°， ∵∠ABD＝30°，MB＝MF， ∴∠MFB＝∠ABD＝30°， ∴∠DMF＝∠MFB+∠ABD＝60°， ∴∠DEH＝∠DMF＝60°， ∴△DEH∽△DMF， ∴DE：DM＝EH：FM， 即DE：10x＝EH：2x， ∴DE＝5EH， ∴EF＝5EH， ∴EG＝FGEF＝2.5EH， ∴GH＝EG+EH＝3.5EH， ∴． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$