11.5 因式分解-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版2024）

14由图意，得一4r+7x一1=M以2+r-1, 放两个已知正整数之和与这博个正整数之植的平 所程M-[22-42+7r-1-(x-1)]+2: 方和一定是偶数， (2一2+6x1年24m2+1 且底偶数2(w2十w》的一半，理(w+w)是正婴 甲多明式M为3-2r+3 敷M,青约平方和. [(+n号×aH[(}××网 【斯暖】：r十y=10,.x+y=100 且由探究，（上+y)F+(1一y)-2(2+y2) -行wk+wH)÷(位w】 .(r-y)=2(2+y)=x+yF=2×58 100m16. -2+H .(1)2++6-4+16+36-56=4×14 签：一共活要（学A+2H]个这样的杯子， ,2+十6的结果是4的1信， (2)这三个连埃偶数分别为2w一2,2m,2w+2(其 拓展在线 中w是整数)，则(2t一2)P+{2wF+(2w+2)F= 16,出题喜，有再种精况 1w=8w+1+4w+w+5w+1一12w+8 ①隐式是-4r一名 4(3w+2), ,三个连候两数的平方和是4的情戴 此时藏席式是y一3y+6·（一立） (3)三个连摆育数的平方和不是2的倍数，它被 12除，余数是11.里山如下： -2ry+ry-1ry 这三个连装奇数分别为2e一1,2x+1,2m+1(其 这道习题2+)+(2w 中程是整数)，则2n-1+2m+1+2m+3) =4w-4n+1+4m+4n+1+4m2+12w十B 9底式是-3广，÷一1y)三r: 12+12n十11=12十n)十11， 此时被除式是4ry一1ry十8联)·r=4ry 三个连候青数韵平方和不是2的份数，淀12 r'y+fr. 除，余数是1L 这道月题为4ry+r-3y)÷, l.5因式分解 蜂上斯派，这通习题为（一2y+士y 蒂1深时提会葡式法和公式法 基科在设 r月+(w成4ry+r-r)÷x 1.B2.x(r十3)3C4.D 模专题4整式的化简与术恒 5.(1)原式-y2[2x一y. L.(1》原式-u一3+3wtw一2：4 (2)原式--5hr2a一k十m =a-十4十3. 61-+}2u- 2原式--0-7b+h-亨o 1,C&D 8式=一8r+4y一y-4y十x D,(1)原式=4GN十2m)(5m一2w) =一-y, (2)算式-（一广。(3像式=(+3） 21原式=#十1 当a=一8.6=-1时， 1ae+号(+号e- 期式=（一8）十11×(-1》=75 履力在线 42)原式-1-3+). 11,多12，BH.移14，D 等口十-子代人，司 5.(1)期式-1.(2原式0， 16四为十3)一(w一1-(u十3+w一13(w十3 期减=1-3×号=- w十1)=8(g十1)： 所以当零为任意正整数时，（十）一用一1 1.【0纤】5×20-10-3+1 酸8整路 【探究】m十用十（标一骨）■用十2W十划十 拓展在线 -2m十t24m'+n), 17,(1)设二次三项式干十一争的为个因式为 20 一探究在线+八年 (十17：谢+一=（上一1）十11： 之(1)复式=日加p十网(3ap一y 即2+5x-=x+(一1)上一4. 2)原式=m+6一2) 1原式=x一艺， 〔4)原式=3m+1(w+3) ®的值为( G)复式=r十y)一y (2政关于1的多项式之P+3x一去的月一个因 1)原武=-y3一y)', 式是+，侧2+3一=(2山+5)(+， 2)g式=3m(2红一y十(2r一y-m》 n2+3表=22+《2+3》z+ 4.1)原式=a+2)(x+1. (4)原式=【一81（十11 (3)期式=(y一3)(y-4) 六关于r的多项式2.十3一的另一个因式 (4)复式=十0)(— 是(-1).=5. 五同想1： 《3)设关千r的多明式2一中x一x+6的另 问题2： 个因式为(22+Mz+N) 1)第式=rx一y)+x一y1(T-y)A+) 满22千57-x+B-(r+2)2+M+N): (2)g式-(4r+ry+y》-2(r十y1+1 用2x+2一r+6=22+《M44)24 (2x+-2(2x十y)+1-(2r+3一1 (2M+Vr+2N. 问题3：△ABC是等题三角形.用由虹下： M+=B, /M=1, 21M+N--1,N=-3, b=2N. -a)十(a一a)m0, 即◆的氧为一6 (ha)h+)=0, 第上课时推合视会司法和金式法 ,6,c是△AC的三边，十4不可能最0 基础在线 ·6一一0，即-0，△ABC是等题三角形 I.A 2.C 6.原式=(1990+2009)×(1999一203)+(2001 3.411,4g十2)4H-2)(2>e(x-y1 十2G02)×(2001-1002)+…中(2023+20210 44原式-(-吉月 ×(20的一2024)+《2025+200)×41G25 2026)=-4199+2000)-(2001+20021- 2式=ry(r+yy 20的+2024=(2025+2020)-=(1995+ 3原式=（一y)'(+y 2000+2601+…+203+2024+2025+ 能力在裁 2026)=-56350. G.A f,D 7.1)1B 7,1原式=《r-2y'(r+2y) 2)锡数为2w,比2m大5的数为2u+5, 《2原式(r-y》(3x+h)(3u-251. ,(2n+5于-2x)=42m+5-2x)(2n+B+2m) 31原式2y%x+11一1) =i(4n十3). 8.-ry+4ry2-4y=-y(-4y+4y 4m十5为整数， -y(x-2y. “(4u+5)能被5整除， ”w=-3y-号 六比2如大三的数与2u的平克差能蒙8整伦， 原式=《)+《z-2y)-8)× 1)余数为5.理由如下： ()=-1 设这个数为，比m大5的数为十5： m十F一(u'=《n+5w)(n+5+=i2w 拓展在线 十5)=10u+25 9.B (10m+2若)=10(m+2)+5 做专慧5因式分解及其应用 10m十写酸0整除的余数是5 1,11原式“auw一2， 印比任立一个整数大行的数与此整数的平方泰酿 2)原式=56—y〔r十y 10整除的余数是5， 殷学（上）·HD一11.5 ©第1课时 提 基础在线 。知识要点分类练 知识点1因式分解的概念 1.(驻马店阶段练习)下列从左到右的变形中，属 于因式分解的是 () A.x2-9+x=(x+3)(x-3)+x B.x2-3x=x(x-3) C.(x-2)(x+2)=x2-4 D.(x+3)2=(x-3)2+12x 知识点2提公因式法分解因式 2.(中考·镇江)分解因式：x2十3x= 3.(商丘阶段练习)把多项式5ab-10ab分解因 式时，应提取的公因式是 () A.5a'b B.-5ab C.5ab D.-5ab 4.把多项式(m+1)(m-1)十(m-1)提取公因式 (m-1)后得(m-1)( ),括号中内容是() A.m+1 B.2m C.m-1 D.m+2 5.把下列多项式分解因式： (1)6x2y2-3x2y2; (2)-10a2bc+15bc2-20abc. 知识点3公式法分解因式 6.把下列多项式分解因式： 1(中考·临夏)x- (2)(中考·常州)x2一4xy十4y2 因式分解 公因式法和公式法 7.(商丘期末)下列多项式中，可以运用平方差公 式进行因式分解的是 () A.2x+y B.2x2-y C.x2-9y2 D.x2+9y 8.已知正方形的面积是x2十8x十16(x>一4)， 则正方形的周长是 () A.4+x B.x-4 C.16-4x D.4x+16 9.把下列多项式分解因式： (1)-4m2+25n2; (3)(中考·威海)(x十2)(x十4)+1. 易错点分解因式不彻底导致出错 10.(许昌期末)因式分解：x一 1 81 2 能力在线》 方法规律综合妹 11.(中考·徐州)若mn=2,m一n=1,则代数式 m2n一mn2的值是 第11章32 12.下列各组代数式没有公因式的是 A.5a-5b和5a+5b B.ax+y和x十ay C.a2+2ab+b2和2a+2b D.a2-ab和a2-b 13.(教材P52习题T7变式)无论a、b取何值，代 数式2ab-a2-b2-1的值一定是 () A.非正数 B.负数 C.正数 D.非负数 14.(郑州期末)数学活动课上，同学们一起玩卡 片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任 选两张进行加减运算，运算的结果能进行因 式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘 汰.给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游 戏中被淘汰的是 () x+5x+12 5x+13 x2-13 M A.甲：M+N B.乙：M-N C.丙：N+P D.丁：N-P 15.简便计算： (1)2112-211×420+2102: (2)6212-1482-769×473. 16.请通过计算说明：当n为任意正整数时， (n+3)2一(n一1)2能被8整除. 33探究在线八年级数学（上）·HD ③拓展在线》培优拔尖捉升练 17.(教材P52习题T6变式)（周口阶段练习）仔 细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知关于x的多项式x2一4x十m有一个 因式是(x十3)，求另一个因式以及m的值. 解：设另一个因式为(x十n),得x2一4x十m =(x十3)(x十n),则x2-4x十m=x2+ (n+3)x十3n, n十3=一4·解得=一7，m=一21 (m=3n. ∴.另一个因式为(x一7)，m的值为一21. 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)二次三项式x2+5x一p有一个因式是 (x一1)，求p的值； (2)已知关于x的多项式2x2十3x一k有一个 因式是(2x十5)，求另一个因式以及k的值； (3)已知关于x的多项式2x3+5x2-x十b有 一个因式为(x十2)，求b的值. ©第2课时 综合 ①基础在线 > 知识要点分类练 知识点综合提公因式法和公式法分解因式 1.(中考·云南)分解因式：a3一9a= () A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9) C.(a-3)(a+3) D.a2(a-9) 2.将多项式x十2x2十x因式分解正确的是（) A.x(x2+2x) B.x(x2+2x+1) C.x(x+1) D.x(x-1) 3.把下列多项式分解因式： (1)(中考·眉山)3a-12a= (2)3ax2-6axy+3ay2= 4.把下列多项式因式分解： (1)3r-3x+ (2)xy2-x3y; (3)x2(x-y)+y2(y-x) 2能力在线 》方法规律综合练 5.(南阳期中)化简：m×1012-m×992=() A.400m B.199m C.1001m D.200m 6.(洛阳期中)乐乐是一名密码翻译爱好者，在他 的密码手册中有这样一条信息：a一b,x一1，x 是公因式法和公式法 +1,a十b,x2一1，a2-b,分别对应下列六个字： 县，爱，我，嵩，丽，美，现将a(x2-1)-(x2-1) 因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.美丽 B.美丽嵩县 C.嵩县美 D.我爱嵩县 7.把下列多项式因式分解： (1)xx2-8x2y2g2+16yz2: (2)9a2(x-y)+4b(y-x); (3)2y(x2+1)2-8x2y. 8.(南阳阶段练习)先因式分解，再求值：已知xy =-3,x-2y=3求-xy+4xy-4xy. ③拓展在线 沙培优拔尖提升练 9.将多项式4(x2+1)+(x十1)2(x-3)十(x- 1)3因式分解正确的是 () A.2x(x-1)2 B.2x(x+1)(x-1) C.x(x+1)(x-1) D.2(x-1)2(x-1) 第11章34