11.4 整式的除法&微专题4 整式的化简与求值-【探究在线】2025-2026学年新教材八年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版2024）

11.4 整式的除法 ©11.4.1 单项式除以单项式 7.计算： 基础在线》 :识要，点分芙练 (1)(3x2y)2·(-15xy2)÷(-9x'y2): 知识点单项式除以单项式 1.计算6m÷(一3m)的结果是 A.-3m B.-2m C.2m D.3m (2)4abc÷(-16aWc)÷ ga'be. 2(南阳期未)若a÷2a6=2a,则mn的取 值分别为 ( A.m=4,n=2 B.m=4,n=0 C.m=5,n=2 D.m=5,n=0 8.已知(3)·A=(信y✉) 3.一种长方体零件的体积为12ab,底面积为 (5x-y+1g),且(3)=81，求A的值. 4ab,则零件的高为 () A.4a'b B.4ab C.3a2b D.3ab 4.已知一8.xy2÷★=一2xy2,则“★"所表示 的式子是 () A.16x'y B.4xy C.6xy D.4ry 5.计算： (1)15a2b÷3ab= (2)-5.x3yz÷3x2y2= ③拓展在线》鹅代拔火提升然 (3)(-2ab6c÷(-aab）月 9.观察下面的一行单项式：a,一3u2,9a3,一27a, (4)10÷(2×103)= 81a3,… ②能力在线》 方法规律综合练 (1)从第二个单项式开始，计算每个单项式与 它前一个单项式的商，你有什么发现？ 6.(南阳阶段练习)如图所示是 2 (2)试写出第八个单项式. 一个长方形，它被分成大小 不同的正方形①②③④和一 个长方形⑤.若正方形③的边长是正方形①的 边长的3倍，则长方形⑤的周长是正方形①的 周长的倍 第11章28 ©11.4.2多项式除以单项式 ①基础在线》 知识受点分美结 (4)(鹤壁期中)(3xy-xy+2xy) 知识点多项式除以单项式 1.计算：(4x3y十6xy2-xy2)÷2xy= ÷2xy+ ÷2xy ÷2xy= 6.(中考·甘肃)先化简，再求值：[(2a+b)2一 2.化简：(6ab-8a)÷2a= (2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1. A.3b-4a B.3b+4 C.3b-4 D.6b-4 3.(商丘阶段练习)已知★·(-2.xy)=6.x2y 4xy2,则★ ( A.-3.x+2y B.2x+3y C.-2x+3y D.3.x-2y 4.(鹤壁期中)一个长方形的面积是a2一2ab+a, 宽是a,则这个长方形的长是 () 易错点多项式除以单项式时出现符号错误 A.a-2b B.a+2b 或漏项 C.a-2b-1 D.a-2b+1 7.下列计算中，正确的是 5.计算： A.(6.x'-24x3)÷(-3.x2)=-2x2-8z (1)(6.x3y2-7xy)÷xy: B.(3xy-xy)÷2xy=3x-↓ -2-2y C.(4ab-2ab)2ab=2ab D.(a'b+2ab)÷(-ab)*=2a-b (2)(信阳期末)(3ab一6ab)÷(-3ab): ②能力在线》方法起律嫁合泰… 8.对于任意正整数n,按流程图的计算方式，得 到的结果 () 刀一平方→十2m一÷刀一一一结果 A.随1的变化而变化B.不变，总是0 (3)(周口期中)(18.x3y2-12.xy十x2y)÷ C.不变，总是1 D.不变，总是2 (-6x2y2): 9.已知(x"+十x+)÷x+l=x2十x2,其中n是 正整数，那么a十b的值是 () A.3 B.5 C.7 D.9 29探究在线八年级数学（上）·HD 10.(新乡期中)如图，边长为2m+3的正方形纸 15.如图①的瓶子中盛满水，将这个瓶子中的水 片剪出一个边长为m十3的正方形之后，剩 全部倒入如图②的杯子中，你知道一共需要 余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方 多少个这样的杯子吗？（单位：cm) 形一边长为m,则另一边长为 十3 2m+3 图①① 图② A.2m+6 B.9m+6 C.3m+6 D.9m+9 11.写出计算结果为(x一y)的两个整式相除的 算式： 12.小明在计算A÷4时，由于粗心，误认为是 乘以，得到的结果是8a6一如+24，则A 的值为 :正确的结果是 3 拓屁在线》培代拔尖提升妹 16.(周口期中)小明在做练习册上的一道多项式 13.信息时代确保信息的安全很重要，于是在传 除以单项式的习题时，一不小心污染了这道 输信息的时候需要加密传输.发送方将明文 习题，只看见被除式的其中一项“一3xy”和 加密为密文传输给接收方，接收方收到密文 中间的符号“÷”，污染后的习题形式如下： 后解密还原为明文.已知某种加密规则如图 (○一3x2y)÷○.小明翻看了书后的答案是 所示，当发送方发出a=2,b=4时，解密后明 “4x2y2一3xy十6x”,请你帮忙复原这道习题. 文mn的值为 发送出a, m=a'tab+-b n=(4ah-2a)÷(-2a)3 解密出mR 14.(教材P48习题T7变式)（郑州期中）已知多 项式2x2-4x2+7x一1除以一个多项式M, 得到商式2.x,余式x一1，求多项式M(提示： 类比数的除法的运算法则，即被除数一除数 ×商十余数). 第11章30 微专题4整式的化简与成值 类型①整式的化简 【验证】如：(3+1)”+(3-1)2=20为偶数，请 1.计算： 把20的一半表示为两个正整数的平方和： (1)(a+1)(a2-2a+3): 【探究】设“发现”中的两个已知正整数为m、, 请论证“发现”中的结论正确： (2)a+2b)(a-2b)-号ba-86: 【拓展】已知x十y=10,x2十y2=58,求 (x一y)的值. (3)(9ry-12xy2+3xy)÷(-3xy)-(2y+x)(2y -x). 类@②整式的化简求值 4.任意三个连续偶数的平方和是4的倍数. 2.化简求值： (1)2+4+62的结果是4的几倍？ (1)(a-3b)+(3a+b)2-(3a-b)(3a+b),其 (2)设三个连续偶数的中间一个为2，写出它 中a=-8,b=-1: 们的平方和，并说明是4的倍数： (3)设三个连续奇数的中间一个为2n十1，写 出它们的平方和，它是12的倍数吗？若是，说 明理由：若不是，写出被12除，余数是多少？ (2)(a2-6a')÷(-a)-3(b+a)(b-a),其中 心+6=号 堡趣③整式中的探究型问题 3.(许昌期末)【发现】两个已知正整数之和与这 两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶 数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 31探究在线八年级数学（上）·HD(2):a=26,剩余草坪的由积是215m'。 ()像式-是++音 由《u十6)=a'+26十8进行变悬，物 .B×(26)+106×26+26W=216, a2+=(a+-2ah, 甲5-216，解得6一2负慎含去， 5.D 7,B&D (25-x)'+《x-10)=[(2若-x)+(x一10)]卫 甲通道的案度是至m 6(1)原式=《100十3)×(100一3》-100F一9- 9.10原式=500-1)=50-2×500×1+ -2(25-士)《x-10》m153-2X{-15)=225+30 拓展在线 9991. -249001 =255, 15.1)-ab十 2式-(10+)×(100-)-1o02 (2)原式-(+2)-0+2×0×号+（】 (3》20 (2)(a十b》(=b十)=g一a6+ab十a25 1L.4整式的除法 a+公-星+. (号)-99 =90+30+}=930 11.4.1单项式除型单项式 《3)原式一[魏+《2m)][w2-2w+(2m)]- 7,(1)原米的正方形的边长为：，划新的长方形的边 10.B 基留在线 (m+)〔m2-w+2)■[m3+(2m)] 长为a十3,4一3， 能力在线 1,B2,A3D4B (w2+划3)=m3十(2w)一m'一n2=m3十8w2 《a+3)(a-3)=a'-9, 11.D12.D18.B 5(15a 2-音rnc83c5×10 m一m=7, 答：改适后的长方形章坪的所积为(2一5)m2. 14,(1)原式-(x十y)一9-+2y十y一 阶段两深111,111.2 (2)变化了， (2)原式[(x1)x+1》x+1)] 儒力在城 1.C2,D3,B4D5,D6.A3,C8B 原来正方形草坪面积为， =[(x2-11(x2+1) 63 9.31a,m11,-11281,314-8 皮造后的长方形草坪的面积为(a一9)m, =〔x-1) 7.(1》原式-15y.(2)原式--名 5.D原式-42y-6y. r2-(g3-9》=0(m =x2-2x+1. &因为青='A=(传y+ 2原式-一喜士 答：改骑后的长方形章坪的面积比意米的正方形 括展在线 章坪的面积减小了9m, 15.(1)10a+5(2)100a{a+1) 3)原式-8r3-27y. 偏力在楼 (3)a5Xa5=(10a+5)3-1002+100a+25. l8.《10(a”)·()t=(,")'()t 8D9.B10.D11.6 108a{a+1)十5×5-100u3+100g+25 所以A-y+(青-是 因为a一3，a”一5，所以夏式-3×子一675 .a3×a5=100w(a十1)+s×5. 又期为(3)-(3)"-学一51一9， 《2)原式=一202+0. 12(a=号《2<2 (40a5×9-100a(a十1)+h 当￥--2时，原式--20×4-9×2--98. 18(1)安装健身卷材的区城面积为(3：十)(3：一) 所以n=2,新以A=音号×2-号 证月：'6十c=10, 17.《1)由题意，得T”型图形的面积为 -〔a十ha-)=d-48-d+0=8a-. ab×r=(10g+h)《10g十e=100,+ 拓展在线 《2r+y1(x+2y》-2=2+4ry+y+2/ 答：安装健身器材的区城属积为(8a'一)m 10=(b十c)十c=100g+100a十， (1》从第2个单项式开始，每个单魔式与用一个单 2y2-22+sry(m1 (2》当2=20，b=5时，8a2-8/=8×2时一3×5 100a(a+1)+c=100a+100g+k 项式的商都是一3双 2)当x=2,y=3时， =315(m) .akXar=100x(a+1)+, (2》第8个单现式是一3a 27+5ry=2×2+5X2×3■8 答，安装健身蓉材的区域面积为1125m 做专题3完全平方公式的变彩 114.2多月式除以单项式 38×150-5700(元) 拓展在线 1.《1)(u+b)m25,a2+2a6+0=25 服智在线 等：修建文化”场所若要的费用为5700元， 14原式-支×(3-1)×(3+1)×3+1)× 文ab-10,正+8-25-2b-25-2×10-5. 1.4'y ir'y zy 22+y- t8.1)7 《2)(u+b1=g2+2ab+-17, 2C3,A4,D 《2)山材料中的解扶可知，《3r中2)(x十4)(5一 3+1)×(3+1)×…×8”+1)=号× (a-6)'--2ab+-13, 5(1》想式=6r'y-7x 1》质得多项式的一次项系数为3×4×（一1）+ (3-1)×《3+1)×(+1》×(3°+1)X…× 2,3十2站■0 (2)复式=一a+26, 2×1×(一1}+2×4×5=-12-2+40=26. .+=15 《3)由材料中的解法可每，《x2一十m》(:+2: 3+1)-支×-1)×3+1)× 2.10'十y=《x十y)1一2xyx十y-7xy-2 a原式-+骨 +4)〔3x一2)所得多项式的一次项系数为（一1）× +x…×(+0-专×8-1)× 十y=71-2×2■49-4■45， (4》原式=12y-4:+2 4×(一20十×2×（一2）+wX4X3=8一4m十 9-y)'=《x+y)-4红yx十y=7,y=2, &.氟式=〔(a2+45+6)-(4a2-)]÷26 12om8w十8， +1》-3-1 2 (x-y)'=7-4×2=49-8=41 〔4a3+4ab+b-4e+/)÷2站=〔4ab+2W)+ ?多用式不音一次瑰， 11.玉2两数和（差》的平方 (+23. 26=2a+点 8十8=0，解得两=一1. 基甜在城 当a-2,6=-1时，原式=2×2+(-1)=3 11.3乘法公式 1(1)xx112+2x十1 7.B 11.3.1两数和来以这两数的差 (29(-x)9(-x)11P2-2+1 能力在规 越瑙在线 名，A3B4D5A ∴2+2+}-∴+}- &D9.C10.C 1.b-a22.B3.C 6,(1)原式=十6ab+∥， 3.(1)10 11.(x一y)÷x(答案不唯一》 4.(1》原式=a8-12原式=4rx-5 (2原式=-a'W+2ab-1, (2)设25-x■a.x一10=b 12.16a'6-&a3+4a326-16u+813.120 一探究在线·/八年级数学（上）·HD一 19 14.由题意：得2一4+7x一1=M×2x十x-1, 放两个已知正整数之和与这特个正整数之差的可 (x十)，塘+5a一■(x一1)(x十H) 2(1)愿式=(3ap十bg)(3a-bg) 新以M-[22-42+7x-1-(x-1)]+2x 方和一定是偶数， 即士2+5x一px+《0-1E-4 (2)原式=(a+6一2) (2x-42+6x)+2x■2-2x+3 且该偶数2(2十》的一半，里(m十)是正餐 (3)原式=(x一2) 甲多式M为：3-2：十3 数，的平方和 (d)原式=3(m十1（四十3） 1[(+n(登×H(侵×2'8 【新展】：x+y=10,.(x十y)=100 单的值为6 (5)愿式=（十y《x一y 且由探究包，《x+)+(x一y)2=2(x2+y2). ()设关于1的多项式22+3x一k的另一个因 3(1)原式=-y(3r一y), =(w+wH)+(位】 (x-y)2m2(x2+y)-〔x+y)=2×58 式是红+0，则2+3z一=(2x十5)(x+) 〔2)g式=3m(2z一y十)(2x一y-n 100=16. n2x2+ax-表=2x2+(2+5》x+31 4,(1)期式=(x+2)(x+5). -2k+2H 4.(1)2+41+6=4+1G+36=56=4×14 +-3, (2)意式=x一)+11， 容：一共需套(A+2H)个这样的杯子 ,2+4+6的结果是4的14倍. (3)g式=(y-3)(y-4) (2这三个连续鼻数分别为2w一2,2m,2e+2(其 美于￥的多项式2x2+3缸一的月一个因式 (4)复式mr十)(x一2) 石程在线 中x是整数)，则(2m一2)十(2e)户十(2w+2)° 是(x一1).k-5 5,问超1：的 16.出恩意，有两件号花： 4一8n+4+4+4+8w+4=12+8= 《3)设关于上的多顷式2十52一十6的另 问题2： ①隐式是-32y十6红-豆y: 4(3x2+2》, 个因式为(22+Mz+N), (1)期式-(x-y+2(一y》-(ry)(+2). ,三个连候侧数的平方和是4的情数。 群2x2+52-x+b-(x+2)2x2+M山+N), (2夏武-(4r+4ry十y)-2(2红十y+1 此时被筛式超(4忙y-y+)·(一豆y (3)三个连续奇数的平方和不是12的倍数，它整 即2P+3x2-上+6-22+(M+4)2+ (2x+-2(2r+y)+1-(2x+y-10. 12除，余数是1L.理由如下， (2M+Nr十2N. 问超3：△ABC是等餐三角形.现由如下： -2ry+2y- 这三个连袋奇数分别为2-1,2m+1,2m+3(其 M+4-5, M-1, -b十-a-0, 这通习题判-如+是以-)+（豆可 中8是整数)，则(2m一1十《2n十1十(2x十3)月 ∴2M+N=-1,.N=-3 (N-5)+(k-a)=0, =4x2一4m中1十4m+4m+1十4m+12w十9 b=2N. 6=-4 b-a十（一a》=0, ②除式是一3y÷(一3y)=x, 12+12x+11=12(w+)+11, 即b的领为一6. (6-aù(h十r)=0, 此时被除式是(4xy一3xy+》·x=4ry ,三个连候青数的平方和不是2的倍数，被12 暴2课时帖合观会园式法和会义法 a,b,c是△AEC的三边，6十《不可能是0 3y+6, 除，余数是1L 基陆在线 b一a一0，再一a.,△ABC是等腰三角形 这道习题为(4ry十6r-3y)+ .5回式分解 1.A2.C 6原式=(1999+2000)×《1999-2003)+(2001 第上析运，这道习题为(-2y+号ry 第1深时视会裂式济和会式债 3.118a(a十2)《a-2) (2》3a(r-y +2002)×(2001一2092)十4十(2023中2021) 部在线 ×(20-2024)+(2025十202)×(2025 3ry)+(-是y)减4ry+知-)* L.B2.x(x十3)1C4.D a原式- 2026)=-41999十2000)-(2001十2002)一 惊专题《整式的化简与术值 5,1)原式-sxy(2x-y) 《2原式=y(x十y)a一， -(20的+2024)-(2025+262)=一(1999+ 1.(D氟式“a-2a+3w十-2+3 (2)第式-一5h(2a一k十4ab》. (3)原式=(x-y》(x+y). 2000+2001+…+20a+2024+20254 =a-a十a十3. 6(o-)+是）(2x-2 能力在機 2026)--56350. 5.A6.D 2)原式--4-一字b+w--b, 7.(119 7.C&D 7.1)原式=x'《x一2y)(+2y), (2)属数为2w,比2H大5的数为2u+5 (3原式=-3+4y-y4+ .(1)原式=(6m+2m)(5n-2w) 《2)原式=(x-y(3a+2b)(3一). (2n+51-(2m)-(2m+5-2m)(2n+5+2n) =-22-￥ 2原式=（一}）。(1原式=+3 《31原式m2y(x+1)'(x-1)2 =5{4n+5) 2(1》原式=a+11B. 8.-x+4y-42y--'y2(2-4y+4y2》 当a=一8,6=一1时， 1o.(+号+号)-）】 “4n十6为整数， ■-2y(x-2y). :5(4u+5)能被5整除 原式=（-8)+11×（一1》'=75. 能力在线 ”w=-32-y= ,比2：大3的数与2：的平方差能蔽5整隐 (2氟式=1-3(a+) 11,212,日13.B14.D 原式-一(xy)·《x-2y)--《-3)× (3)余数为3.理由如下， 将a十-导代人，得 15,(1)原式=1.《2)原式=0， (- 设这个数为，比n大5的数为n十5， 15,因为n+3-(w-11=(u+3十w-1)(w十3 (m+6-(m=《n+3-w)(m+5+u-5(2n 原式-1-3×号-1 w十1》三B(n÷】), 拓展在线 +5》=10w+25. 所以当为为任意正整数时，(u+3)”一《m一1？他 9, (10w+25)=10(m十2)+5， 1.【0f1片×20-10-3+1 放8整除 散专题5因式分解及其应用 .10m十25被10整®的余数是5 【探究】(m十n)+(N一n)'■m+2mw+划2十m 后展在线 1,1)原式=3a(u一2h》, 即比任意一个整数大5的数与此整数的平方差银 -2mn十2=2(m°十n2). 11,(1)设二次三项式￥+一争的另一个因式为 (2原式■6(x-2y2(x十4y. 10整降的余数是5 20 一探究在线·八年级数学（上）·日D一