专题11.4 整式的除法（高效培优讲义）数学新教材华东师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学整式的除法核心知识点，通过类比分数约分与乘除互逆构建学习支架，系统梳理单项式除以单项式（系数、同底数幂相除，保留独有的字母）、多项式除以单项式（逐项相除再相加）及整式混合运算（运算顺序）的知识脉络，形成从基础到综合的递进学习路径。 该资料以分层设计为特色，知识点配套即学即练与易错汇总强化运算能力，通过几何图形（如长方形面积求边长）和实际应用题（如广场扩建计算）培养模型意识与应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

专题11.4 整式的除法 教学目标 1. 经历类比分数约分、乘除互逆探究整式除法法则的过程，理解单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则。 2. 能熟练完成单项式除以单项式、多项式除以单项式的计算，掌握整式混合运算，提升代数运算能力。 3. 体会转化思想，把多项式除法转化单项式除法，会利用乘除互逆对运算结果进行检验。 4. 可以运用整式除法完成化简求值、简单几何与实际应用题求解。 教学重难点 重点： （1）单项式除以单项式运算法则以及基础计算 （2）多项式除以单项式运算法则，做到逐项相除、符号正确、不漏项 （3）整式乘除混合运算的运算顺序与规范计算 难点： （1）单项式除法中符号处理，不遗漏被除式独有的字母因式 （2）多项式除以单项式运算中防止漏项，正确处理各项符号 （3）整式除法结合化简求值、几何图形、参数求解的综合应用 知识点 01：单项式除以单项式 1. 运算法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别 作为商的因式；只在被除式中出现的字母，连同它的 一起作为商的一个因式。 2. 运算实质：将单项式除法拆解为 与 的除法。 3. 运算步骤：第一步系数相除；第二步同底数幂分别相除；第三步保留被除式独有的字母及其指数。 4. 结果特征：单项式除以单项式运算结果仍然是单项式。 5. 易错提示：系数连同符号参与运算；不要遗漏只存在于被除式中的字母；可以用乘法逆运算检验计算结果是否正确。 【即学即练】 1．计算：． 知识点 02：多项式除以单项式 1. 运算法则：多项式除以单项式，先用多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 。 2. 运算实质：利用分配律，把多项式除以单项式转化为 来计算。 3. 运算步骤：第一步多项式的每一项分别除以单项式；第二步将全部得到的商相加。 4. 结果特征：商的项数和原多项式的项数保持一致，不能出现漏项。 5. 易错提示：每一项要带上自身符号参与除法运算；被除式中某一项和除式完全相除时，商为 1，不能写为 0。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 知识点 03：整式的混合运算 1. 运算顺序：先算 ，再算 ，最后 ；有括号要先计算 的部分。 2. 核心要求：综合运用幂的运算、整式乘、除法公式，运算结束后合并同类项化为最简整式。 3. 验算思路：利用乘除互为逆运算，检验整式除法计算结果。 【即学即练】 1．先化简，再求值：，其中， 知识点 04：整式除法常见模型与易错汇总 运算类型 核心要点 高频易错点 单项式 ÷ 单项式 系数相除，同底数幂指数相减，保留独有字母 符号出错、遗漏被除式中的字母、指数运算混淆 多项式 ÷ 单项式 逐项相除，商再相加，项数不变 漏除某一项、符号处理错误、常数项相除漏写 1 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 01 单项式除以单项式基础计算 分三步运算，系数相除、同底数幂指数相减，保留被除式独有的字母连同指数；注意确定符号。 【典例1】. （25-26六年级下·山东泰安·期末）计算：____________． 【变式1】. （25-26七年级下·北京平谷·期末）计算：________． 【变式2】. （25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算：． 题型 02 单项式除法求参数 等式左右两边化为同底数形式，对比对应系数、字母的指数，建立方程求解参数。 【典例2】. （25-26七年级下·山东枣庄·期中）若，则_____． 【变式1】. （25-26六年级下·全国·课后作业）如果“”，那么“”内应填的代数式是_________． 【变式2】. （24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若，则的取值分别为（　　） A． B． C． D． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）已知，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 题型 03 多项式除以单项式基础计算 多项式每一项（带符号）都除以单项式，再把商相加；保证商的项数与原多项式项数一致，杜绝漏项。 【典例3】. （25-26七年级下·北京通州·期末）计算的正确结果是______． 【变式1】. （25-26六年级下·山东济南·期末）计算：． 【变式2】. （25-26七年级下·河南郑州·期末）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 04 整式除法化简求值 先对整式完整化简，再代入对应数值；部分题目可采用整体代入，简化计算。 【典例4】. （26-27八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【变式1】. （25-26七年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中和互为倒数． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【变式3】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 题型 05 乘除互逆，还原被除式或者除式 依据 “被除式 = 除式 × 商式” 逆向计算，注意多项式每一项符号。 【典例5】. （25-26七年级下·江苏常州·期末）若，则括号内“★”所表示的代数式为__________． 【变式1】. （2026·河北沧州·模拟预测）墨迹覆盖了整式计算“”的一部分，则被覆盖的部分不可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （2026·河北邯郸·一模）已知A为单项式，若计算的结果是，则______． 【变式3】. （25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：． (1)求所表示的代数式； (2)求当，时，所表示的代数式的值． 题型 06 整式除法几何图形应用 结合面积、体积公式，利用除法求边长、高；用代数式表示几何量，化简得到结果。 【典例6】. （25-26七年级下·浙江台州·期末）若一个长方形的面积是，一边长为，则另外一边长为_________．（用含的代数式表示） 【变式1】. （25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一座长方形健身广场，其设计方案及数据如图所示．已知广场内区为长方形的成年人活动场所，区为圆形的儿童活动场所，其余地方为绿化带． (1)求绿化带的面积（结果保留）； (2)求整座健身广场的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【变式2】. （25-26七年级下·江西萍乡·期中）如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等． (1)求长方形甲的宽； (2)试探究长方形甲的面积与正方形乙的面积之间的数量关系． 【变式3】. （24-25七年级下·陕西咸阳·期末）张伯伯家有一个长为，宽为的长方形菜地，为了方便存放工具，他在菜地的一角修建了一个长为，宽为的长方形储物室，然后在剩余的部分种菜（阴影部分）． (1)求种菜部分的面积；（结果需要化简） (2)若，求种菜部分的面积． 题型 07 整式除法实际应用题 读懂题意，建立整式模型，运用整式除法列式计算，结果结合实际情境判断合理性。 【典例7】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）某市有一块形状为三角形的广场，已知这块广场的面积为平方米，底边为米． (1)求这块三角形广场底边上的高； (2)现计划对这块广场进行扩建，扩建后的广场形状仍为三角形，同时保证底边不变，若扩建后的广场的面积为平方米，则扩建后的广场底边上的高为多少米？ 【变式1】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）中的杯子中． (1)请用整式表示一共需要多少个这样的杯子（结果要化简）； (2)计算出当，时所需杯子的数目． 【变式2】. （2026·浙江·一模）阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品（图1），给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于（图2）． 问题解决： (1)请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由； (2)若只用一种正边形进行密铺，且，密铺的个数为，且为正整数，请推导与满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形． 【变式3】. （25-26七年级上·甘肃兰州·期末）某超市在春节期间对顾客实行优惠,规定如下: 一次性购物 优惠办法 少于元 不予优惠 低于元但不低于元 九折优惠 元或超过元 其中元部分给予九折优惠，超过元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物元,他实际付款_______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元,当小于元但不小于时,他实际付款 元,当大于或等于元时,他实际付款______元．（用含的代数式表示） 题型 08 新定义与阅读理解类除法题型 读懂题目定义的运算法则，把新运算转化为整式乘除常规运算，按顺序计算。 【典例8】. （25-26七年级下·山东济南·期末）对于任意有理数，，，，定义一种新运算：， (1)____________； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则___________； (3)对于有理数，，若，，求的值． 【变式1】. （2026·浙江温州·二模）在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式 除法的化简： 即． (1)请你完成下面的竖式计算．          即 (2)已知多项式，能被多项式整除，求的值． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“增项多项式”，如果，则称是的“完美多项式”，如果，则称B是A的“减项多项式”， (1)若，均是关于的多项式，则多项式__________，且是的“__________多项式”（从“增项”、“完美”、“减项”中选一个填入）； (2)若，均是关于x的多项式，是不是的“增项多项式”？请判断并说明理由； (3)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，则__________； (4)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，求的值． 【变式3】. （25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 一、单选题 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．一个长方形的面积为，且长为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 3．小明的作业本上不小心洒上了墨水：□，则被墨水遮盖的部分应是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．在等式中，括号内表示的整式是_________． 5．填表： 被除式 除式 商 填表为________、________、________． 6．如图是一个运算程序，若输入的m为，代数式p为，则输出的x为________． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．已知，． (1)化简； (2)若是整数，求满足什么条件时，能被4整除； (3)若且，求的值． 9．如图，某广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为米的小正方形空地． (1)用含、的代数式表示绿化部分的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化部分的总面积． 1．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．长方形的面积是，宽是，那么它的周长是_________． 3．数学社团的同学在探究一个有趣的问题：对于一个三位数，用这个数除以它各位数字的和，把得到的结果称为这个数的“特征值”，如，则这个三位数的特征值为40．那么，所有三位数中，特征值的最大值是________． 4．完成以下问题 (1)若关于m，n的多项式中不含有项，则a的值为 ． (2)完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴  ， ∴． ①如图，点C是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为24，则的面积为 ； ②若，求的值． 5．学习完整式的乘法运算之后，小辉同学对多项式除以多项式产生好奇，数学学习中有一种重要的思想方法：类比思维，是通过比较两个具有相同或相似特征的事物，从已知属性推测另一事物对应特征的思维活动．于是他类比小学数学中多位数的除法运算，进行了自主探究，做出如下归纳： ∴， ； 【及时应用】 (1)多项式除以多项式，所得的商式为 ，余式为 ． 【数形结合】 (2)已知体积为的长方体的高为，则该长方体的底面积为 ；   ． 【拓展提升】 (3)如图，有6张甲卡片，21张乙卡片，15张丙卡片，能否将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？ ①小辉同学认为不能，请你说明理由； ②小雅同学认为只要减少 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成； ③小光同学认为也可以只增加 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.4 整式的除法 教学目标 1. 经历类比分数约分、乘除互逆探究整式除法法则的过程，理解单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则。 2. 能熟练完成单项式除以单项式、多项式除以单项式的计算，掌握整式混合运算，提升代数运算能力。 3. 体会转化思想，把多项式除法转化单项式除法，会利用乘除互逆对运算结果进行检验。 4. 可以运用整式除法完成化简求值、简单几何与实际应用题求解。 教学重难点 重点： （1）单项式除以单项式运算法则以及基础计算 （2）多项式除以单项式运算法则，做到逐项相除、符号正确、不漏项 （3）整式乘除混合运算的运算顺序与规范计算 难点： （1）单项式除法中符号处理，不遗漏被除式独有的字母因式 （2）多项式除以单项式运算中防止漏项，正确处理各项符号 （3）整式除法结合化简求值、几何图形、参数求解的综合应用 知识点 01：单项式除以单项式 1. 运算法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式；只在被除式中出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式。 2. 运算实质：将单项式除法拆解为有理数除法与同底数幂的除法。 3. 运算步骤：第一步系数相除；第二步同底数幂分别相除；第三步保留被除式独有的字母及其指数。 4. 结果特征：单项式除以单项式运算结果仍然是单项式。 5. 易错提示：系数连同符号参与运算；不要遗漏只存在于被除式中的字母；可以用乘法逆运算检验计算结果是否正确。 【即学即练】 1．计算：． 【答案】 【详解】解： 知识点 02：多项式除以单项式 1. 运算法则：多项式除以单项式，先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 2. 运算实质：利用分配律，把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来计算。 3. 运算步骤：第一步多项式的每一项分别除以单项式；第二步将全部得到的商相加。 4. 结果特征：商的项数和原多项式的项数保持一致，不能出现漏项。 5. 易错提示：每一项要带上自身符号参与除法运算；被除式中某一项和除式完全相除时，商为 1，不能写为 0。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得结果相加即可得到答案． （2）将多项式的每一项分别除以单项式，再将所得结果相加即可得到答案． 【详解】（1） 解: ． （2） ． 知识点 03：整式的混合运算 1. 运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号要先计算括号里面的部分。 2. 核心要求：综合运用幂的运算、整式乘、除法公式，运算结束后合并同类项化为最简整式。 3. 验算思路：利用乘除互为逆运算，检验整式除法计算结果。 【即学即练】 1．先化简，再求值：，其中， 【答案】，5 【分析】先利用完全平方公式以及平方差公式展开，合并同类项，然后再根据多项式除以单项式计算，最后把，代入计算后的结果求解即可． 【详解】解： ， 当，时， 则原式． 知识点 04：整式除法常见模型与易错汇总 运算类型 核心要点 高频易错点 单项式 ÷ 单项式 系数相除，同底数幂指数相减，保留独有字母 符号出错、遗漏被除式中的字母、指数运算混淆 多项式 ÷ 单项式 逐项相除，商再相加，项数不变 漏除某一项、符号处理错误、常数项相除漏写 1 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型 01 单项式除以单项式基础计算 分三步运算，系数相除、同底数幂指数相减，保留被除式独有的字母连同指数；注意确定符号。 【典例1】. （25-26六年级下·山东泰安·期末）计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】. （25-26七年级下·北京平谷·期末）计算：________． 【答案】 【分析】运用单项式除法的运算法则，分别对系数和同底数幂进行计算即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式2】. （25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 【变式3】. （25-26七年级下·江苏苏州·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 题型 02 单项式除法求参数 等式左右两边化为同底数形式，对比对应系数、字母的指数，建立方程求解参数。 【典例2】. （25-26七年级下·山东枣庄·期中）若，则_____． 【答案】 【详解】解： ∴， ∴， ∴． 【变式1】. （25-26六年级下·全国·课后作业）如果“”，那么“”内应填的代数式是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，解题的关键是掌握单项式除以单项式的法则． 通过单项式除以单项式的运算法则，计算即可得到结果． 【详解】解：由题意，“□”内应填的代数式为， 故答案为：． 【变式2】. （24-25七年级下·陕西咸阳·期中）若，则的取值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式除以单项式，同底数幂的除法，根据单项式除以单项式的计算法则计算即可得出m、n的值，熟练掌握单项式除以单项式的计算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 【变式3】. （24-25七年级下·全国·课后作业）已知，那么的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的除法，根据单项式除以单项式可得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴，， ∴，， 故选：A． 题型 03 多项式除以单项式基础计算 多项式每一项（带符号）都除以单项式，再把商相加；保证商的项数与原多项式项数一致，杜绝漏项。 【典例3】. （25-26七年级下·北京通州·期末）计算的正确结果是______． 【答案】/ 【详解】解：． 【变式1】. （25-26六年级下·山东济南·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】. （25-26七年级下·河南郑州·期末）计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：原式 【变式3】. （26-27八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 题型 04 整式除法化简求值 先对整式完整化简，再代入对应数值；部分题目可采用整体代入，简化计算。 【典例4】. （26-27八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】将原式拆分为两项分别除以，然后化简，再代入的值计算． 【详解】解： 由，得， ， 将代入得，原式． 【变式1】. （25-26七年级下·四川成都·期末）先化简，再求值：，其中和互为倒数． 【答案】，2 【详解】解：原式 ， ，互为倒数， ， 原式． 【变式2】. （26-27八年级上·全国·课后作业）求下列各式的值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过整式的乘除运算去掉括号，再合并同类项化简，然后代入计算得出结果； （2）先用整式的乘法去掉小括号，合并同类项后，进行整式的除法运算，再代入的值计算得出结果． 【详解】（1）解： ． 将代入得： 原式． （2） ． 将代入得： 原式． 【变式3】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【详解】解：原式， 当，时， 原式． 题型 05 乘除互逆，还原被除式或者除式 依据 “被除式 = 除式 × 商式” 逆向计算，注意多项式每一项符号。 【典例5】. （25-26七年级下·江苏常州·期末）若，则括号内“★”所表示的代数式为__________． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴． 【变式1】. （2026·河北沧州·模拟预测）墨迹覆盖了整式计算“”的一部分，则被覆盖的部分不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项、单项式的乘除法则判断即可． 【详解】解∶ A．，故A不符合题意， B．与不能合并同类项，故B符合题意， C．， 故C不符合题意， D．， 故D不符合题意． 【变式2】. （2026·河北邯郸·一模）已知A为单项式，若计算的结果是，则______． 【答案】 【分析】先根据幂的乘方法则计算出的结果，再根据除法运算中各部分的关系得到，最后利用同底数幂的除法法则计算得到． 【详解】解：首先根据幂的乘方法则计算得 由题意得 ， 根据除法各部分间的关系变形得， 根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，得． 【变式3】. （25-26七年级下·宁夏银川·期末）已知：． (1)求所表示的代数式； (2)求当，时，所表示的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当，时，． 题型 06 整式除法几何图形应用 结合面积、体积公式，利用除法求边长、高；用代数式表示几何量，化简得到结果。 【典例6】. （25-26七年级下·浙江台州·期末）若一个长方形的面积是，一边长为，则另外一边长为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，利用多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：根据长方形面积公式，另一边长为： ． 【变式1】. （25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）某居民小区为响应党的号召，开展全民健身活动，准备修建一座长方形健身广场，其设计方案及数据如图所示．已知广场内区为长方形的成年人活动场所，区为圆形的儿童活动场所，其余地方为绿化带． (1)求绿化带的面积（结果保留）； (2)求整座健身广场的面积是成年人活动场所面积的多少倍． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用大长方形广场的总面积减去成年人活动区和圆形儿童活动区的面积，即可得到绿化带面积； （2）用整座广场的总面积除以成年人活动场所的面积，即可求出倍数关系． 【详解】（1）解：绿化带的面积： ； （2）解：根据题意得： ． 【变式2】. （25-26七年级下·江西萍乡·期中）如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等． (1)求长方形甲的宽； (2)试探究长方形甲的面积与正方形乙的面积之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用长方形面积公式求解即可； （2）先求出长方形甲的周长，再利用正方形的周长公式求出正方形的边长，进而求出正方形的面积，从而探讨和之间的数量关系． 【详解】（1）解：长方形甲的面积为，它的长为， 长方形甲的宽为； （2）解：长方形甲的周长为，长方形甲和正方形乙的周长相等， 正方形乙的边长为， ， ， ， ． 【变式3】. （24-25七年级下·陕西咸阳·期末）张伯伯家有一个长为，宽为的长方形菜地，为了方便存放工具，他在菜地的一角修建了一个长为，宽为的长方形储物室，然后在剩余的部分种菜（阴影部分）． (1)求种菜部分的面积；（结果需要化简） (2)若，求种菜部分的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）首先，根据长方形面积公式分别求出大长方形菜地的面积和储物室的面积．然后，用大长方形菜地的面积减去储物室的面积，得到种菜部分的面积，并进行化简． （2）将，代入（1）中化简后的种菜部分面积表达式，计算出具体数值即可． 本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，同时涉及平方差公式的应用．熟练掌握长方形面积公式、平方差公式以及整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， 原式 ． 题型 07 整式除法实际应用题 读懂题意，建立整式模型，运用整式除法列式计算，结果结合实际情境判断合理性。 【典例7】. （25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）某市有一块形状为三角形的广场，已知这块广场的面积为平方米，底边为米． (1)求这块三角形广场底边上的高； (2)现计划对这块广场进行扩建，扩建后的广场形状仍为三角形，同时保证底边不变，若扩建后的广场的面积为平方米，则扩建后的广场底边上的高为多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）利用三角形面积公式即可解答； （2）利用三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：因为三角形广场的面积为平方米，底边为米， 所以这块三角形广场底边上的高为米． （2）解：因为扩建后的广场的面积为平方米，底边不变， 所以扩建后的广场底边上的高为：米． 【变式1】. （25-26七年级下·陕西西安·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图（2）中的杯子中． (1)请用整式表示一共需要多少个这样的杯子（结果要化简）； (2)计算出当，时所需杯子的数目． 【答案】(1)杯 (2)90杯 【分析】（1）先分别用代数式表示出瓶子中水的体积和杯子的容积，然后相除即可； （2）将、代入（1）所得的结果求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：图（1）中的瓶子中盛满了水的体积为：； 图（2）中的杯子的容积为：， 共需的杯子数为：杯． （2）解：当，时，杯． 【变式2】. （2026·浙江·一模）阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品（图1），给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于（图2）． 问题解决： (1)请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由； (2)若只用一种正边形进行密铺，且，密铺的个数为，且为正整数，请推导与满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形． 【答案】(1) 解：∵正方形的每个内角为，正三角形的每个内角为， 又∵， ∴可以密铺； (2)，正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺 【分析】（1）计算出正方形和等边三角形的内角，可得等式，因此可以密铺； （2）结合正多边形内角公式可得，化简得，根据题意可知，是的因数，解得或或． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意可得， 化简，得， ∵、为正整数， ∴是的因数， 又∵， ∴，，， ∴，，， ∴正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺． 【变式3】. （25-26七年级上·甘肃兰州·期末）某超市在春节期间对顾客实行优惠,规定如下: 一次性购物 优惠办法 少于元 不予优惠 低于元但不低于元 九折优惠 元或超过元 其中元部分给予九折优惠，超过元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物元,他实际付款_______元． (2)若顾客在该超市一次性购物元,当小于元但不小于时,他实际付款 元,当大于或等于元时,他实际付款______元．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2); 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用,根据题意正确列出代数式和方程是解出本题的关键． （1）分析题意,将购物元根据题意列出算式即可求得答案; （2）根据题意,分类讨论列出关于的代数式,即可得到本题答案． 【详解】（1）解:根据题意: ∴（元）, ∴王老师一次性购物600元,他实际付款元, 故答案为:; （2）解:∵顾客在该超市一次性购物元, ∴当小于元但不小于时,打九折, ∴实际付款为:元; ∴当x大于或等于500元时,其中500元部分给予九折优惠,超过500元部分给予八折优惠, ∴实际付款为:元, 故答案为:;． 题型 08 新定义与阅读理解类除法题型 读懂题目定义的运算法则，把新运算转化为整式乘除常规运算，按顺序计算。 【典例8】. （25-26七年级下·山东济南·期末）对于任意有理数，，，，定义一种新运算：， (1)____________； (2)对于有理数，，若是一个完全平方式，则___________； (3)对于有理数，，若，，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）根据新运算的定义求解即可； （2）根据新运算的定义列出代数式，然后根据完全平方式的定义确定值； （3）根据新运算的定义列出代数式并变形，代入已知式子的值计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得,； （2）解：由题意可得, , ∵是一个完全平方式， ∴； （3）解：原式               ，， ． 【变式1】. （2026·浙江温州·二模）在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式 除法的化简： 即． (1)请你完成下面的竖式计算．          即 (2)已知多项式，能被多项式整除，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； （2）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解； 【详解】（1）解： （2） ∵多项式能被整除，余数为0， ∴， 解得． 【变式2】. （25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则，一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“增项多项式”，如果，则称是的“完美多项式”，如果，则称B是A的“减项多项式”， (1)若，均是关于的多项式，则多项式__________，且是的“__________多项式”（从“增项”、“完美”、“减项”中选一个填入）； (2)若，均是关于x的多项式，是不是的“增项多项式”？请判断并说明理由； (3)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，则__________； (4)若，均是关于x的多项式，且是的“完美多项式”，求的值． 【答案】(1)；减项 (2)B是A的“增项多项式”，理由如下： ， 的项数比A的项数多1项， B是A的“增项多项式” (3)2 (4)或 【分析】（1）计算，比较与即可求解； （2）计算，比较与即可求解； （3）计算，是的“完美多项式”，则，令的二次项系数和一次项系数等于0，即可求解； （4）计算，是的“完美多项式”，则，分情况讨论和，求解的值． 【详解】（1）解：， 的项数比A的项数少1项， ∴是的减项多项式； （2）略 （3）解：， ∵是的完美多项式， ∴， ∵，中和是固定项， ∴，， 解得； （4）解： 当时，，，，此时， ∴符合题意， 当时，，，要使，则， 而，，其中，， 必须使， ∴， 解得， 综上所述，，或，是的“完美多项式”． 【变式3】. （25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2) 能被整除，理由如下： (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）略 （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 一、单选题 1．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据积的乘方法则计算乘方，再根据单项式的除法法则计算除法，即可得到结果． 【详解】解： ． 2．一个长方形的面积为，且长为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，列出算式后利用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：已知长方形面积，长为， ∴宽为 ， 因此该长方形的宽为． 3．小明的作业本上不小心洒上了墨水：□，则被墨水遮盖的部分应是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据除法各部分的关系，被除数等于商乘除数，利用单项式乘多项式的运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：设被墨水遮盖的多项式为， ∵， ∴ ． 二、填空题 4．在等式中，括号内表示的整式是_________． 【答案】 【分析】利用多项式除以单项式即可得到结果． 【详解】设括号内的整式为， 由题意得， ． 5．填表： 被除式 除式 商 填表为________、________、________． 【答案】 【分析】根据被除式除式商的关系，计算未知项，利用单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：第一个空求商，计算得； 第二个空求除式，由除式被除式商，计算得； 第三个空求商，计算得． 6．如图是一个运算程序，若输入的m为，代数式p为，则输出的x为________． 【答案】 【分析】根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 【详解】解：根据运算程序得， ∵， ∴， ∴输出的x为． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式，再将所得结果相加即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 8．已知，． (1)化简； (2)若是整数，求满足什么条件时，能被4整除； (3)若且，求的值． 【答案】(1) (2)当为除以余的整数（或,k为整数）时，能被整除 (3) 【分析】（1）根据整式的乘法运算，展开后，再合并同类项即可； （2）将原式变形为，根据整除的意义，解答即可； （3）根据题意，得，对进行化简求解即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 故当为除以余的整数（或,k为整数）时，能被整除； （3）解： ， 且， ， 整理，得， ； ． 9．如图，某广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处及中间留三块边长均为米的小正方形空地． (1)用含、的代数式表示绿化部分的总面积（结果写成最简形式）； (2)若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，完全平方公式、代数式求值等知识，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去三个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，代入（1）中进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：绿化部分的总面积 平方米， 即绿化部分的总面积为平方米． （2）解：当，时， 原式（平方米）， 即绿化部分的总面积为平方米． 1．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式性质，将m变形为多项式除以单项式，按照对应运算法则计算即可得到结果． 【详解】由已知等式可得： ， 多项式除以单项式，需将多项式每一项分别除以单项式，再将所得结果相加， 计算第一项：， 计算第二项：， ． 2．长方形的面积是，宽是，那么它的周长是_________． 【答案】 【分析】根据长方形面积公式求出长方形的长，再代入长方形周长公式计算即可． 【详解】解：长方形的长为：， 长方形周长为． 3．数学社团的同学在探究一个有趣的问题：对于一个三位数，用这个数除以它各位数字的和，把得到的结果称为这个数的“特征值”，如，则这个三位数的特征值为40．那么，所有三位数中，特征值的最大值是________． 【答案】100 【分析】先设三位数各数位字母并写出代数式，通过整式作差比较三位数和其数字和100倍的大小，分十位个位全为0、不全为0两种情况分析，结合除法规律判断特征值与100的大小，最终得到特征值最大值． 【详解】设三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，其中，，，且a、b、c均为整数， ∴该三位数写作，各位数字相加的和是． 根据题意，特征值为这个三位数除以各位数字之和， 将100倍的数字和展开，得， 最小取1，因此是不为0的正整数，依据除法的数量规律：若被除数恰好等于除数的100倍，商为100；若被除数小于除数的100倍，商就小于100． 情况1，当、时，差值，说明与数值相等，也就是这个三位数正好是数字和的100倍，此时特征值等于100，100、200……900这类整百三位数均符合该条件． 情况2，当b、c不全为0时，是正数，说明的数值小于，也就是这个三位数不足数字和的100倍，此时特征值一定小于100． 综上所述，所有三位数中，特征值的最大值是100． 4．完成以下问题 (1)若关于m，n的多项式中不含有项，则a的值为 ． (2)完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴  ， ∴． ①如图，点C是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形．设，两正方形的面积和为24，则的面积为 ； ②若，求的值． 【答案】(1) (2)①3；②9 【分析】（1）多项式不含某项，令某项的系数为0即可； （2）①设，，根据题意可得，，根据例题步骤进行计算即可； ②令，，则可得出，根据例题步骤进行计算即可． 【详解】（1）解： ∵多项式不含项， ∴， ∴； （2）解：①设，，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②令，，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 5．学习完整式的乘法运算之后，小辉同学对多项式除以多项式产生好奇，数学学习中有一种重要的思想方法：类比思维，是通过比较两个具有相同或相似特征的事物，从已知属性推测另一事物对应特征的思维活动．于是他类比小学数学中多位数的除法运算，进行了自主探究，做出如下归纳： ∴， ； 【及时应用】 (1)多项式除以多项式，所得的商式为 ，余式为 ． 【数形结合】 (2)已知体积为的长方体的高为，则该长方体的底面积为 ；   ． 【拓展提升】 (3)如图，有6张甲卡片，21张乙卡片，15张丙卡片，能否将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？ ①小辉同学认为不能，请你说明理由； ②小雅同学认为只要减少 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成； ③小光同学认为也可以只增加 张 卡片（选填“甲”、“乙”或者“丙”）就可以拼成． 【答案】(1)， (2) (3)①由题意，这42张卡片拼成图形的总面积为， ， ∴除不尽， 不能将这42张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形； ② 2，乙；③ 3，丙 【分析】（1）仿照例题用竖式除法计算即可； （2）仿照例题用竖式除法计算即可； （3）①根据题意列出代数式，然后用竖式除法计算进行判断即可； ②结合①中除不尽的情况，分析减少2张乙卡片，然后用竖式除法验证即可； ③结合①中除不尽的情况，分析增加3张丙卡片，然后用竖式除法验证即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：由题意知能除尽， ，， 解得， ； （3）解：①略； ②如果减少2张乙卡片，则卡片拼成图形的总面积为， ，， 减少2张乙卡片，能除尽， 减少2张乙卡片就可以拼成， ③如果增加3张丙卡片，则卡片拼成图形的总面积为， ，， 增加3张丙卡片，能除尽， 增加3张丙卡片就可以拼成． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $