河南省濮阳外国语学校2024-2025学年高二上学期开学检测数学试卷

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学开学检测卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学期末模拟卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C D C B D B 1．B 【详解】因为，故. 故选：B. 2．C 【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为，由分层随机抽样知，三个班级优秀学生名额分别为8，6，10，所以高三年级三个班优秀学生总人数为人. 故选：C 3．C 【详解】将小丽月份每个月的跑步里程从小到大排列：. 因为6，所以小丽月份每个月的跑步里程的分位数为254公里. 故选：C. 4．D 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 5．C 【详解】由，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 6．B 【详解】由正弦定理，即， ， 因为，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：B 7．D 【详解】，，∵， ∴，即，∴. 故选：D. 8．B 【详解】显然，两两垂直，其中， 故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球， 故外接球半径为， 故三棱锥外接球表面积为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD AC 9．ABC 【详解】A选项，方法一： ， ， 又 ， 方法二：设， 则， 故， 又，故，故A正确； B选项，， ， ， ∴，故B正确； C选项，方法一：， ，， 将①式两边乘以得，代入②式得或， 或或； 方法二：设， 且不恒等于0， ，即或，故C正确； D选项，当时，，但虚数与不能比较大小，故D不正确. 故选：ABC 10．ABD 【详解】对于A，因为，故A正确． 对于B，因为 ，故B正确． 对于C，因为，故C错误． 对于D，设与的夹角为θ，则在上的投影为，由图可知 当点在点时，此时在上的投影最大，最大值为，当点在点时，此时在上的投影最小，最小值为， 所以，即的取值范围为．故D正确． 故选：ABD 11．AC 【详解】对于A，由正方体可得平面平面，且平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，所以四面体的体积为， 所以四面体的体积为定值，故 A正确； 对于B，当与重合时，， 所以的最小值不为，故B错误； 对于C， 连接，，由正方体可得，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为，所以（或其补角）为直线与所成的角， 由图可得当与重合时，此时最大，故此时直线与所成的角最大， 所以四面体即四面体的外接球即为正方体的外接球， 所以外接球的直径为，即， 所以四面体的外接球的体积为，故D错误； 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．3 13．4 14． 12．3 【详解】由是纯虚数，得，解得，， 所以. 故答案为：3 13．4 【详解】设第五个值为， 则由该样本的平均数为2，可知，解得. 则样本方差. 故答案为：4 14． 【详解】设塔高，由， 则，， 在中，由余弦定理得， 则，解得或（舍去）. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）由题意可得：每组的频率依次为， 则，则，解得， （1分） 因为，则成绩的上四分位数为分.（3分） 平均值为：，（5分） 方差为：（8分） （2）样本A的，样本B的， 所以500人的平均分为，（10分） 混合后样本的方差为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）在中，由正弦定理，即，解得，（2分） 所以或.（3分） （2）因为，即，化简得①.（5分） 法一：在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 又，所以， 在中，由余弦定理可得，所以，则②.（8分） 联立①②得，即，解得或（舍）或（舍）. 所以.（10分） 法二： 延长至点，使得，连接， 由题意，则，即，整理得③.（8分） 联立①③，，解得或（舍）. 所以.（10分） （3）在内作，所以，设，（11分） 在中，由正弦定理知，即，知，（13分） 所以， 所以.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）设事件表示“乙选手能正确回答第轮问题”， 所以，（2分） 设事件表示“乙选手进入第三轮才被淘汰”，即甲选手第一、二轮的问题回答正确，而第三轮的问题回答错误， 则.（5分） （2）设事件表示“甲选手能正确回答第轮问题”，所以，（7分） 设表示“甲选手通过全部考核”，则．（10分） 设表示“乙选手通过全部考核”，则．（12分） 则至多有一名选手通过全部考核的概率为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）分别为的中点，．（1分） 平面平面平面．（3分） （2）如图，连接．易得. ，（5分） .（6分） 平面平面， 平面.（8分） （3）将直三棱柱补成直四棱柱，设的中点分别为，，连接，设与的交点为．（9分） ，四边形是平行四边形，． ，即，，，四点共面．（10分） ，四边形是平行四边形，． 由（2）可知平面平面，（11分） 由，得，即点到平面的距离为，（12分） 当点在的三边上运动时，，易得， 当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为， 此时取得最小值，最小值为．（14分） 如图，过作，垂足为。易得， 则，.（16分） 当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为． 故的取值范围为．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，（1分） 由余弦定理， 所以，即，（2分） 若，等式不成立，则，可得，（3分） 因为，所以.（4分） （2） 由余弦定理，即，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，（6分） 因为为边中点，所以， 所以 ，（8分） 所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.（9分） （3）. 又， .（10分） 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立.（11分） 由余弦定理得， 所以，即， 则，（12分） 令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则，（14分） 令，则在上递减， 当即时，有最大值，（16分） 此时有最小值（此时与可以同时取到）（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高二数学上学期开学检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（    ） A．16 B．30 C．24 D．18 3．马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（    ） 月份 7月 8月 9月 10月 11月 12月 跑步里程 310 254 220 210 248 300 A．210公里 B．251公里 C．254公里 D．248公里 4．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 5．已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（   ） A．3 B．5 C． D． 6．在中，若，则是（ ）． A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 7．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则或 D．若，则 10．如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 11．如图，正方体的棱长为1，是线，段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．四面体的体积为定值 B．的最小值为 C．平面 D．当直线与所成的角最大时，四面体的外接球的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,其中第13题第一空2分，第二空3分． 12．已知，若复数是纯虚数，则 ． 13．样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为 ． 14．如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某社区进行了一场AI知识竞赛，满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取100人的答卷作为样本A，并根据成绩绘制了频率分布直方图. (1)估计样本的上四分位数和方差 (2)为了进一步提高满意度，工作人员又从剩余答卷中抽取了400人的答卷作为样本B，计算得到这些答卷得分的平均数为69，方差比样本A的方差多1，之后将这两组样本混合，估计混合后样本的方差． 16．（15分） 记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若是的中点，且，求； (3)若，求的面积． 17．（15分） 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求乙选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求至多有一名选手通过全部考核的概率. 18．（17分） 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围． 19．（17分） 在中，，，对应的边分别为，，，. (1)求A； (2)若为边中点，，求的最大值； (3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学开学检测卷·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C D C B D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ABD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．3 13．4 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）由题意可得：每组的频率依次为， 则，则，解得， （1分） 因为，则成绩的上四分位数为分.（3分） 平均值为：，（5分） 方差为：（8分） （2）样本A的， 样本B的， 所以500人的平均分为，（10分） 混合后样本的方差为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）在中，由正弦定理，即，解得，（2分） 所以或.（3分） （2）因为，即，化简得①.（5分） 法一：在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 又，所以， 在中，由余弦定理可得，所以，则②.（8分） 联立①②得，即，解得或（舍）或（舍）. 所以.（10分） 法二： 延长至点，使得，连接， 由题意，则，即，整理得③.（8分） 联立①③，，解得或（舍）. 所以.（10分） （3）在内作，所以，设，（11分） 在中，由正弦定理知，即，知，（13分） 所以， 所以.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）设事件表示“乙选手能正确回答第轮问题”， 所以，（2分） 设事件表示“乙选手进入第三轮才被淘汰”，即甲选手第一、二轮的问题回答正确，而第三轮的问题回答错误， 则.（5分） （2）设事件表示“甲选手能正确回答第轮问题”，所以，（7分） 设表示“甲选手通过全部考核”，则．（10分） 设表示“乙选手通过全部考核”，则．（12分） 则至多有一名选手通过全部考核的概率为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）分别为的中点，．（1分） 平面平面平面．（3分） （2）如图，连接．易得. ，（5分） .（6分） 平面平面， 平面.（8分） （3）将直三棱柱补成直四棱柱，设的中点分别为，，连接，设与的交点为．（9分） ，四边形是平行四边形，． ，即，，，四点共面．（10分） ，四边形是平行四边形，． 由（2）可知平面平面，（11分） 由，得，即点到平面的距离为，（12分） 当点在的三边上运动时，，易得， 当与重合时，取得最大值，则取得最小值，最小值为， 此时取得最小值，最小值为．（14分） 如图，过作，垂足为。易得， 则，.（16分） 当与重合时，取得最大值，则取得最大值，最大值为． 故的取值范围为．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，（1分） 由余弦定理， 所以，即，（2分） 若，等式不成立，则，可得，（3分） 因为，所以.（4分） （2） 由余弦定理，即，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，（6分） 因为为边中点，所以， 所以 ，（8分） 所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.（9分） （3）. 又， .（10分） 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立.（11分） 由余弦定理得， 所以，即， 则，（12分） 令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则，（14分） 令，则在上递减， 当即时，有最大值，（16分） 此时有最小值（此时与可以同时取到）（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期开学检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第二册全部内容。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40，30，50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为（    ） A．16 B．30 C．24 D．18 3．马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（    ） 月份 7月 8月 9月 10月 11月 12月 跑步里程 310 254 220 210 248 300 A．210公里 B．251公里 C．254公里 D．248公里 4．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 5．已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（   ） A．3 B．5 C． D． 6．在中，若，则是（ ）． A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 7．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则或 D．若，则 10．如图，已知点G是边长为2a的正六边形ABCDEF内一点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 11．如图，正方体的棱长为1，是线，段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．四面体的体积为定值 B．的最小值为 C．平面 D．当直线与所成的角最大时，四面体的外接球的体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，若复数是纯虚数，则 ． 13．样本中共有5个数据值，其中前四个值分别为1，2，3，5，第五个值丢失，若该样本的平均数为2，则样本方差为 ． 14．如图，小明为了测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，则塔高 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某社区进行了一场AI知识竞赛，满分100分.答题完成后，工作人员从中随机抽取100人的答卷作为样本A，并根据成绩绘制了频率分布直方图. (1)估计样本的上四分位数和方差 (2)为了进一步提高满意度，工作人员又从剩余答卷中抽取了400人的答卷作为样本B，计算得到这些答卷得分的平均数为69，方差比样本A的方差多1，之后将这两组样本混合，估计混合后样本的方差． 16．（15分） 记的内角的对边分别为，已知. (1)若，求； (2)若是的中点，且，求； (3)若，求的面积． 17．（15分） 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰．已知甲选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，乙选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且两位选手各轮问题能否正确回答互不影响． (1)求乙选手进入第三轮才被淘汰的概率； (2)求至多有一名选手通过全部考核的概率. 18．（17分） 如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点，，. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)若点在的三边上运动，直线与平面所成的角为，求的取值范围． 19．（17分） 在中，，，对应的边分别为，，，. (1)求A； (2)若为边中点，，求的最大值； (3)奥古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年-1857年），法国著名数学家，柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立.求的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$