第二十四章 一元二次方程（单元测试·提升卷）数学冀教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，含有两个未知数，是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．，是一元二次方程，故本选项符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．3，1 B．3，6 C．， D．3， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解答关键是熟知一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，c为常数项，注意系数要带着前面的符号．先化为一般形式，再找出二次项和一次项的系数即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为， ∴二次项系数为3，一次项系数为， 故选：D． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，根据完全平方公式将方程化成的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即． 故选：D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）现有如下两个方程，①，②，说法正确的是（   ） A．①和②都是一元二次方程 B．①和②都不是一元二次方程 C．只有①是一元二次方程 D．只有②是一元二次方程 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握相关的定义，是解答本题的关键．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义判断即可作答． 【详解】解；①，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，故是一元二次方程， ②，含有2个未知数，故不是一元二次方程， 故选：C． 5．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）有1人感染了流感，经过两轮传染后共有25人被感染，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，如果不采取防护措施，则三轮传染后会有（　　）人感染流感． A．50 B．75 C．125 D．65 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均每人传染了人，根据题意列出方程：求解即可；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 则第三轮传染后有（人）； 故选：C ． 6．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴可以为：， ∴满足要求的方程为：， 故选：A． 7．（2025·河北邯郸·三模）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（    ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，一元二次方程的应用，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，， 解得，， 又因为n为正整数，所以， 即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故选：D． 8．（2025·河北邯郸·一模）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．两根之和为定值 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：）在之间．每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的面积成正比例，且比例系数为．如果薄板的边长为时，每张薄板的出厂价为元．工厂根据需要生产了一种合金薄板，出厂价为元，那么生产的这种薄板的边长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系． 根据题意，由边长为时出厂价为元，可求出基础价，再利用出厂价为10元时的总价，列方程求解即可． 【详解】解：当边长为时，面积， 浮动价为（元）， 基础价为（元）， 设生产的这种薄板的边长为，，则， 解得，， 边长在范围内，符合题意， 故选： ． 10．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当的长是时，的长为； ②这两个正方形的面积之和可以是； ③这两个正方形的面积之和可以是． 其中，正确结论的个数是（      ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及正方形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：①当的长是时，的长是， 故结论①正确； ②假设这两个正方形的面积之和可以是， 设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即这两个正方形的面积之和不可以是， 故结论②不正确； ③假设这两个正方形的面积之和可以是， 设的长为，则的长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ， 符合题意， 假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是， 故结论③正确， 综上所述：①③正确， 故选：C． 11．（24-25九年级上·河北承德·期末）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） ①两边同时除以得； ②整理得，∵，，，，∴； ③整理得，配方得，∴，∴，∴，； ④移项得：，∴或，∴，， A．① B．①③ C．④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查解一元二次方程，根据解一元二次方程的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：①忽略了，这种情况，故①解法错误； ②，整理得：，故，故②解法错误； ③，配方得：，即：，原解法配方错误，故③解法错误； ④移项得：，∴或，∴，，故④解法正确； 故选C． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2．①根据方程解的情况可得出x1•x2=2n＞0、y1•y2=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，进而得出这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，结合x1、x2、y1、y2均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论． 【详解】设方程的两根为x1、x2，方程同的两根为y1、y2． ①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0， ∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n， ∴这两个方程的根都是负根，①正确； ②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正， ∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0， ∴m2-2n≥0，n2-2m≥0， ∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确； ③∵y1•y2=2m，y1+y2=-2n， ∴2m-2n=y1•y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1， ∵y1、y2均为负整数， ∴（y1+1）（y2+1）≥0， ∴2m-2n≥-1． ∵x1•x2=2n，x1+x2=-2m， ∴2n-2m=x1•x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1， ∵x1、x2均为负整数， ∴（x1+1）（x2+1）≥0， ∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1． ∴-1≤2m-2n≤1，③成立． 综上所述：成立的结论有①②③． 故选D． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．熟练掌握若，是方程的两个根，则，是解题的关键．由题意知，，，再把展开，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在综合实践课上，嘉淇要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则嘉淇添加的边框的宽度是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，掌握以上知识是解题的关键； 设小华添加的边框的宽度是，根据整个图形面积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小华添加的边框的宽度是， 由题意得：， 解得：，（舍去）； 故小华添加的边框的宽度是； 故答案为1． 15．（2025·河北保定·三模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 【答案】或1 【分析】此题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分和，依据新定义列出关于的分式方程，化为一元二次方程，解方程并检验即可求解． 【详解】①若，即，则，即， 解得：或 负值舍去， 经检验：是原分式方程的解； ②若，即，则，即， 解得：， 经检验：是原分式方程的解； 综上，方程的解为或1． 故答案为：或1． 16．（24-25八年级下·浙江·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． ①根据倍根方程定义即可得到方程是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方程的定义得到或即或，则；③根据已知条件得到，解方程得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：①， ， 解得：， 方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得： 是倍根方程， 或即或 ， 故②不正确； ③， 解方程得： ， 故③正确； ④设方程的根为， 关于的方程是倍根方程， 令， ；故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法解下列方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ∴ ， 解得，． （2）解：， 解得， （3）解：， ， ，， 解得：，． 18．（8分）（2025·河北邯郸·三模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个解为，求的值； (2)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根的判别式的意义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入方程，即可求出m的值； （2）求出的值，再根据根的判别式的意义判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或． （2）证明：， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 19．（8分）（23-24九年级上·河北保定·期中）在学习一元二次方程后，老师出示了这样一个题目： 解方程：． 嘉嘉同学的解答过程如下： 方程两边同时除以，第一步 得，第二步 所以，第三步 因此，方程的解为．第四步 (1)判断嘉嘉的解法是否正确，若不正确，请说明原因； (2)根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的解法不正确．原因见解析 (2)，．过程见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是关键； （1）由方程两边不能同时除以，不符合等式的性质可得答案； （2）先移项，把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； 【详解】（1）解：嘉嘉的解法不正确． 原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以，不符合等式的性质； （2）解： ， ，即， 或， ∴方程的解为，． 20．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析； (2)①是直角三角形，见解析；②或． 【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论是解题关键. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）①时，方程为，解得， ，即可判断；②根据，得出，、中有一个数为5，可求得，， 分类讨论即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：①时，方程为； 解得， ∴，， ∵，； ∴ ∴是直角三角形； ②∵， ∴， ∴、中有一个数为5， 当时，原方程为， 即， 解得，， 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为14； 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为16． 21．（9分）（23-24八年级下·河北·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 22．（9分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照元/份出售时，估计每天只能售出份，售价每降价元，就能多售出份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： 元/碗 碗 (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理． ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗； ②直接写出当凉面定价__________元/碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元． 【答案】(1)； (2)9元 (3)①每碗凉面的定价为10元时，当天米线、凉面销售总量最多，为270碗；②8 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意列出，待定系数法求得； （2）根据题意得，解一元二次方程，即可求解． （3）①根据题意得出，设米线和凉面销售总量为，则，根据一次函数的性质，即可求解； ②根据销量乘以定价，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 设 当时，，当时， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意， 解得：， ∵为整数， ∴，即每碗米线定价元 （3）解：①∵，即 设米线和凉面销售总量为，则 ∵ 随的增大而增大 又∵ ∴当取得最大值时，最大值为 ∴每碗凉面的定价为元时，当天米线和凉面销售总量最多，为碗； ②依题意， 解得：或（舍去） 故答案为：． 23．（11分）（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；②（1）中的正方形，面积较大． 【分析】（1）①由正方形的性质结合题意可求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可求出，最后根据正方形的面积公式列方程即可； ②根据直接开平方法求出x的值，即可求出和的长，最后根据求解即可； （2）①过点A作，设为裁剪线，将绕点A逆时针旋转得出，从而可证四边形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，可求出的长，从而可求出，最后比较即可． 【详解】（1）解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②解：， ， ∴，（舍）， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：①过点A作，设为裁剪线， ∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴，， ∴将绕点A逆时针旋转得出，如图， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴C、D、N三点共线， ∴， ∴四边形为矩形， ∴矩形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知， 又∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中的正方形，面积较大． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 24．（12分）（24-25八年级下·河北沧州·期中）背景情境： 赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题： 题目：已知实数、满足，，且，求的值． 解：根据题意得 与为方程的两根， ∴， ∴ 请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考． 解决问题： （1）已知实数、满足，，且，求的值． （2）设实数、分别满足，，且，求的值． （3）已知关于的方程有两个根、满足．当的三边、、满足，，（a≠b）．求的值以及的面积． 【答案】（1）-6；（2）6；（3），面积为1 【分析】（1）根据题意可得，，利用完全平方公式求得的值，变形整理所求式子，然后代入求值即可； （2）将方程等号两边同时除以b2得到，再根据题意计算求值即可； （3）利用根与系数的关系结合求得m的值，根据题意可得与是方程的两个根，同例题整理得，得到△ABC为直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：（1）由题可知：与为方程的两根， ∴，， ∴， ∴； （2）∵， 显然， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴与为方程的两根， ∴； （3）， ，， ∴， ∴ ， ∴， ∴即， 即， ∵ ∴与是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， 则. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及其应用，勾股定理的逆定理等，韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章 一元二次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D D C C A D D C C C D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14．1 15．或1． 16． ①③④ 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ，，， ∴ ， 解得，．······························2分 （2）解：， 解得，······························4分 （3）解：， ， ，， 解得：，．······························7分 18．（8分） 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根的判别式的意义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入方程，即可求出m的值； （2）求出的值，再根据根的判别式的意义判断即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或．······························4分 （2）证明：， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根．······························8分 19．（8分） 【答案】(1)嘉嘉的解法不正确．原因见解析 (2)，．过程见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解的方法解方程是关键； （1）由方程两边不能同时除以，不符合等式的性质可得答案； （2）先移项，把方程化为，再利用因式分解的方法解方程即可； 【详解】（1）解：嘉嘉的解法不正确． 原因是第一步出现错误，方程两边不能同时除以，不符合等式的性质；······························4分 （2）解： ， ，即， 或， ∴方程的解为，．······························8分 20．（8分） 【答案】(1)见解析； (2)①是直角三角形，见解析；②或． 【分析】本题考查了于一元二次方程的判别式、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的定义等知识点，熟记相关结论是解题关键. （1）对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． （2）①时，方程为，解得， ，即可判断；②根据，得出，、中有一个数为5，可求得，， 分类讨论即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴方程有两个不相等的实数根······························2分 （2）解：①时，方程为； 解得， ∴，， ∵，； ∴ ∴是直角三角形； ······························4分 ②∵， ∴， ∴、中有一个数为5， 当时，原方程为， 即， 解得，， 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为14； 当时，原方程为，解得，， 等腰三角形的周长为16．······························8分 21．（9分） 【答案】(1) (2)自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【详解】（1）解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：；······························3分 （2）解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：；······························6分 （3）解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚．······························9分 22．（9分） 【答案】(1)； (2)9元 (3)①每碗凉面的定价为10元时，当天米线、凉面销售总量最多，为270碗；②8 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意列出，待定系数法求得； （2）根据题意得，解一元二次方程，即可求解． （3）①根据题意得出，设米线和凉面销售总量为，则，根据一次函数的性质，即可求解； ②根据销量乘以定价，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 设 当时，，当时， ∴ 解得： ∴······························2分 （2）解：依题意， 解得：， ∵为整数， ∴，即每碗米线定价元······························4分 （3）解：①∵，即 设米线和凉面销售总量为，则 ∵ 随的增大而增大 又∵ ∴当取得最大值时，最大值为 ∴每碗凉面的定价为元时，当天米线和凉面销售总量最多，为碗；······························6分 ②依题意， 解得：或（舍去） 故答案为：．······························9分 23．（11分） 【答案】(1)①，；② (2)①见解析；②（1）中的正方形，面积较大． 【分析】（1）①由正方形的性质结合题意可求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可求出，最后根据正方形的面积公式列方程即可； ②根据直接开平方法求出x的值，即可求出和的长，最后根据求解即可； （2）①过点A作，设为裁剪线，将绕点A逆时针旋转得出，从而可证四边形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，可求出的长，从而可求出，最后比较即可． 【详解】（1）解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，；······························2分 ②解：， ， ∴，（舍）， ∴，， ∴． 故答案为：；······························4分 （2）解：①过点A作，设为裁剪线， ∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴，， ∴将绕点A逆时针旋转得出，如图， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴C、D、N三点共线， ∴， ∴四边形为矩形， ∴矩形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大；······························7分 ②由（2）①可知， 又∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中的正方形，面积较大．······························11分 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 24．（12分） 【答案】（1）-6；（2）6；（3），面积为1 【分析】（1）根据题意可得，，利用完全平方公式求得的值，变形整理所求式子，然后代入求值即可； （2）将方程等号两边同时除以b2得到，再根据题意计算求值即可； （3）利用根与系数的关系结合求得m的值，根据题意可得与是方程的两个根，同例题整理得，得到△ABC为直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：（1）由题可知：与为方程的两根， ∴，， ∴， ∴；······························3分 （2）∵， 显然， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴与为方程的两根， ∴；······························6分 （3）， ，， ∴， ∴ ， ∴，······························9分 ∴即， 即， ∵ ∴与是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， 则.······························12分 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及其应用，勾股定理的逆定理等，韦达定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 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9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：）在之间．每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的面积成正比例，且比例系数为．如果薄板的边长为时，每张薄板的出厂价为元．工厂根据需要生产了一种合金薄板，出厂价为元，那么生产的这种薄板的边长为（  ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当的长是时，的长为； ②这两个正方形的面积之和可以是； ③这两个正方形的面积之和可以是． 其中，正确结论的个数是（      ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 11．（24-25九年级上·河北承德·期末）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） ①两边同时除以得； ②整理得，∵，，，，∴； ③整理得，配方得，∴，∴，∴，； ④移项得：，∴或，∴，， A．① B．①③ C．④ D．③④ 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知，是方程的两个根，则 ． 14．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在综合实践课上，嘉淇要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则嘉淇添加的边框的宽度是 ． 15．（2025·河北保定·三模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 16．（24-25八年级下·浙江·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法解下列方程． (1) (2) (3) 18．（8分）（2025·河北邯郸·三模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个解为，求的值； (2)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 19．（8分）（23-24九年级上·河北保定·期中）在学习一元二次方程后，老师出示了这样一个题目： 解方程：． 嘉嘉同学的解答过程如下： 方程两边同时除以，第一步 得，第二步 所以，第三步 因此，方程的解为．第四步 (1)判断嘉嘉的解法是否正确，若不正确，请说明原因； (2)根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 20．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 21．（9分）（23-24八年级下·河北·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22．（9分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照元/份出售时，估计每天只能售出份，售价每降价元，就能多售出份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： 元/碗 碗 (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理． ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗； ②直接写出当凉面定价__________元/碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元． 23．（11分）（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 24．（12分）（24-25八年级下·河北沧州·期中）背景情境： 赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题： 题目：已知实数、满足，，且，求的值． 解：根据题意得 与为方程的两根， ∴， ∴ 请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考． 解决问题： （1）已知实数、满足，，且，求的值． （2）设实数、分别满足，，且，求的值． （3）已知关于的方程有两个根、满足．当的三边、、满足，，（a≠b）．求的值以及的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十四章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（   ） A．3，1 B．3，6 C．， D．3， 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）现有如下两个方程，①，②，说法正确的是（   ） A．①和②都是一元二次方程 B．①和②都不是一元二次方程 C．只有①是一元二次方程 D．只有②是一元二次方程 5．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）有1人感染了流感，经过两轮传染后共有25人被感染，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，如果不采取防护措施，则三轮传染后会有（　　）人感染流感． A．50 B．75 C．125 D．65 6．（24-25八年级下·河北张家口·期末）若是某个一元二次方程的一个根，则这个一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·河北邯郸·三模）如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（    ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A．9 B．10 C．11 D．12 8．（2025·河北邯郸·一模）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．两根之和为定值 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有两个不相等的实数根 9．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：）在之间．每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的面积成正比例，且比例系数为．如果薄板的边长为时，每张薄板的出厂价为元．工厂根据需要生产了一种合金薄板，出厂价为元，那么生产的这种薄板的边长为（  ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论： ①当的长是时，的长为； ②这两个正方形的面积之和可以是； ③这两个正方形的面积之和可以是． 其中，正确结论的个数是（      ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 11．（24-25九年级上·河北承德·期末）关于的方程，下列解法完全正确的是（    ） ①两边同时除以得； ②整理得，∵，，，，∴； ③整理得，配方得，∴，∴，∴，； ④移项得：，∴或，∴，， A．① B．①③ C．④ D．③④ 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②；③，其中正确结论的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知，是方程的两个根，则 ． 14．（24-25九年级上·河北邢台·期中）在综合实践课上，嘉淇要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则嘉淇添加的边框的宽度是 ． 15．（2025·河北保定·三模）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 ． 16．（24-25八年级下·浙江·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）用适当方法解下列方程． (1) (2) (3) 18．（8分）（2025·河北邯郸·三模）已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个解为，求的值； (2)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． 19．（8分）（23-24九年级上·河北保定·期中）在学习一元二次方程后，老师出示了这样一个题目： 解方程：． 嘉嘉同学的解答过程如下： 方程两边同时除以，第一步 得，第二步 所以，第三步 因此，方程的解为．第四步 (1)判断嘉嘉的解法是否正确，若不正确，请说明原因； (2)根据你对一元二次方程解法的理解，写出你的解答过程． 20．（8分）（24-25九年级上·河北唐山·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5， ①若时，请判断的形状并说明理由； ②若是等腰三角形，求等腰三角形的周长． 21．（9分）（23-24八年级下·河北·期末）如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） (1)若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； (3)若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22．（9分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照元/份出售时，估计每天只能售出份，售价每降价元，就能多售出份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： 元/碗 碗 (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理． ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗； ②直接写出当凉面定价__________元/碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元． 23．（11分）（24-25九年级上·河北保定·期中）图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． (1)①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． (2)①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 24．（12分）（24-25八年级下·河北沧州·期中）背景情境： 赛赛同学在学习《一元二次方程》中做过这样一道题： 题目：已知实数、满足，，且，求的值． 解：根据题意得 与为方程的两根， ∴， ∴ 请认真阅读赛赛同学解题的方法，仔细思考． 解决问题： （1）已知实数、满足，，且，求的值． （2）设实数、分别满足，，且，求的值． （3）已知关于的方程有两个根、满足．当的三边、、满足，，（a≠b）．求的值以及的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$