第十三章 全等三角形（单元测试·提升卷）数学冀教版2024八年级上册

2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章 全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、已知一角和一边，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； B、已知两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； C、因为，所以三条线段不能构成三角形，故该选项不能画出唯一，不合题意； D、已知两角及夹边相等，由能判定三角形全等，故该选项能画出唯一，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定； 根据即可解答． 【详解】解：有图形可以看到这个三角形还能明显看到的条件为两个角和一条边，且是两角及其夹边，因此符合． 故选D． 3．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（    ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题，全等三角形的性质和判定，绝对值的意义，掌握命题与逆命题的关系是解题的关键． 【详解】命题甲：“全等三角形的对应角相等”是真命题．其逆命题为“对应角相等的三角形全等”． 逆命题的题设是“对应角相等”，而非“两个角相等”， 故选项A错误． 由于对应角相等但边不一定相等，无法保证全等（需对应边相等），故逆命题为假．选项C错误． 命题乙：例如，，时，但，故“若，则”是假命题．选项B正确． 命题乙的逆命题为：“若，则”是真命题（因时绝对值必相等），选项D错误． 故选：B． 4．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，再由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（2025·河北唐山·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 利用“边角边”证得，由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：设小正方形的边长为， 依题得：，，， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：． 6．（2025·河北邯郸·一模）如图所示，以下是嘉淇通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线交于点P，点D为延长线上一点．根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本作图，得，根据三角形外角性质，得，，代换解答即可． 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，三角形外角性质，等量代换的思想，熟练掌握基本作图，三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得，， 故A，B正确，不符合题意； 根据三角形外角性质，得， 故C错误，符合题意； 由，， 得， 故D正确，不符合题意． 故选：C． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段米，于点，米，设点于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所示，与全等，的值为， 故选：A ． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，平分，于点，已知的面积为5，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 9．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，的延长线分别交于点，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角和定理的运用，根据三角形全等的性质可得，根据三角形的外角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是，的外角， ∴， ∴， 故选：C． 10．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，、E是直线上不重合的两点，是的角平分线，于点A，若的周长为10，则的周长可能是（     ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键，同时熟练掌握三角形的任两边之和大于第三边． 延长延长至点F，使得，连接，证得，即得，再根据三角形的三边关系即可证得结论． 【详解】当点E在点A右侧时，延长至点F，使得，连接，如图所示，      ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴的周长大于， 如图2.26所示，当点在点A左侧时，同理可证的周长大于，    符合要求的为11， 故选D 11．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，过点作，证明，得到，再证明，得到，进而求出的长，分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴剩余木板（阴影部分）的面积为 ； 故选B． 12．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】在上截取，连接， 先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，由此即可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵平分，平分， ，， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和三角形外角的性质等知识，根据三角形外角的性质得到，由全等三角形的性质得到，最后由三角形外角的性质即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 14．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，明明与新新玩跷跷板游戏，如果过跷跷板的支点的水平线距地面的距离是，当新新从水平位置的处下降至处时明明上升至处（），此时明明所乘坐的跷跷板离地面的高度是 ．    【答案】80 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，由得出，从而可得出结论 【详解】解：∵， ∴， 又水平线距地面的距离是， ∴明明所乘坐的跷跷板离地面的高度， 故答案为：80 15．（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，E为AB上一动点，的最小值为2.4，过点B作，且，连接、，则的面积为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是等面积法的应用，全等三角形的判定与性质，如图，过作，交的延长线于，证明，可得，再利用面积的和差进一步求解可得答案． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于，而，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的最小值为2.4， ∴此时为上的高， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为： 16．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 【答案】 或或 【分析】①根据题意可得，再由即可求解； ②分三种情况：在上，点在上；点与点重合；点与重合，分别画出图形解答即可； 本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①由题意得，， 当点在上时，， 故答案为：； ②由题意得，， 如图，在上，点在上时，作，，则，， ∵， ∴， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； ②如图，当点与点重合时，则，， 此时只能是，则， ∴， 解得； ③如图，当点与重合时，则，，， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； 综上所述，当秒或秒或秒时，与全等， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知：如图，在中，E是的中点，，交的延长线于点F．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题．由平行线的性质，得，，然后证明≌，即可得到答案． 【详解】证明：∵， ∴，． ∵点为的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 18．（8分）（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)与的位置关系是什么？并加以证明． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)，证明过程见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，运用边角边即可求证； （2）由全等三角形的性质可得，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】（1）证明：， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：，理由如下， ∵， ∴， ∴． 19．（8分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）嘉淇遇到下面的数学问题： 如图，与相交于点．求证：． 嘉淇是这样证明的： 证明：在和中， ， ① ．② 在和中，， ，③ ．④ (1)指出嘉淇的证明从第几步开始出现错误，并说明错误的原因． (2)写出正确的证明过程． 【答案】(1)从第③步开始出现错误，原因：与不是两条边的夹角，不符合“SAS”的条件 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 对于（1），先根据“边角边”证明，可得，下面给出的条件不符合“两边夹一角”证明，判断即可； 对于（2），先根据“边角边”证明，可得，再根据“角角边”证明可得答案． 【详解】（1）解：从第③步开始出现错误． 原因：与不是两条边的夹角，不符合“SAS”的条件； （2）证明：在和中， ∵， ， ． ， ，即． 在和中，， ， ． 20．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）情境 如图1，为了测量池塘两端，之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，使平分，(点在同一平面内)，此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离． 论证 （1）请你证明“情境”中的结论正确； 探究   （2）请你再设计一种测量池塘两端，之间距离的方案，并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形，可以借助刻度尺或圆规)． 【答案】（1）证明见解析（2）见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的应作，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明，即可解答； （2）在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 利用证明即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中 ； （2）解：如图，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 理由如下： ，，， ， ． 21．（9分）（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图1和图2，在等边中，．，D为射线上一点，连接并延长至E，使，连接，将线段绕点A顺时针旋转并延长，交所在直线于点F． (1)如图1，当D为中点时， ①求证：； ②判断点F是否与点B重合： （填“是”或“否”）； (2)如图2，当点D在线段上，且时， 嘉嘉说：在上另取点M，使； 琪琪说：交直线于点M． 连接，请选择其中一人的说法证明，并求的长； (3)设，，当点D在射线上运动时，若，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)①见解析；②是 (2)选择嘉嘉的说法，见解析， (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． （1）①根据进行证明即可； ②根据三角形全等以及等边三角形的性质求出以及的长，进而进行判断； （2）任选一个说法，先证明，然后证明即可； （3）过E作的平行线，根据（2）方法将转化到上，然后进行y和x的比较，求出x的取值范围． 【详解】（1）解：①证明：∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴； ②解：∵， ∴，， ∴， ∴A，B，F共线， 又∵， ∴， ∴F和B重合； 故答案为：是； （2）证明：嘉嘉的说法：， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得 ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 琪琪的说法：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得 ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （3）解：当点D在线段上时， 由（2）琪琪说知：， ∵，即与矛盾，故点在线段上这种情况不存在， ∴点D在线段延长线上， 过E作交于M，如图： ∵ ∴，， ∵ ∴， ∴，， ∵ ∴ 由旋转可得 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵D在延长线上， ∴， ∴，即， ∴， 即． 22．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，顶点在过、两点的直线上： (1)若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； (2)若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； (3)①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理、外角定理． （1）①利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明； ②由得到，，进而求解即可； （2）根据得，据此即可求解； （3）①利用三角形的外角性质得出，再利用证明，得，可得答案； ②设，，根据，及三角形的内角和证出，再利用证明，得，，可得答案． 【详解】（1）①证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②∵ ∴， ∴； （2）解：， 理由：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）①， 理由：∵， ∴， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ， ∴； ②， 理由：如图所示，设和交于点F， 设，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．（11分）（24-25八年级上·河北邢台·期中）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是12，求与的面积之和． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论； （3）由（1）可知，由（2）可知，进而可得，，然后根据三角形之间的面积关系即可得出结论； （4）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， ； （3）证明：由（1）可知，由（2）可知， ，， ； （4）解：，，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为6． 24．（12分）（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点 （3）解：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴ 由“K字模型”可得： 即： ∵ ∴ 【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章 全等三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D B B B C A C C D B B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．/度 14．80 15．14 16． 或或 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题．由平行线的性质，得，，然后证明≌，即可得到答案． 【详解】证明：∵， ∴，． ∵点为的中点， ∴．·····································3分 在和中， ， ∴，·····································6分 ∴．······································7分 18．（8分） 【答案】(1)证明过程见详解 (2)，证明过程见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得，，运用边角边即可求证； （2）由全等三角形的性质可得，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】（1）证明：， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴；·····································3分 （2）证明：，理由如下，·····································4分 ∵， ∴， ∴．·····································8分 19．（8分） 【答案】(1)从第③步开始出现错误，原因：与不是两条边的夹角，不符合“SAS”的条件 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 对于（1），先根据“边角边”证明，可得，下面给出的条件不符合“两边夹一角”证明，判断即可； 对于（2），先根据“边角边”证明，可得，再根据“角角边”证明可得答案． 【详解】（1）解：从第③步开始出现错误． 原因：与不是两条边的夹角，不符合“SAS”的条件；··································4分 （2）证明：在和中， ∵， ， ． ， ，即．·····································6分 在和中，， ，·····································7分 ．·····································8分 20．（8分） 【答案】（1）证明见解析（2）见解析 【分析】本题主要考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的应作，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用证明，即可解答； （2）在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 利用证明即可． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中 ·····································3分 ；·····································4分 （2）解：如图，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长就是池塘两端之间的距离， 理由如下： ，，， ， ．·····································8分 21．（9分） 【答案】(1)①见解析；②是 (2)选择嘉嘉的说法，见解析， (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． （1）①根据进行证明即可； ②根据三角形全等以及等边三角形的性质求出以及的长，进而进行判断； （2）任选一个说法，先证明，然后证明即可； （3）过E作的平行线，根据（2）方法将转化到上，然后进行y和x的比较，求出x的取值范围． 【详解】（1）解：①证明：∵D是中点， ∴， 在和中， ， ∴；·····································3分 ②解：∵， ∴，， ∴， ∴A，B，F共线， 又∵， ∴， ∴F和B重合； 故答案为：是；·····································4分 （2）证明：嘉嘉的说法：， 在和中， ， ∴； ∴，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得 ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 琪琪的说法：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由旋转可得 ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，；·····································7分 （3）解：当点D在线段上时， 由（2）琪琪说知：， ∵，即与矛盾，故点在线段上这种情况不存在， ∴点D在线段延长线上， 过E作交于M，如图： ∵ ∴，， ∵ ∴， ∴，， ∵ ∴ 由旋转可得 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵D在延长线上， ∴， ∴，即， ∴， 即．·····································9分 22．（9分） 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理、外角定理． （1）①利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明； ②由得到，，进而求解即可； （2）根据得，据此即可求解； （3）①利用三角形的外角性质得出，再利用证明，得，可得答案； ②设，，根据，及三角形的内角和证出，再利用证明，得，，可得答案． 【详解】（1）①证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴，·····································2分 ②∵ ∴， ∴；·····································4分 （2）解：， 理由：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴；·····································6分 （3）①， 理由：∵， ∴， ∴， 即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ， ∴；·····································7分 ②， 理由：如图所示，设和交于点F， 设，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．·····································9分 23．（11分） 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意易得，，，然后可得，于是得解； （2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论； （3）由（1）可知，由（2）可知，进而可得，，然后根据三角形之间的面积关系即可得出结论； （4）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在中，为中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；·····································2分 （2）证明：由（1）可知：， ， ， ， ， ；·····································4分 （3）证明：由（1）可知，由（2）可知， ，， ；·····································7分 （4）解：，，， ， 在和中， ， ， ，·····································9分 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ，， ， ， ， 与的面积之和为6．·····································11分 24．（12分） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由即可求解； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：；·····································2分 （2）证明：作    由“K字模型”可得： ∴ 即：点G是的中点·····································5分 （3）解：作，如图：    ∵四边形和四边形均为正方形 ∴·····································7分 由“K字模型”可得： ·····································9分 即：·····································10分 ∵ ∴·····································12分 【点睛】本题考查了“一线三等角”的全等模型，熟悉模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章 全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（    ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 4．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北唐山·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北邯郸·一模）如图所示，以下是嘉淇通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线交于点P，点D为延长线上一点．根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段米，于点，米，设点于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，平分，于点，已知的面积为5，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，的延长线分别交于点，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，、E是直线上不重合的两点，是的角平分线，于点A，若的周长为10，则的周长可能是（     ）    A．8 B．9 C．10 D．11 11．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知，则的度数为 ． 14．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，明明与新新玩跷跷板游戏，如果过跷跷板的支点的水平线距地面的距离是，当新新从水平位置的处下降至处时明明上升至处（），此时明明所乘坐的跷跷板离地面的高度是 ．    15．（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，E为AB上一动点，的最小值为2.4，过点B作，且，连接、，则的面积为 ． 16．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知：如图，在中，E是的中点，，交的延长线于点F．求证：． 18．（8分）（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)与的位置关系是什么？并加以证明． 19．（8分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）嘉淇遇到下面的数学问题： 如图，与相交于点．求证：． 嘉淇是这样证明的： 证明：在和中， ， ① ．② 在和中，， ，③ ．④ (1)指出嘉淇的证明从第几步开始出现错误，并说明错误的原因． (2)写出正确的证明过程． 20．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）情境 如图1，为了测量池塘两端，之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，使平分，(点在同一平面内)，此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离． 论证 （1）请你证明“情境”中的结论正确； 探究   （2）请你再设计一种测量池塘两端，之间距离的方案，并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形，可以借助刻度尺或圆规)． 21．（9分）（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图1和图2，在等边中，．，D为射线上一点，连接并延长至E，使，连接，将线段绕点A顺时针旋转并延长，交所在直线于点F． (1)如图1，当D为中点时， ①求证：； ②判断点F是否与点B重合： （填“是”或“否”）； (2)如图2，当点D在线段上，且时， 嘉嘉说：在上另取点M，使； 琪琪说：交直线于点M． 连接，请选择其中一人的说法证明，并求的长； (3)设，，当点D在射线上运动时，若，直接写出x的取值范围． 22．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，顶点在过、两点的直线上： (1)若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； (2)若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； (3)①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 23．（11分）（24-25八年级上·河北邢台·期中）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是12，求与的面积之和． 24．（12分）（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章 全等三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（    ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 4．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河北唐山·二模）如图，网格中每个小正方形的边长相等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北邯郸·一模）如图所示，以下是嘉淇通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点E，F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M； ③作射线，与延长线交于点P，点D为延长线上一点．根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段米，于点，米，设点于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，平分，于点，已知的面积为5，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如图，的延长线分别交于点，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，、E是直线上不重合的两点，是的角平分线，于点A，若的周长为10，则的周长可能是（     ）    A．8 B．9 C．10 D．11 11．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，李师傅在四边形木板中裁下3个三角形，已知，，，，，，，则剩余木板（阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知，则的度数为 ． 14．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，明明与新新玩跷跷板游戏，如果过跷跷板的支点的水平线距地面的距离是，当新新从水平位置的处下降至处时明明上升至处（），此时明明所乘坐的跷跷板离地面的高度是 ．    15．（23-24七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，，，E为AB上一动点，的最小值为2.4，过点B作，且，连接、，则的面积为 ． 16．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知：如图，在中，E是的中点，，交的延长线于点F．求证：． 18．（8分）（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)与的位置关系是什么？并加以证明． 19．（8分）（24-25八年级上·河北廊坊·期末）嘉淇遇到下面的数学问题： 如图，与相交于点．求证：． 嘉淇是这样证明的： 证明：在和中， ， ① ．② 在和中，， ，③ ．④ (1)指出嘉淇的证明从第几步开始出现错误，并说明错误的原因． (2)写出正确的证明过程． 20．（8分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）情境 如图1，为了测量池塘两端，之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，使平分，(点在同一平面内)，此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离． 论证 （1）请你证明“情境”中的结论正确； 探究   （2）请你再设计一种测量池塘两端，之间距离的方案，并说明理由(要求写出方案并在图2中画出图形，可以借助刻度尺或圆规)． 21．（9分）（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图1和图2，在等边中，．，D为射线上一点，连接并延长至E，使，连接，将线段绕点A顺时针旋转并延长，交所在直线于点F． (1)如图1，当D为中点时， ①求证：； ②判断点F是否与点B重合： （填“是”或“否”）； (2)如图2，当点D在线段上，且时， 嘉嘉说：在上另取点M，使； 琪琪说：交直线于点M． 连接，请选择其中一人的说法证明，并求的长； (3)设，，当点D在射线上运动时，若，直接写出x的取值范围． 22．（9分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，顶点在过、两点的直线上： (1)若，当点D、E在点A异侧时，如图1． 求证：①； ②； (2)若，当点D、E在点A右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由； (3)①若，且点D、E在点A异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系； ②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系． 23．（11分）（24-25八年级上·河北邢台·期中）利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题． 初步感知 如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使． （1）填空：________．（填“”“”或“”） （2）求证：． （3）试说明：． 拓展应用 （4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是12，求与的面积之和． 24．（12分）（23-24八年级上·河北石家庄·阶段练习）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：    (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________，．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，．求出的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$