精品解析：2025年辽宁省抚顺市新宾县第二中学九年级3月数学月考试题

2025年辽宁省抚顺市新宾县第二中学九年级3月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回； 4．本试题卷包括两部分，三道大题，23道小题，共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 从一个边长为的大立方体挖去一个边长为的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列四个负数中，，，，，最大的负数是（ ） A. B. C. D. 3. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以正五边形的边为边作正方形，延长交于点H，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 5. 下面计算错误的是（　　） A.   B. C. D. 6. 如图，掷飞镖游戏中，掷中阴影部分的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，点D是斜边上的动点（不与点A，B重合），，，垂足分别是点E，F，点Q是的中点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，为一条对角线，且，为的中点，连接，下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 8米 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 12. 如图所示，，点的坐标分别为，．若将线段平移至，，，则的值_______． 13. 如图，在中，，过点B作，交的平分线于点D，与相交于点E．若，，则的长为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，其中，点C为斜边的中点，反比例函数的图象过点C且交线段于点D，连接，若，则k的值为______． 15. 如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点D作的角平分线交于点E，过点E作，垂足为点F，交于点G，若，，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表： 甲水笔 乙水笔 每支进价（元） a 每支利润（元） 2 3 已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等． （1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元． （2）若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元． 18. 2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合素质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回且全部有效．统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整）．请根据图中提供信息，解答下列问题： 七年级学生最关心的问题问卷调查表 亲爱的同学：你好！ 这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选择一项你最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！ （1）此次抽样调查中，共调查了 名学生； （2）将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 度； （3）该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息； （4）已知甲、乙、丙、丁、戊无名学生都最关心“学习成绩”，总这五人中随机先后选取两人参加“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或树状图的方法，求恰好选中甲，乙两人的概率． 19. 晋侯鸟尊作为山西博物馆的镇馆之宝，不仅是西周青铜艺术的杰作，更是见证大国沧桑的国之瑰宝．而木板漆画是山西博物馆的另一件镇馆之宝，填补了北魏前期绘画实物的空缺，在工艺、绘画和书法上有极高的历史和艺术价值．某商店计划购买一批仿制鸟尊工艺品和木板漆画工艺品，已知购买8件鸟尊工艺品和6件木板漆画工艺品需花费2136元，购买5件鸟尊工艺品和7件木板漆画工艺品需花费1764元． （1）求鸟尊工艺品和木板漆画工艺品的单价； （2）该商店计划购买鸟尊工艺品和木板漆画工艺品共100件，其中鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的，当购买多少件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低？最低总费用为多少元？ 20. 随着人工智能、大数据和物联网等技术的不断发展，智慧农业摄像头变得更加智能化和自动化，如图，奶牛养殖户王伯伯想在左侧墙壁上安装一个智能摄像头，为摄像头安装的高度，养殖场所的长度，牛圈护栏高度，已知该摄像头的可视角度，当摄像头与水平面的夹角时恰好可以检测到区域，摄像头与安装墙壁之间的距离忽略不计． （1）求摄像头安装的高度； （2）现养殖户王伯伯计划扩大养殖场所的范围，将护栏向右平移，若在安装高度不变的基础上，摄像头通过上下摇头，依然可以检测到牛棚内的区域，直接写出王伯伯至少需要购买上下摇头角度为多少度的摄像头？（结果精确到，精确到，参考数据如表，） 三角函数值对照表 角度 21. 如图，是的直径，弦于点C，的切线交的延长线于点M，连接，已知，，． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若弦与直径相交于点P，当时，求阴影部分的面积． 22. 阅读以下材料，完成以下两个问题． [阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长至G，使，连接． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平分． 问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明． 问题2：根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形的“友好函数” （1）如图，矩形，轴，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”，求一次函数的解析式； （2）已知第一象限内矩形的两条边的长分别为2和4，轴，经过点D和点B的反比例函数是矩形的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标； （3）若是矩形的“友好函数”且经过A，C两点，点B的坐标为，点D的坐标为，轴． ①若的图象与矩形有且只有两个交点，求a的取值范围； ②点是图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年辽宁省抚顺市新宾县第二中学九年级3月数学月考 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回； 4．本试题卷包括两部分，三道大题，23道小题，共4页．如缺页、印刷不清，考生须声明． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 从一个边长为的大立方体挖去一个边长为的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图．熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．注意，存在看不见的用虚线表示．根据左视图是从左边看得到的图形，进行判断即可． 【详解】解：小正方形应该在右上角，看不到的线要用虚线，大立方体的边长为，挖去的小立方体边长为，所以小正方形的边长应该是大正方形， 故A、B、D错误，C正确． 故选：C． 2. 下列四个负数中，，，，，最大的负数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：，，，， ， ， 四个负数中，，，，，最大的负数是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值小的其值反而大． 3. 年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”.其中表示每秒传输 位()的数据. 将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法：，，n是整数，大于10的数的整数位数减去1即是n的值，据此解答． 【详解】， 故选：B． 4. 如图，以正五边形的边为边作正方形，延长交于点H，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角、正方形的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键. 由是正五边形的一个外角可得，再根据正方形的性质可得，最后根据两直线平行线、同旁内角互补即可解答. 【详解】解：∵是正五边形的一个外角， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，即，解得：. 故选C. 5. 下面计算错误的是（　　） A.   B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据积的乘方，幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】A、 ，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，掷飞镖游戏中，掷中阴影部分的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用阴影部分的面积除以圆的面积即可求得概率． 【详解】解：设圆的半径为r，则阴影的面积为，圆的面积为， ∴掷中阴影部分的概率是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了几何概率，会计算扇形的面积是解题关键． 7. 如图，在中，，，，点D是斜边上的动点（不与点A，B重合），，，垂足分别是点E，F，点Q是的中点，则线段长的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，垂线段，勾股定理，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．连接，证明四边形是矩形，得出、、共线，且，则当时，最小，此时最小，此时利用勾股定理求出，再利用，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∵点Q是的中点， ∴、、共线，且， ∵点D是斜边上的动点（不与点A，B重合）， ∴当时，最小， 此时最小， 此时∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即长的最小值为， 故选：A． 8. 九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐满，请问客官，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据小船数量表示大船数量，再根据总人数列方程． 【详解】解：设有x只小船，则大船有只． ∵小船每只坐4人，∴小船共坐4x人． ∵大船每只坐6人，∴大船共坐人． ∵总人数为38人， ∴． 故选D． 9. 如图，在四边形中，，为一条对角线，且，为的中点，连接，下列结论不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质及直角三角形的性质判断求解即可． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故正确，不符合题意； ∵，为的中点， ∴， 故正确，不符合题意； 根据题意，无法证明， 故错误，符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键． 10. 如图1是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 8米 【答案】A 【解析】 【分析】根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求出x即可； 【详解】解：∵米， ∴当时，， 当水位上升5米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米， 故选：A； 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据图形找出相关数据进行求值． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程转化为整式方程，求解后进行验根，即可得出结果． 【详解】解：去分母，得：， 解得：， 经检验：是原方程的根． ∴原方程的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，正确的计算，是解题的关键． 12. 如图所示，，点的坐标分别为，．若将线段平移至，，，则的值_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】解：由题意可得线段向左平移个单位，向下平移了个单位， 、两点的坐标分别为、， 点、的坐标分别为，，即 ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，过点B作，交的平分线于点D，与相交于点E．若，，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】作于点F，交的延长线于点H，证明，得到，进一步得到，则，得到，由勾股定理得到，得到，则，再证明，得到，即可得到答案． 此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明和是解题的关键． 【详解】解：作于点F，交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，其中，点C为斜边的中点，反比例函数的图象过点C且交线段于点D，连接，若，则k的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点C作轴于E，设，且，求出，推出，再由，求出，，利用梯形面积公式求出，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于E， ∵，，的边在轴正半轴上， ∴设，且， ∴， ∵点为斜边的中点， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式， ∵，点D在线段上， ∴点D的横坐标为m， ∵反比例函数的图象过点D， ∴当时，， ∴， ∴AD=，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，各图形面积的计算公式，反比例函数图象上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，正确设出各点的坐标是解题的关键． 15. 如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点D作的角平分线交于点E，过点E作，垂足为点F，交于点G，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，连接，由等腰三角形的性质可得，，，证明，得出，再结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在等腰三角形中，，是边上的中线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）4；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）先算绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的结果，最后再根据实数的混合运算法则计算即可． （2）运用因式分解法解一元二次方程即可； 【详解】解：（1）原式； （2）， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 17. 某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表： 甲水笔 乙水笔 每支进价（元） a 每支利润（元） 2 3 已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等． （1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元． （2）若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元． 【答案】（1）甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元 （2）该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元 【解析】 【分析】（1）根据花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等，可以列出相应的分式方程即可求出答案． （2）根据题意，可以列出利润与购进甲种水笔数量的函数关系式，然后根据购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，可以求出购进甲种水笔数量的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ， 答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元． 【小问2详解】 解：设利润为w元，甲种水笔购进x支， ， ， ∴y随x的增大而增大， 购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍， ， 解得，， ∵x为整数， ∴当时，w取得最大值，最大值为733， 此时，， 答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质是解题的关键． 18. 2023年2月27日，全省教育工作会议召开，会议提出实施铸魂育人提升工程，全面提升学生综合素质．为落实会议精神，教务处组织综合实践活动小组的同学们针对“七年级学生最关心的问题”，在全校七年级学生中进行了问卷调查，调查表如图所示，调查表全部收回且全部有效．统计过程中，调查小组将结果绘制成图1和图2统计图（均不完整）．请根据图中提供信息，解答下列问题： 七年级学生最关心的问题问卷调查表 亲爱的同学：你好！ 这是一份关于七年级学生最关心的问题的问卷调查表，采用无记名方式，请在表格中选择一项你最关心的内容，在其后空格内打“√”，非常感谢你的合作！ （1）此次抽样调查中，共调查了 名学生； （2）将图1补充完整，图2中表示学生最关心“课余生活”的圆心角度数为 度； （3）该小组要根据调查结果总结汇报，假如你是小组成员，请结合两个统计图，写出一条你获取的信息； （4）已知甲、乙、丙、丁、戊无名学生都最关心“学习成绩”，总这五人中随机先后选取两人参加“作业布置和完成情况”单独面谈，请用列表或树状图的方法，求恰好选中甲，乙两人的概率． 【答案】（1）300 （2），补全条形统计图如图所示；     （3）解：答案不唯一．例如：七年级学生最关心“课余生活”的人数最多；七年级学生最关心 “学习成绩”的人数占；七年级学生最关心“热点时事”的人数最少． （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联、用列表或画树状图的方法求概率等知识点，正确理解题意，从统计图中获取需要数据是解题的关键． （1）用最关心问题D的人数除以其所占百分比即可解答； （2）用调查总人数分别减去最关心A、C、D、E的人数，然后补全条形统计图，再用其所占的比例乘以即可； （3）根据两个统计图所给数据，进行分析即可； （4）根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再利用概率公式解即可． 【小问1详解】 解：（人）； 故答案为：300． 【小问2详解】 解：最关心问题D的人数为：（人） 学生最关心“课余生活”的圆心角度数为， 故答案为：126． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 戊 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） （戊，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） （戊，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） （戊，丙） 丁 （甲，丁） （乙、丁） （丙、丁） （戊，丁） 戊 （甲，戊） （乙，戊） （丙，戊） （丁，戊） 由列表可知，从这五人中随机先后选取两人总共有20种结果，每种结果出现的可能性都相同，其中恰好选中甲，乙两人的结果有2种． 所以恰好选中甲，乙两人的概率． 19. 晋侯鸟尊作为山西博物馆的镇馆之宝，不仅是西周青铜艺术的杰作，更是见证大国沧桑的国之瑰宝．而木板漆画是山西博物馆的另一件镇馆之宝，填补了北魏前期绘画实物的空缺，在工艺、绘画和书法上有极高的历史和艺术价值．某商店计划购买一批仿制鸟尊工艺品和木板漆画工艺品，已知购买8件鸟尊工艺品和6件木板漆画工艺品需花费2136元，购买5件鸟尊工艺品和7件木板漆画工艺品需花费1764元． （1）求鸟尊工艺品和木板漆画工艺品的单价； （2）该商店计划购买鸟尊工艺品和木板漆画工艺品共100件，其中鸟尊工艺品的数量超过木板漆画工艺品数量的，当购买多少件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低？最低总费用为多少元？ 【答案】（1）鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件 （2）购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，最低总费用为14136元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购买鸟尊工艺品m件，费用为w元．根据题意列出关于的函数，结合一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设鸟尊工艺品的单价为x元/件，木板漆画工艺品的单价为y元/件． 则有， 解得， 答：鸟尊工艺品的单价为168元/件，木板漆画工艺品的单价为132元/件； 【小问2详解】 解：设购买鸟尊工艺品m件，费用为w元． ， ∵， ∴． ∴当时，w最小，最小值为（元）． 答：购买26件鸟尊工艺品时，购买这批工艺品的总费用最低，最低总费用为14136元． 20. 随着人工智能、大数据和物联网等技术的不断发展，智慧农业摄像头变得更加智能化和自动化，如图，奶牛养殖户王伯伯想在左侧墙壁上安装一个智能摄像头，为摄像头安装的高度，养殖场所的长度，牛圈护栏高度，已知该摄像头的可视角度，当摄像头与水平面的夹角时恰好可以检测到区域，摄像头与安装墙壁之间的距离忽略不计． （1）求摄像头安装的高度； （2）现养殖户王伯伯计划扩大养殖场所的范围，将护栏向右平移，若在安装高度不变的基础上，摄像头通过上下摇头，依然可以检测到牛棚内的区域，直接写出王伯伯至少需要购买上下摇头角度为多少度的摄像头？（结果精确到，精确到，参考数据如表，） 三角函数值对照表 角度 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出，进而计算出即可； （2）根据直角三角形的边角关系求出即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交于点， 由题意得，，，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ，即， ， ， 答：摄像头安装的高度约为； 【小问2详解】 解：如图，由题意可知， 在中，，， ， ， ， ， ， 答：王伯伯至少需要购买上下摇头角度为的摄像头． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 21. 如图，是的直径，弦于点C，的切线交的延长线于点M，连接，已知，，． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若弦与直径相交于点P，当时，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 证明：连接OE， ∵EM是的切线， ∴．∴． 由（1）可知，． ∴． ∴． ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到以及同角的余角相等证得，利用正切函数的定义得到，解方程求得，据此即可求解； （2）连接OE，求得，得到，据此即可证明结论成立； （3）利用扇形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 解：∵AB是的直径． ∴， ∴． ∵于点C， ∴． ∴， ∴． ∴．即， ∴．即． ∵，， ∴． 解得或， ∵， ∴，． ∴在中，． ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接OF，当时，， ∴． ∴ ． 【点睛】此题考查了垂径定理，圆周角的性质，切线的性质，直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识，此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 22. 阅读以下材料，完成以下两个问题． [阅读材料]已知：如图，（）中，D、E在BC上，且，过D作交AE于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示以图（1）为例，证明过程如下： 证明：延长至G，使，连接． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平分． 问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明． 问题2：根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，求的长． 【答案】6 问题1： 证明：延长至G，使，连接，如图（2）所示： 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 问题2： 解：延长至G，使，连接，如图（3）所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】问题1：延长至G，使，连接，首先根据题意证明，然后得到，然后根据平行线的性质和等腰三角形的性质的，即可得到平分； 问题2：延长至G，使，连接，首先根据中线的性质得到，然后证明出，进而得到，然后进一步证明出，得到，即可求出的长． 【详解】略． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形的“友好函数” （1）如图，矩形，轴，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”，求一次函数的解析式； （2）已知第一象限内矩形的两条边的长分别为2和4，轴，经过点D和点B的反比例函数是矩形的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标； （3）若是矩形的“友好函数”且经过A，C两点，点B的坐标为，点D的坐标为，轴． ①若的图象与矩形有且只有两个交点，求a的取值范围； ②点是图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 【答案】（1） （2）或 （3）a的取值范围为或； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）分为，或，设点D的坐标为，表示点B的坐标，代入反比例函数求出x的值，即可解题； （3）①先得到点A和C的坐标，代入二次函数解析式得到顶点坐标为，然后分为和两种情况列不等式组解题即可； ②根据函数的增减性求出最大值和最小值，根据题意列方程求出a的值即可． 【小问1详解】 解：一次函数经过点和点， ．解得：． ； 【小问2详解】 解：①如图，当，时， 设点D的坐标为，则点B的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点D的坐标为，点B的坐标为． 矩形的两条边的长分别为2和4， 点A的坐标为，点C的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标A的坐标为； ②如图当，时， 设点D的坐标为，则点B的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点D的坐标为，点B的坐标为． 矩形ABCD的两条边的长分别为2和4， 点A的坐标为，点C的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标A的坐标为； 综上，矩形距原点最近的顶点坐标为或． 【小问3详解】 解：①，，且轴， ，， 将A和C代入得， ，解得， 顶点坐标为， 当时，如图， 此时，解得； 当时，如图， 此时，解得， 综上，a的取值范围为或． ②由①知， ， ， 当时，最小， 当时，最大， 的最大值和最小值的差是3， ， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数的性质，理解“友好函数”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $