精品解析：陕西省西安市雁塔区第三初级中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年下学期3月限时训练 七年级数学 一．选择题(共8小题，每小题3分，共24分) 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种．国槐是我市常见的行道树品种．下图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 3. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列不能判定的条件是（　　） A. B. C. D. 5. 若一个角的余角的倍比这个角的补角多，则这个角的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 下面说法：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图将一个长方形纸片沿着折叠，使点，分别落在点，处，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. “杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是∶从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，若将第n行的数字之和记为，则的末位数字为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分) 9. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据用科学记数法表示为________． 10. ，，则的值为__________ 11. 已知，代数式________． 12. 若是一个完全平方式，则的值为______． 13. 如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是______． 三．解答题（共13小题，共81分） 14. 计算：． 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 已知∠AOB及射线OA边上的点M（如图），请用尺规过点M作OB的平行线EF，不写作法，保留作图痕迹． 19. 如图，直线、相交于点，，平分，，求的度数． 20. 已知展开的结果中，不含和项．（，为常数） （1）求，的值； （2）在（）的条件下，求的值． 21. 已知：如图，，．求证：． 22. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形土地，物业管理公司计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个正方形喷水池. （1）求绿化的面积是多少平方米？ （2）若时，求绿化面积. 23. 完成下面的证明∶ 如图，已知，，，求证：． 证明：∵， ， ， ． 即． ． ， ． ． ， 又， ． )． 24. （1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 25. 在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解∶将两边同时平方，得，即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知，，求的值； （2）已知两个正方形的边长分别为、，若，，求． （3）若，则的值为 ． 26. 如图1，已知，P是直线，间的一点，点E，F分别在直线，上，且于点P，． （1）_________； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按顺时针方向转动，当到达的延长线时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按顺时针方向转动至后停止运动．若射线，同时开始运动，运动时间为t秒． ①当时，射线与相交于点G，求的度数； ②当时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期3月限时训练 七年级数学 一．选择题(共8小题，每小题3分，共24分) 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法运算，解题的关键是熟练掌握各种幂运算的法则，准确判断运算结果的正确性．根据同底数幂乘法法则判断选项依据同类项定义及合并法则判断选项按照幂的乘方法则判断选项根据同底数幂除法法则判断选项D． 【详解】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得错误． 与不是同类项，不能直接合并，B错误． 根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得正确． 根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得错误． 故选：C． 2. 行道树是指种在道路两旁及分车带，给车辆和行人遮荫并构成街景的树种．国槐是我市常见的行道树品种．下图是一批国槐树苗移植成活频率的统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等，用到的知识点为：总体数目=部分数目相应频率，部分的具体数目=总体数目相应频率； 由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9； 【详解】这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90． 故选：B． 3. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，正确识别平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式中的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数即可求解． 【详解】解：平方差公式的形式为， 选项A： ，相同项x，相反项a 和，故选项A符合公式； 选项B： ，没有相同项，故选项B不符合公式； 选项C： ，相同项，相反项和x，故选项C符合公式； 选项D： ，相同项m，相反项b 和，故选项D符合公式． 故选：B． 4. 如图，下列不能判定的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，则，本选项不符合题意； B、，则，不能判断，本选项符合题意； C、，则，本选项不符合题意； D、，则，本选项不符合题意； 故选：B． 5. 若一个角的余角的倍比这个角的补角多，则这个角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这个角的度数为，根据余角和补角的概念列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，余角和补角．若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．本题运用了方程的思想．根据题意列出方程是解题的关键． 6. 下面说法：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质及判定、垂线的概念可直接判断． 【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①正确； 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确； 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故③正确； 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，如果两条直线不平行，被第三条直线所截，同位角不相等，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定及垂线，熟记概念是解题的关键． 7. 如图将一个长方形纸片沿着折叠，使点，分别落在点，处，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质．求出，由折叠的性质得到，由平行线的性质推出，得到． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 由折叠的性质得到：， ∵， ， ． 故选：A． 8. “杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是∶从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，若将第n行的数字之和记为，则的末位数字为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了杨辉三角的规律探究以及周期问题的应用，解题的关键是找出每行数字之和的规律并确定其末位数字的周期． 通过计算前几行数字之和，发现每行数字之和为为行数）；分析这些和的末位数字，找出周期规律；根据周期规律计算第行数字之和的末位数字． 【详解】解：由杨辉三角规律可知，第1行数字之和 第2行数字之和 第3行数字之和 第4行数字之和； …… 由此可推出第n行数字之和 则． 观察2的末位数字规律：（末位2），（末位4）， （末位，（末位6），（末位2）……周期为4． 因为，余数为0，说明的末位数字与的末位数字相同，即为6． 故选：D． 二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分) 9. “纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 10. ，，则的值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，解题的关键是掌握运算法则． 首先利用幂的乘方的逆运算得到，然后根据同底数幂的除法的逆运算求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：． 11. 已知，代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式．根据题意可得，再将代数式化简，整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12. 若是一个完全平方式，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：， ，解得：或． 故答案为：或． 13. 如图所示，直线，平分，平分，且，则的度数是______． 【答案】##116度 【解析】 【分析】设，，根据角平分线的定义得，，，，再根据得，，，由此可得，，然后根据可求出，据此即可求出的度数． 【详解】解：设交于点，过作，如图： 设，， 平分，平分， ，， ，， ，， ， ，，， ， 又， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，理解题意，准确识图熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解答此题的关键． 三．解答题（共13小题，共81分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，包括乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，灵活应用相关运算法则是解题的关键．先计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，先根据积的乘方幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是乘法公式的应用；本题先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式进行计算即可，熟记乘法公式是解本题的关键． 【详解】解： ； 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式乘除法，乘法公式的运用，掌握乘法公式的运算方法，整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式，平方差公式，整式的乘除法运算法则即可求解． 【详解】解： ， 当，时， ∴原式． 18. 已知∠AOB及射线OA边上的点M（如图），请用尺规过点M作OB的平行线EF，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】 如图：EF就是所求作的与OB平行的直线 【解析】 【分析】根据平行线的判定：同位角相等，两条直线平行，即可作图． 【详解】过点M作∠AMF＝∠AOB，延长FM． 【点睛】本题主要考查尺规作图，掌握同位角相等，两条直线平行，是解题的关键． 19. 如图，直线、相交于点，，平分，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，对顶角相等，几何图形中角度的计算；根据对顶角相等，得出，根据角平分线的定义可得，根据垂直的定义得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：因为直线、相交于点，， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以． 20. 已知展开的结果中，不含和项．（，为常数） （1）求，的值； （2）在（）的条件下，求的值． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式， ， ∵展开的结果中，不含和项， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ， 把，代入得， 原式， ， ． 21. 已知：如图，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等，由对顶角相等结合题意得出，推出，由平行线的性质得出，结合题意得出，从而推出，即可得证． 【详解】略 22. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形土地，物业管理公司计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个正方形喷水池. （1）求绿化的面积是多少平方米？ （2）若时，求绿化面积. 【答案】（1）；（2）21平方米. 【解析】 【分析】（1）用长方形土地的面积减去中间喷水池的面积即可； （2）把a、b的值代入（1）的结果计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）当时， 绿化面积为：（平方米）， 答：当时绿化面积为21平方米. 【点睛】本题考查了整式混合运算的应用，根据题意正确列出算式是解答本题的关键． 23. 完成下面的证明∶ 如图，已知，，，求证：． 证明：∵， ， ， ． 即． ． ， ． ． ， 又， ． )． 【答案】；垂线的定义；；同角的余角相等；平行于同一直线的两条直线互相平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定和性质填空即可，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴（垂线的定义）， 即， ∴． ∵， ∴（同角的余角相等）， ， 又∵， ∴（平行于同一直线的两条直线互相平行）， 故答案为：；垂线的定义；；同角的余角相等；平行于同一直线的两条直线互相平行． 24. （1）观察下列各式的规律∶ 可得到 ； （2）猜想∶ (其中n为正整数，且)． （3）利用（2）猜想的结论计算∶． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探究，解题的关键是明确题意，利用规律解答问题． （1）根据题目中的例题可以直接写出结果； （2）根据（1）中的例子可以写出相应的猜想； （3）利用（2）中的猜想进行变形即可解答本题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3） 25. 在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解∶将两边同时平方，得，即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）已知，，求的值； （2）已知两个正方形的边长分别为、，若，，求． （3）若，则的值为 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将代入即可求解； （2）根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）令，表示出，，根据计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴． 【小问3详解】 解：令， 则， ∵， ∴， 则， 故答案为：13． 26. 如图1，已知，P是直线，间的一点，点E，F分别在直线，上，且于点P，． （1）_________； （2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按顺时针方向转动，当到达的延长线时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按顺时针方向转动至后停止运动．若射线，同时开始运动，运动时间为t秒． ①当时，射线与相交于点G，求的度数； ②当时，直接写出t的值． 【答案】（1）80 （2）① ②或． 【解析】 【分析】（1）过点P作，结合，，，解答即可． （2）①当时，射线转动的时间为，此时转动的角度为，继而得到，，利用三角形内角和定理，计算即可； ②设运动t秒时，时，此时旋转了，旋转了，分三种情况讨论，建立等式解答即可． 【小问1详解】 解：过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①当时，射线转动的时间为， 此时转动的角度为， 故，， ∴． ②设运动t秒时，此时旋转了，旋转了， 当相交前， 此时， 根据得， 解得； 当相交后，返回前， 根据题意，得， 此时， 根据得， 解得，不符合题意，舍去； 当相交后，返回后， 此时， 当时，， 解得； 故运动时间为：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，旋转的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $