精品解析：贵州省贵阳市青岩贵璜中学2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

贵阳市青岩贵璜中学2024—2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值即可得出结果． 【详解】解：， 故选：B． 2. 在中，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，解题关键是掌握正弦的定义式． 根据正弦的定义式可知，再根据，，求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故选：C． 3. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，解题关键是掌握正切的定义式． 先找出所在的直角三角形，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ， 故选：D． 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的余弦值，勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 先利用勾股定理求出，再求出的值． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 中，，的边长都扩大为原来的2倍，则的值（ ） A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，解题关键是掌握正切的定义式． 求出扩大后，再作出比较． 【详解】解：中，，则， ∵的边长都扩大为原来的2倍， ∴扩大后的三边长分别为，，， ∴扩大后的， ∴的值不变， 故选：A． 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，设，则，根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的意义即可求出，准确计算是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形利用正切函数求解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴， 故选C． 【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键． 8. 如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作PA⊥x轴于A，利用求出OA，再根据勾股定理求出PA即可得到点P的坐标. 【详解】过点P作PA⊥x轴于A， ∵， ∴， ∴=4， ∵点在第二象限， ∴点P的坐标是（-3,4） 故选：B. 【点睛】此题考查三角函数，勾股定理，直角坐标系中点的坐标特点，解题中注意点所在象限的坐标的符号特点. 9. 在中， ，那么是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 10. 如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，然后分别Rt△ACD和Rt△BCD中，利用锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=， 在Rt△ACD中， ， ∴，， 在Rt△BCD中， ∵∠BCD=∠B=45°， ∴CD=BD=， ∴． 故选：C 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用一方向角问题，熟练掌握求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线是解题的关键． 11. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，作垂线(尺规作图)，等腰三角形的性质，解题关键是掌握锐角的余弦定义． 由锐角的余弦定义得到关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ∴． 故选：B． 12. 如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到的位置，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据正切函数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可知，，，， ∴在和中， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 在中，，，，则的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，根据题意可得，则． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在中，，已知，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出三角形的三边，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴设，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与余弦值，解题关键是理解正弦与余弦的定义． 15. 如图① ，桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，古代科学家徐光启在《农政全书》中曾用图画描绘过它，它的简化图如图② 所示．若，则的长约为______m．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到（米，在中，根据三角函数的定义得到（米即可． 【详解】解：过A作于， ， ， ， ， ， （米）， 中，， （米）， 米， ∴米． （米）． 故答案为：． 16. 如图所示，在四边形中，，，M为中点，动点P从点B出发沿向终点C运动，连接，，取中点N，连接，求线段的最小值 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】过点D作于E，根据垂线段最短得到点P与点E重合时，最小，根据解直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于E， 则当点P与点E重合时，最小， 在中，，， ∴， ∵M为中点，N是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案：2． 【点睛】本题考查解直角三角形的性质、垂线段最短，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，绝对值，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据特殊角的三角函数值计算即可； （2）先分别计算零指数幂、绝对值、化简二次根式，代入特殊三角函数值，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据含度角直角三角形求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，含度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，准确计算是关键 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值． 【答案】． 【解析】 【分析】易证得△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC=x，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cosB． 【详解】∵∠C=90°，MN⊥AB， ∴∠C=∠ANM=90°， 又∵∠A=∠A， ∴△AMN∽△ABC， ∴==， 设AC=3x，AB=4x， 由勾股定理得：BC==， 在Rt△ABC中，cosB=． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题关键是表示出BC，AB． 20. 已知：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，，AC＝10，求△ABC的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据在Rt△ABC 中，∠C＝90°，，设， ，勾股定理建立方程，解一元二次方程求得的值，进而求得的长，根据三角形面积公式计算求解即可 【详解】解：∵， 设， ∴ 解得（舍去） ∴ ， ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握正弦的意义是解题的关键． 21. 如图，某学习小组为了测量贵阳市甲秀楼高度，在，处分别测得楼顶的仰角为，（即，），m，甲秀楼，垂足为，且，，三点共线，求甲秀楼的高度． 【答案】m 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的应用，涉及三角函数的概念，在直角三角形中，利用仰角和已知的边的长度关系来求解甲秀楼的高度．我们可以设甲秀楼AB的高度为x米，然后通过在和 中分别表示出和的长度， 再根据列出方程求解． 【详解】解：设m． 在中，，则m． 在中，，则m． m， ， 解得． 答：甲秀楼的高度为m． 22. 如图，一个人由山底的A点爬到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡度为的山坡到达B点，再从B点爬坡角为（即）的山坡到达山顶的C点（图中所有点都在同一平面内），A，B两点的水平距离为．（结果均精确到，参考数据：，，，） （1）求斜坡的长； （2）求这座山的高度． 【答案】（1）斜坡的长约为 （2）这座山的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，理解题意是解题的关键． （1）根据坡度的定义得出，在中利用勾股定理即可求解； （2）过点C作于点N，交于点F，则四边形为矩形，得到，解得到的长，利用求出的长，即可解答． 【小问1详解】 解：，， ， ． 答：斜坡的长约为． 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点N，交于点F． 则四边形为矩形， ． ，， ， 则． 答：这座山的高度约为． 23. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，tanA＝2cos∠BCD， (1)求证：BC＝2AD； (2)若cosB＝，AB＝10，求CD的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）CD＝2. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的概念可知tanA＝，cos∠BCD＝，根据tanA＝2cos∠BCD即可得结论；（2）由∠B的余弦值和（1）的结论即可求得BD，利用勾股定理求得CD即可． 【详解】(1)∵tanA＝，cos∠BCD＝，tanA＝2cos∠BCD， ∴＝2·， ∴BC＝2AD. (2)∵cosB＝＝，BC＝2AD， ∴＝. ∵AB＝10，∴AD＝×10＝4，BD＝10－4＝6， ∴BC＝8，∴CD＝＝2. 【点睛】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算.熟练掌握三角函数的概念是解题关键. 24. 我们在物理中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图①），我们把称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．为了观察光线的折射现象，设计了如图②所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块C．如图③是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一条直线上，测得，．（参考数据：，，） （1）求入射角α的度数； （2）若，求光线从空气射入水中的折射率n． 【答案】（1）入射角α的度数约为 （2）光线从空气射入水中的折射率n约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）如图③，过点D作，垂足为G．易得四边形为矩形，得到，．根据在中，，从而可得入射角； （2）先求出，利用勾股定理求出，进而求出．由（1）得，根据，即可解答． 【小问1详解】 解：如图③，过点D作，垂足为G．易得四边形为矩形，，． 在中，， ， ． 入射角α的度数约为． 【小问2详解】 解：，， ． 在中，， ， ． 由（1）得， ， ． 光线从空气射入水中的折射率n约为． 25. 阅读下列材料： 题目：如图1，中，已知，，，请用、表示. 解：如图2，作边上的中线，于， 则，，， 在中， 根据以上阅读，请解决下列问题： (1)如图3，在中，，，，求，的值 (2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用或表示. 【答案】(1) ， ；(2). 【解析】 【分析】(1) 作边上的中线，于，分别在Rt△ACD，Rt△CED中用三角形函数求解； （2）仿照题中求sin2A的方法求cos2A. 【详解】解：(1)作边上的中线，于， Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝， sinA＝. 则，， ×. 在中， . (2)则，，，， 所以AD＝ACcosA＝cos2A，DE＝AD－AE＝cos2A－. 中， . 【点睛】本题考查了解直角三角形，在非直角三角形中求边与角的关系时，需要作高构造直角三角形，勾股定理结合三角形函数来解直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市青岩贵璜中学2024—2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 1 2. 在中，，，，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 3. 如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 中，，的边长都扩大为原来的2倍，则的值（ ） A. 不变 B. 变大 C. 变小 D. 无法判断 6. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，，则河宽PT的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（） A. B. C. D. 9. 在中， ，那么（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 如图，一艘轮船从位于灯塔C北偏东方向，距离灯塔的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线交于点H．若，，则长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 12. 如图，在矩形纸片中，，将沿折叠到的位置，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 在中，，，，则的度数为________． 14. 在中，，已知，那么的值是________． 15. 如图① ，桑梯是我国古代发明的一种采桑工具，古代科学家徐光启在《农政全书》中曾用图画描绘过它，它的简化图如图② 所示．若，则的长约为______m．（结果精确到0.1，参考数据：） 16. 如图所示，在四边形中，，，M为中点，动点P从点B出发沿向终点C运动，连接，，取中点N，连接，求线段的最小值 _____． 三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2）． 18. 在中，，，，解这个直角三角形． 19. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值． 20. 已知：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，，AC＝10，求△ABC的面积． 21. 如图，某学习小组为了测量贵阳市甲秀楼的高度，在，处分别测得楼顶的仰角为，（即，），m，甲秀楼，垂足为，且，，三点共线，求甲秀楼的高度． 22. 如图，一个人由山底A点爬到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡度为的山坡到达B点，再从B点爬坡角为（即）的山坡到达山顶的C点（图中所有点都在同一平面内），A，B两点的水平距离为．（结果均精确到，参考数据：，，，） （1）求斜坡的长； （2）求这座山的高度． 23. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，tanA＝2cos∠BCD， (1)求证：BC＝2AD； (2)若cosB＝，AB＝10，求CD的长. 24. 我们在物理中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图①），我们把称为折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．为了观察光线的折射现象，设计了如图②所示的实验，即通过细管可以看见水底的物块C，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块C．如图③是实验的示意图，四边形为矩形，点A，C，B在同一条直线上，测得，．（参考数据：，，） （1）求入射角α的度数； （2）若，求光线从空气射入水中的折射率n． 25. 阅读下列材料： 题目：如图1，在中，已知，，，请用、表示. 解：如图2，作边上的中线，于， 则，，， 在中， 根据以上阅读，请解决下列问题： (1)如图3，在中，，，，求，的值 (2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用或表示 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $