阶段质量评价 第3章 圆锥曲线与方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

[阶段质量评价]　　　　　　第3章　圆锥曲线与方程 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.焦点坐标为(-1,0)的抛物线的标准方程是 (　　) A.y2=-2x B.x2=2y C.x2=-4y D.y2=-4x 解析:选D　焦点坐标为(-1,0),则抛物线开口向左,焦点在x轴上,故抛物线的标准方程是y2=-4x. 2.若双曲线C:-=1的焦距为8,则该双曲线的渐近线方程为 (　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析:选D　由题意可知9+m=⇒m=7,即C:-=1,令-=0⇒y=±x. 3.椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,则离心率e= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,所以2a=2×2b,则a=2b,所以e====. 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,点A(x0,2)在抛物线C上,且F为抛物线C的焦点,若|AF|=3|OF|,则p= (　　) A. B.1 C. D.2 解析:选C　因为点A(x0,2)在抛物线上,|AF|=3|OF|,所以x0+=,所以x0=p,所以A(p,2),所以4=2p2,解得p=. 5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在 (　　) A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条直线上 D.双曲线的一支上 解析:选D　由x2+y2-8x+12=0,得(x-4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r, ∵圆P与圆O和圆M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM|-|PO|=1<4,∴根据双曲线定义知点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上. 6.直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选A　法一　联立得-=1,方程组无解,说明直线与双曲线没有交点. 法二　由-=0,得3x±4y=0,所以双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,因为直线3x-4y=0是双曲线-=1的一条渐近线,因此交点个数为0. 7.已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=120°,|PF1|=4|PF2|,则C的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　如图所示,根据题意可设|PF2|=m,|PF1|=4m,m>0,易知|F1F2|=2c.由余弦定理可知cos∠F1PF2===-,可得c2=m2,即c=m.由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=3m=2a,即a=.所以离心率e==. 8.已知椭圆E:+=1上,过左焦点F1的直线l与椭圆E交于A,B两点(点A位于x轴上方),若=2,则直线l的斜率k的值为 (　　) A. B.± C. D.± 解析:选C　由椭圆方程可得F1(-1,0),设直线l的方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组可得(3m2+4)y2-6my-9=0,则y1+y2=,y1y2=,由=2得(-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2),则-y1=2y2,代入上式得y2=,-2=,解得m2=,则m=±,则直线的斜率为±,又点A位于x轴上方,所以斜率为. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.直线y=x-2与抛物线C:y2=2x相交于A,B两点,下列说法正确的是 (　　) A.抛物线C的准线方程为y=- B.拋物线C的焦点为 C.若O为原点,则∠AOB=90° D.若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+1 解析:选BC　由C:y2=2x,则其焦点为F,准线方程为x=-,A错误,B正确;联立直线与拋物线方程得y2-2y-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2,y1y2=-4,而x1x2==4,由·=x1x2+y1y2=0,即⊥,故C正确;显然直线y=x-2不过焦点F,由拋物线定义有|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AF|+|BF|=x1+x2+1>|AB|,D错误. 10.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点与抛物线x2=4y的焦点之间的距离为2,且C的离心率为,则下列说法正确的有 (　　) A.C的渐近线方程为y=±x B.C的标准方程为x2-=1 C.C的顶点到渐近线的距离为 D.曲线y=-1经过C的一个焦点 解析:选ABD　设抛物线x2=4y的焦点为F(0,1),双曲线C的一个焦点坐标为F1(c,0)(c>0),由题意可知|FF1|=2,所以有=2⇒c=或c=-(舍去),又因为C的离心率为,所以e==⇒a=1⇒b= ==.因为a=1,b= ,所以C的渐近线方程为y=±x,故A正确;因为a=1,b=,所以C的标准方程为x2-=1,故B正确;设C的一个顶点坐标为(1,0),它到渐近线x-y=0的距离为 =,根据双曲线和渐近线的对称性可知,C的顶点到渐近线的距离为,故C不正确; 当x=-时,y=-1=0,而(-,0)恰好是双曲线的一个焦点,故D正确. 11.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P(x0,y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点,则下列说法正确的是 (　　) A.△PF1F2的周长为2+4 B.△PF1F2面积的最大值为2 C.若A(1,0),则|PA|的最小值为-1 D.的最小值为- 解析:选ABD　由椭圆方程+y2=1可知,a=,b=1,c=2,所以△PF1F2的周长l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=2+4,故A正确;因为点P(x0,y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点,所以0<|y0|≤1,所以△PF1F2的面积=|F1F2||y0|=2|y0|≤2,当|y0|=1,即y0=±1时,此时点P位于短轴端点,△PF1F2的面积最大,最大为2,故B正确;由A(1,0),点P(x0,y0),且+=1,因为|PA|===,当x0=时,|PA|取最小值,且最小值为,故C错误;的几何意义为P(x0,y0)与点M(-4,0)两点连线的斜率,设为k,由得(1+5k2)x2+40k2x+80k2-5=0,Δ=-4(5k2+1)·(80k2-5)=20(1-11k2)≥0,解得-≤k≤, 如图,当直线y=k(x+4)与椭圆C相切时,kmin=-,所以的最小值为-,故D正确. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知双曲线的两条渐近线方程为x±y=0,并且经过点A(,1),则该双曲线的标准方程是　　　　　　　　　.  解析:依题意可设双曲线方程为mx2-ny2=1,m,n>0.由渐近线方程为x±y=0可得n=2m,将点A(,1)代入可得6m-n=1,解得m=,n=,所以双曲线标准方程为-=1. 答案:-=1 13.(5分)已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是　　　　　　 　.  解析:因为|BC|=8,所以|AB|+|AC|=12>8,则顶点A的轨迹是椭圆,其中2a=12,a=6,c=4,b2=20,则顶点A的轨迹方程是+=1(x≠0). 答案:+=1(x≠0) 14.(5分)设a>b>0,椭圆+=1的离心率为e1,双曲线-=1的离心率为e2,若e1e2<1,则的取值范围是　　　　　.  解析:记椭圆、双曲线的半焦距分别为c1,c2,由题意知=a2-b2,=b2+a2-2b2=a2-b2,则椭圆与双曲线共焦点,设c1=c2=c,则e1=,e2=,∴e1e2=,∵e1e2<1,∴==-<1.设=t>0,则t-<1,解得0<t<,即0<<,又∵a2-2b2>0,且a>b>0,∴>,故的取值范围是. 答案: 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设双曲线C:-=1(a>0,b>0),点A1,A2是双曲线C的左、右顶点,点P在双曲线C上. (1)若|A1A2|=4b,点P(2,-1),求双曲线C的方程;(4分) (2)当P异于点A1,A2时,直线PA1与PA2的斜率之积为2,求双曲线C的渐近线方程.(9分) 解:(1)由题意有解得所以双曲线C的方程为-y2=1. (2)设点P(x0,y·0),则-=1,即=,又A1(-a,0),A2(a,0), 则有·=·===2,所以=,所以渐近线方程为y=±x. 16.(15分)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求C的方程;(5分) (2)是否存在直线l,经过点M(1,4)且与双曲线C交于A,B两点,M为线段AB的中点?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.(10分) 解:(1)令-=0⇒y=±x,所以=1, 又由题意可知双曲线的焦点(c,0)到渐近线的距离d==1⇒c2=2=a2+b2⇒a2=b2=1, 所以双曲线的标准方程为x2-y2=1. (2)假设存在,由题意知,该直线的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k, 则x1+x2=2,y1+y2=8, 又有-=1,-=1, 两式相减得--+=0,即(y1+y2)·(y1-y2)=(x1+x2)(x1-x2), 即=1,所以4k=1,解得k=, 所以直线l的方程为y-4=(x-1),即x-4y+15=0,联立得(4y-15)2-y2-1=15y2-120y+224=0⇒Δ=1202-60×224=60×(240-224)>0, 即直线l:x-4y+15=0与双曲线C有两个交点,满足条件,所以存在直线l,其方程为x-4y+15=0. 17.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若点N(0,)在椭圆上,且△NF1F2为等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程;(5分) (2)过点F1且斜率为k的直线l与椭圆C交于A,B两点,若∠AF2B为钝角,求k的取值范围.(10分) 解:(1)由题意可知N(0,)为椭圆的上顶点,即b=, 又△NF1F2为正三角形,设椭圆的焦距为2c,所以=tan 60°⇒c=1,a==2,故椭圆的标准方程为+=1. (2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0), 不妨设l:y=kx+k,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立⇒(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,则 易知=(x1-1,y1),=(x2-1,y2), 由∠AF2B为钝角可得·=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+(k2+1)<0, 化简得7k2-9<0⇒k∈, 又k=0时,∠AF2B为平角,不符合题意舍去,故k∈∪. 18.(17分)已知点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2,若记点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程;(7分) (2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且OA⊥OB.求证直线l过定点,并求出该定点的坐标.(10分) 解:(1)∵点P与点F(2,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小2, ∴点P与点F(2,0)的距离和点P到直线x+2=0的距离相等, 由抛物线定义知,点P的轨迹是以F(2,0)为焦点,x+2=0为准线的抛物线, 即曲线C的方程为y2=8x. (2)证明:设l:x=ty+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-8ty-8m=0, 则Δ=64t2+32m>0,即m>-2t2. ∴y1y2=-8m,x1x2==m2, ∵OA⊥OB,∴·=x1x2+y1y2=m2-8m=m(m-8)=0. ∵m≠0,∴m=8,即l:x=ty+8. 当y=0时,x=8,∴l恒过定点(8,0). 19.(17分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0,3)和点P分别为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点. (1)求C的离心率;(5分) (2)若过点P的直线l交C于另一点B,且△ABP的面积为9,求l的方程.(12分) 解:(1)由题意得解得 所以e===. (2)当l的斜率不存在时,l:x=3,B,|PB|=3,A到PB的距离d=3, 此时S△ABP=×3×3=≠9,不满足条件. 当l的斜率存在时,设PB:y-=k(x-3), 令P(x1,y1),B(x2,y2), 联立消y可得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0, Δ=(24k2-12k)2-4(4k2+3)(36k2-36k-27)>0,且k≠kAP,即k≠-, 所以|PB|==, A到直线PB的距离d=,S△PAB=··=9, 所以k=或k=,均满足题意,所以l:y=x或y=x-3,即3x-2y-6=0或x-2y=0. 学科网（北京）股份有限公司 $$