3.5 圆锥曲线的应用(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

3.5　圆锥曲线的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.掌握圆锥曲线的定义,并用数学符号或自然语言描述. 2.在实际问题中建立数学模型,熟练应用圆锥曲线解决具体问题. 题型(一)　天体运动的轨道 [例1]　如图,某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为一个焦点且离心率为的椭圆,地球可看作半径为R的球体,近地点离地面的距离为r,则远地点离地面的距离l为 (　　) A.3r+2R B.5r+2R C. D. 解析:选A　由题意,不妨以椭圆中心为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则椭圆方程为+=1(a>b>0),由e=,且r=a-c-R,解得a=,c=,故该卫星远地点离地面的距离为a+c-R=+-R=r+R.又e=,所以r+R=r+R=3r+2R. 　　|思|维|建|模| 解答与天体运动相关的应用问题时,将事物的实际含义向椭圆的几何性质转化是关键,其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论,以解决实际问题. 　　[针对训练] 1.[多选]如图,2024年5月3日“嫦娥六号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子正确的是 (　　) A.c1>c2 B.a1-c1=a2-c2 C.< D.c1a2>a1c2 解析:选ABD　观察给定图形,显然2c1>2c2,则c1>c2,故A正确;由|PF|=a1-c1及|PF|=a2-c2得a1-c1=a2-c2,B正确;因为a1-c1=a2-c2,即a1+c2=a2+c1,有=,得-+2a1c2=-+2a2c1,令=-(b1>0),=-(b2>0),即有+2a1c2=+2a2c1,由给定轨道图知,b1>b2,因此,c1a2>a1c2,D正确;而c1a2>a1c2⇔>,C错误. 题型(二)　斜抛物体的轨迹 [例2]　某中学某同学不仅学习认真,而且酷爱体育运动,经过艰苦的训练,终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩.已知该同学所投铅球的轨迹是一段抛物线(人的身高不计,铅球看成一个质点),如图所示,设初速度为定值v0,且与水平方向所成角为变量θ,已知该同学投铅球的最远距离为10 m.当她投得最远距离时,铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为　　　　 m.(空气阻力不计,重力加速度为10 m/s2) 解析:设铅球运动时间为t0,t时刻的水平方向位移为x,则x=v0tcos θ. 由v0sin θ-gt0=0知t0=, ∴x=,故当x=时,xmax==10. ∵g=10 m/s2,解得t0= s,v0=10 m/s, ∴h=g=2.5 m. 如图建立平面直角坐标系,P(-5,-2.5),设抛物线方程为x2=-2py, 则抛物线的焦点到准线的距离p===5(m). 答案:5 　　|思|维|建|模| 　　运动场上推出的铅球、投出的篮球,都是斜抛物体,它们的运动轨迹近似于抛物线.喷水池里喷出的水柱中的每一部分水也可以看作斜抛物体,水柱的形状也接近于抛物线.在斜抛运动中,由于不考虑空气阻力,只受重力作用,因此,对斜抛运动有多种建系方法,一是以最高点为坐标原点建立坐标系,二是以抛出点为坐标原点建立坐标系. 　　[针对训练] 2.公园要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O恰好在水面中心,OA=1.25 m,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示.为使水流形状较为漂亮,设计成水流在到OA距离为1 m处达到距水平最大高度为2.25 m,如果不计其他因素,那么为了使喷出的水流不致落到池外,水池的半径至少为 (　　) A.1 m B.2 m C.2.5 m D.4 m 解析:选C　如图,以抛物线的顶点M为坐标原点,建立平面直角坐标系,水柱与水面的交点为B.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点A在抛物线上,由A(-1,-1),得(-1)2=-2p·(-1),解得p=,则抛物线方程为x2=-y.设B(x0,-2.25),则=2.25.又x0>0,解得x0=1.5,因为1+1.5=2.5 m,所以水池的半径至少为2.5 m. 题型(三)　光学性质及其应用 [例3]　椭圆具有如下光学性质:从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后,反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆C:+=1,O为坐标原点,l是点P处的切线,过左焦点F1作l的垂线,垂足为M,则|OM|= (　　) A.2 B.4 C.4 D.8 解析:选C　由椭圆C:+=1,则a2=16,长轴长2a=8.如图,在平面直角坐标系中,延长F1M,F2P交于点N,连接OM.由题意可知∠F1PM=∠NPM,又因为PM⊥F1N,则M为F1N的中点,且|PF1|=|PN|,所以|F2N|=|PN|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a=8.又因为O为F1F2的中点,则OM为△F1NF2的中位线,则|OM|=|F2N|=×8=4. 　　|思|维|建|模| (1)椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面.以旋转椭球面做反射镜时,从它的一个焦点F1发射的光线,经过椭球面的反射后,都聚集在另一个焦点F2处. (2)双曲线绕实轴旋转一周形成一个旋转双曲面.从旋转双曲面的一个焦点F2发射的光线,经过旋转双曲面的反射,会使得光线散开,而且光线就好像是从另一个焦点F1发射出来的一样. (3)抛物线绕着它的对称轴旋转一周形成一个旋转抛物面,将光源放在焦点F处,光源发出的光线,经过旋转抛物面反射后,成为一束平行于对称轴的光线.在根据光的可逆性,当旋转抛物面的轴与光线平行时,光线经反射后集中于焦点处. 　　[针对训练] 3.如图1所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,从F2发出的光线经过图2中的A,B两点反射后,分别经过点C和D.且cos∠BAC=-,|AF2|=3|BF2|,则E的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题意知延长CA,DB,则必过点 F1,∵|AF2|=3|BF2|,∴设|BF2|=t,则|AF2|=3t,|AB|=4t,由双曲线的定义可得|AF1|=3t+2a,|BF1|=t+2a,由cos∠BAC=-,得cos∠F1AF2=,在△AF1B中,由余弦定理可得cos∠BAF1===,∴a=t.在△AF1F2中,由余弦定理可得cos∠F1AF2===,解得4c2=10a2,则e==. 题型(四)　圆锥曲线在现代建筑中的体现 [例4]　许多建筑融入数学元素后变得更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑如图1所示,其中截面最细附近处的部分图象如图2所示,上、下底面与地面平行.现测得下底直径|AB|=20 m,上底直径|CD|=20 m,AB与CD间的距离为80 m,与上、下底面等距离的G处的直径长度等于|CD|,则最细部分处的直径为 (　　) A.10 m B.20 m C.10 m D.10 m 解析:选B　取DC的中点H,以GH的中点O为原点,建立平面直角坐标系,如图.由题意可知C(10,20),B(10,-60).设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),将C,B两点的坐标代入得解得则|EF|=2a=20.故选B. 　　|思|维|建|模| 　　建筑物的“结构、功能、美”是建筑物的三要素,设计者应掌握各种数学知识,才能让建筑物具备安全结实的结构、便利实用的功能和满足人们的审美需求,数学曲线之美,是把数学融入到建筑中,表现出数学曲线的壮美. 　　[针对训练] 4.由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线-=1(a>0,b>0)下支的部分,且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°,则该双曲线的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°,根据双曲线两条渐近线对称关系可得y=x的倾斜角为60°,则=tan 60°=,则b2=a2,∴c2=a2+b2=a2,则该双曲线的离心率为e===. [课时检测] 1.如图,某拱桥的截面图可以看作双曲线-=1的图象的一部分,当拱顶M到水面的距离为3 m时,水面宽AB为4 m,则当水面宽度为4 m时,拱顶M到水面的距离为 (　　) A.3 m B.(6-3) m C.(2-3)m D.(3-3)m 解析:选D　根据题意,M(0,-3),A(-2,-6),故-=1,解得m=4,即-=1,则当水面宽度为4 m,即x=-2时,解得y=-3(y<0),因此,拱顶M到水面的距离为(3-3)m. 2.若某卫星运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆,该卫星近地点离地面的距离为m km,远地点离地面的距离为n km,地球的半径为R km,则通信卫星运行轨道的短轴长等于 (　　) A.2 B. C.2mn D.mn 解析:选A　设这个椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,由题意得n+R=a+c,m+R=a-c,可得a=,c=,则2b=2=2=2. 3.如图,已知A,B两地相距600 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地早1 s,且声速为340 m/s.以线段AB的中点为坐标原点,为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy,则炮弹爆炸点的轨迹方程为 (　　) A.-=1(x<0) B.-=1(x<0) C.-=1(x>0) D.-=1(x>0) 解析:选B　设炮弹爆炸点P的坐标为(x,y),则|PB|-|PA|=340×1=340<600,所以P的轨迹是以A,B为焦点,实轴长为340的双曲线的左支.因为2a=340,所以a=170.又|AB|=600=2c,所以c=300,b2=c2-a2=90 000- 28 900=61 100,故炮弹爆炸点的轨迹方程为-=1(x<0). 4.某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”,如图,探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动(俗称“踩刹车”)后,以v km/s的速度进入距离火星表面n km的环火星圆形轨道(火星的球心为椭圆的一个焦点),环绕周期为t s.已知R为火星的半径,远火星点N到火星表面的最近距离为m km,则下列说法不正确的是 (　　) A.椭圆轨道的离心率为 B.圆形轨道的周长为vt km C.火星半径为 km D.近火星点与远火星点的距离为km 解析:选C　如图,以线段MN的中点为原点,MN所在直线为x轴,以为x轴正方向建立平面直角坐标系,则可设轨道所在的椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则由已知m+R=a+c,n+R=a-c,所以2a=m+n+2R, 2c=m-n,故离心率为=,故A正确;以v km/s的速度进入距离火星表面n km的环火星圆形轨道,环绕周期为t s,所以环绕的圆形轨道周长为vt km,半径为 km,所以火星半径为km,故B正确,C错误;因为近火星点与远火星点的距离为2a=n+2R+m=n+2+m=m-n+,故D正确. 5.小明同学某天发现,在阳光的照射下,篮球在地面留下的影子如图所示,设过篮球的中心O且与太阳平行光线垂直的平面为α,地面所在平面为β,篮球与地面的切点为H,球心为O,球心O在地面的影子为点O',已知太阳光线与地面的夹角为θ,如图,AB为球O的一条直径,A',B'为A,B在地面的影子,点H在线段A'B'上,小明经过研究资料发现,当θ≠时,篮球的影子为一椭圆,且点H为椭圆的焦点,线段A'B'为椭圆的长轴,则此时该椭圆的离心率为(用θ表示) (　　) A.cos θ B.sin θ C.cos2θ D. 解析:选A　设篮球半径为R,显然平面ABB'A'⊥平面β,连接OH,OB',OH⊥平面β,过B'作B'C∥AB交AA'于C,则B'C⊥AA',|B'C|=|AB|,于是椭圆长轴长2a=|A'B'|==.在四边形ABB'A'中, ∠B'OH=∠BOH=,令椭圆半焦距为c,而0<θ<,则a-c=|B'H|=Rtan ====a(1-cos θ),解得=cos θ,所以该椭圆的离心率为cos θ. 6.阿波罗尼奥斯(约前262—前190)提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质,光线从双曲线的一个焦点发出,通过双曲线的反射,反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.其离心率为,从F2发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射,反射光线为EP,若反射光线与入射光线垂直,则tan∠F2F1E= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设|EF1|=m,|EF2|=n,|F1F2|=2c,由题意知m-n=2a,F2E⊥EP,=,所以m2+n2-2mn=4a2.又c=a,m2+n2=4c2,所以mn=2c2-2a2=2-2a2=3a2.又m-n=2a,所以(2a+n)2+n2-6a2=4a2,解得n=a或n=-3a(舍去),所以sin∠F2F1E===,则cos∠F2F1E==,则tan∠F2F1E==.故选C. 7.(5分)已知地球运行的轨道是椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点上,若地球到太阳的最大和最小距离分别为1.53×108 km,1.47×108 km,则这个椭圆的离心率为　　　　. 解析:设该椭圆的长轴长为2a,焦距为2c,由题意,得a+c=1.53×108,a-c=1.47×108,解得a=1.5×108,c=0.03×108,所以这个椭圆的离心率e==0.02. 答案:0.02 8.(5分)已知某星球的球心为F,半径为R,该星球的卫星的运行轨道是以F为一个焦点的椭圆,该椭圆的离心率为,卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为R,若当卫星处于某位置时,用卫星上的光学仪器观测该星球,把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线,任意两条视线所成的最大夹角称为张角,则卫星运行过程中张角正弦值的最小值为　　　　.  解析:设椭圆轨道的长半轴长为a,焦距为2c,由题意可得,卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为R,在近星球点即a-c=2R,又椭圆的离心率为,即=,由以上可得a=5R,c=3R.又由椭圆的光学性质可得在远星球点时张角最小,设此时张角为θ,则sin==,所以cos=,则sin θ=2sincos =2×× =. 答案: 9.(5分)双曲线的光学性质如图①,从双曲线右焦点F2发出的光线经双曲线镜面反射,反射光线的反向延长线经过左焦点F1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”,就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线的一部分,如图②,其方程为-=1(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点,若从右焦点F2发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后,满足DA⊥AB,tan∠ABC=-,则该双曲线的离心率为　　　　.  解析:由题可知F1,A,D共线,F1,B,C共线,如图,设|AF1|=m,则|AF2|=m-2a,又|AB|=2|AF1|,所以|BF2|=m+2a,|BF1|=m+4a.又AF1⊥AB,所以|BF1|=m,所以m+4a=m,解得m=(+1)a=|AF1|,则|AF2|=m-2a=(-1)a,而|F1F2|=2c,则4c2=(+1)2a2+(-1)2a2,化简得c2=3a2,所以e==. 答案: 10.(5分)1911年5月,欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中,他描述了用α粒子轰击0.000 04 cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前,卢瑟福希望α粒子能够通过金箔,就像子弹穿过雪一样,事实上,有极小一部分α粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径,则该双曲线的离心率为　　　　;如果α粒子的路径经过点(20,10),则该粒子路径的顶点距双曲线的中心　　　　 cm. 解析:由题意可知双曲线的一条渐近线方程为y=tan 45°·x=x,即可得a=b,因此离心率e====;设双曲线的方程为x2-y2=a2,将(20,10)代入计算可得202-102=a2,解得a=10,所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心10 cm. 答案:　10 11.(5分)如图,B地在A地的正东方向,相距4 km;C地在B地的北偏东30°方向,相距2 km,河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比它到B的距离远2 km,现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向A,B,C三地转运货物.经测算,从M到A,B两地修建公路费用都是10万元/km,从M到C修建公路的费用为20万元/km.选择合适的点M,可使修建的三条公路总费用最低,则总费用最低是　　　　万元.(精确到0.01)  解析:以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,|MA|-|MB|=2,根据双曲线定义知,轨迹为双曲线的右支,故2c=4,c=2,2a=2,a=1,故轨迹方程为x2-=1(x>0).由题意修建的三条公路总费用y=10|MA|+10|MB|+20|MC|=10(|MA|+|MA|-2a+2|MC|)=20(|MA|+|MC|-1),由图形可知,当A,M,C三点共线,即M在点N处时,y有最小值20(|AC|-1),由题意C(3,),所以|AC|==2,所以ymin=20(2-1)≈85.83. 答案:85.83 12.(10分)如图,某苗圃有两个入口A,B,|AB|=100,欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物,现有若干树苗放在苗圃外的C处,已知|CA|=80,|CB|=88,以AB所在直线为x轴,AB中点为原点建立平面直角坐标系. (1)工人计划将树苗运送至P(7,1)处,请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近?并说明理由;(6分) (2)工人将C处树苗运送到苗圃内点P处时,发现从两个入口A,B运输的最近距离相等,求出点P所有可能的位置.(4分) 解:(1)由题意可得A(-50,0),B(50,0),P(7,1), |AP|==5,|BP|==5, 经过A口时最短距离为|CA|+|AP|=80+5,经过B口时最短距离为|CB|+|BP|=88+5. 因为80+5>88+5, 所以经过B入口运送最近. (2)设点P(x,y),由|CA|+|AP|=|CB|+|BP|,可得|PA|-|PB|=|CB|-|CA|=8, 所以点P所有可能的位置是以A,B为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分, 则2a=8,即a=4.又因为c=50,b2=c2-a2=2 500-16=2 484, 所以点P所有可能的位置是-=1(x>4,y>0)在苗圃内所对应的点. 学科网（北京）股份有限公司 $$