3.4 曲线与方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

3.4　曲线与方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]　 [课时目标] 1.进一步理解曲线的方程和方程的曲线的概念,掌握求曲线的方程和由方程研究曲线性质的方法. 2.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法,熟悉求曲线方程的步骤.掌握求轨迹方程的几种常用方法. 1.曲线的方程与方程的曲线的定义 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线. 曲线的方程的定义中,(1)与(2)缺一不可,而且两者是对曲线上的任意一点以及方程的任意一组实数解而言的. 2.求动点M轨迹方程的一般步骤 (1)设动点M的坐标为(x,y)(如果没有平面直角坐标系,需先建立); (2)写出M满足的几何条件,并将该几何条件用M的坐标表示出来; (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程. |微|点|助|解| 　　求曲线的方程需要注意的问题 (1)坐标系建立的不同,同一曲线的方程也不相同. (2)一般地,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y),而不要设成(x1,y1)或(x',y')等. (3)方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)=0化成x,y的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,或找回属于轨迹而遗漏的点. (4)“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念:求轨迹方程只要求出方程即可;而求轨迹则应先求出轨迹方程,再说明轨迹的形状. 　　基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y=±x. (　　) (2)条件甲:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”,条件乙:“曲线C是方程f(x,y)=0的图形”,则条件甲是条件乙的充要条件. (　　) 答案:(1)√　(2)× 2.方程xy2-x2y=2x所表示的曲线 (　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线x-y=0对称 解析:选C　将(-x,-y)代入xy2-x2y=2x方程不变,故选C. 3.在第四象限内,到原点的距离等于2的点M的轨迹方程是 (　　) A.x2+y2=4 B.x2+y2=4(x>0) C.y=- D.y=-(0<x<2) 解析:选D　排除法,第四象限内满足x>0,y<0. 4.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是　　　　.  解析:由方程得表示4个点. 答案:4个点 5.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则动点P的轨迹方程是　　 　　.  解析:圆(x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0),半径r=1,则|PB|2=|PA|2+r2.∴|PB|2=2.∴动点P的轨迹方程为(x-1)2+y2=2. 答案:(x-1)2+y2=2 题型(一)　曲线的方程与方程的曲线 [例1]　(1)[多选]命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”是真命题,则下列命题不正确的是 (　　) A.方程F(x,y)=0的曲线是C B.方程F(x,y)=0的曲线不一定是曲线C C.F(x,y)=0是曲线C的方程 D.以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 解析:选ACD　“曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解”,但“以方程F(x,y)=0的解为坐标的点”不一定在曲线C上,故A、C、D都不正确,B正确. (2)在平面直角坐标系中,方程|x|·y=1表示的曲线是 (　　) 解析:选C　由题意知x≠0,则方程|x|·y=1, 即y==故选C. 　　|思|维|建|模| (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”,称为纯粹性. (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程. 　　[针对训练] 1.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　∵y2=4x,∴y=2或y=-2, 故点M在曲线y2=4x上, 但不一定在曲线y =-2上, ∴点M的坐标不一定满足方程y=-2. 反过来,点M的坐标满足方程y=-2, 则点M一定在曲线y=-2上,故也一定在曲线y2=4x上, ∴“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2”的必要不充分条件,故选B. 2.方程4x2-y2-4x+2y=0表示的图形是 (　　) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y-2=0 C.点 D.直线2x-y=0和直线2x+y-2=0 解析:选D　方程4x2-y2-4x+2y=0可化为(2x+y)·(2x-y)-2(2x-y)=0,即(2x-y)·(2x+y-2)=0,故2x-y=0或2x+y-2=0,即方程表示的图形是直线2x-y=0和直线2x+y-2=0. 题型(二)　求曲线的方程 方法1　直接法求曲线方程 [例2]　一个动点P到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍,求动点P的轨迹方程. 解:设动点P的坐标为(x,y), 则动点P到直线x=8的距离d=|x-8|, 到点A的距离|PA|=, 由已知d=2|PA|得|x-8|=2, 化简得3x2+4y2=48. 故动点P的轨迹方程为3x2+4y2=48. 　　|思|维|建|模| 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键:①建立恰当的平面直角坐标系; ②找出所求动点满足的几何条件. (2)方法:求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤,在实际求解时可简化为三大步骤:建系、设点;根据动点满足的几何条件列方程;对所求的方程化简、说明. 方法2　相关点法求曲线方程 [例3]　动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定点B(3,0)连线的中点为P,求P点的轨迹方程. 解:设P(x,y),M(x0,y0),因为P为MB的中点, 所以即 又因为M在曲线x2+y2=1上, 所以(2x-3)2+4y2=1, 所以P点的轨迹方程为+y2=. 　　[变式拓展] 若本例中把条件“M和定点B(3,0)连线的中点为P”变为“=2”,求P点的轨迹方程. 解:设P(x,y),M(x0,y0). 由=2可知(x-x0,y-y0)=2(3-x,-y), 所以即 又因为M在曲线x2+y2=1上,所以(3x-6)2+9y2=1.所以P点的轨迹方程为(x-2)2+y2=. 　　|思|维|建|模| 代入法求点的轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x,y),相关动点M(x0,y0). (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理,得所求轨迹方程. 其步骤可总结为“一设二找三代四整理”. 方法3　定义法求曲线方程 [例4]　已知圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程. 解:如图,设OQ为过O点的一条弦,P(x,y)为其中点,连接CP,则CP⊥OQ.设M为OC的中点,则M的坐标为. ∵∠OPC=90°, ∴|PM|=|OC|=, ∴动点P在以点M为圆心,OC为直径的圆上,故所求轨迹方程为+y2=(0<x≤1). 　　|思|维|建|模| 　　如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征. 　　[针对训练] 3.已知定长为6的线段,其端点A,B分别在x轴、y轴上移动,线段AB的中点为M,求点M的轨迹方程. 解:作出图象如图所示, 根据直角三角形的性质可知 |OM|=|AB|=3. 所以M的轨迹是以原点O为圆心,以3为半径的圆, 故点M的轨迹方程为x2+y2=9. 4.如图,线段AB与CD互相垂直平分于点O,|AB|=2a(a>0),|CD|=2b(b>0),动点P满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|,求动点P的轨迹方程. 解:如图,以O为坐标原点,直线AB,CD分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系, 则A(-a,0),B(a,0),C(0,-b),D(0,b), 设P的坐标为(x,y),由题意知, |PA|·|PB|=|PC|·|PD|, 即· = ·, 化简,得x2-y2=, 故动点P的轨迹方程为x2-y2=. [课时检测] 1.方程x2+2y2+2x-2y+=0表示的曲线是 (　　) A.一个点 B.一条直线 C.一个圆 D.两条线段 解析:选A　方程可化为(x+1)2+2=0,所以即它表示点.故选A. 2.[多选]下列结论正确的是 (　　) A.方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线 B.到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 C.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点 D.曲线2x2-3y2-2x+m=0通过原点的充要条件是m=0 答案:CD 3.已知点A(2,0),B(4,2),若|AB|=2|AC|,则C点坐标为 (　　) A.(-1,1) B.(-1,1)或(5,-1) C.(-1,1)或(1,3) D.无数多个 解析:选D　设C(x,y),由|AB|=2|AC|, 得(2-4)2+(0-2)2=4(2-x)2+4y2, 即(x-2)2+y2=2,∴存在无数多个C点. 4.已知A(-1,2),B(0,4),点C在x轴上,且|AC|=|BC|,则点C的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为点C在x轴上,设点C(a,0),则|AC|=|BC|,所以=,化简可得a=,所以C. 5.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,点P是动点,且直线AP与BP的斜率之积为-,则点P的轨迹方程为 (　　) A.3x2+y2=4(x≠±1) B.3x2+y2=1(x≠±1) C.x2+3y2=4(x≠±1) D.x2+3y2=1(x≠±1) 解析:选C　∵点B与点A(-1,1)关于原点O对称,∴B(1,-1),设P(x,y),∵kAP=,kBP=(x≠±1),且kAP·kBP=-,∴kAP·kBP=×==-(x≠±1),∴x2+3y2=4(x≠±1),∴P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).故选C. 6.笛卡尔、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是 (　　) A.②③ B.①④ C.③ D.③④ 解析:选C　以-x代x,得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,不关于y轴对称;以-x代x,-y代y,得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,不关于原点对称;当x<0,y<0时,(x-1)·(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)符合题意,同理可得(1,0)(2,0)(3,0)符合题意,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的. 7.(5分)点A(1,-2)在曲线x2-2xy+ay+5=0上,则a=　　　　.  解析:由题意可知点(1,-2)是方程x2-2xy+ay+5=0的一组解,即1+4-2a+5=0,解得a=5. 答案:5 8.(5分)已知定点A(0,1),直线l1:y=-1,记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C,则动点C的轨迹方程为　　　　.  解析:设动点C(x,y),根据题意可知,点C到点A的距离与到直线l1:y=-1的距离相等,所以=|y+1|,两边平方整理得x2=4y. 答案:x2=4y 9.(10分)已知四边形ABCD是一个长方形,且M是四边形ABCD所在平面上任意一个点,求证:|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2. 证明:因为四边形ABCD是长方形,故以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系. 则A(0,0),不妨设B,D的坐标为B(a,0),D(0,b),则C(a,b).设M(x,y), 故|AM|2+|CM|2=x2+y2+(x-a)2+(y-b)2, |BM|2+|DM|2=(x-a)2+y2+x2+(y-b)2=x2+y2+(x-a)2+(y-b)2, 故|AM|2+|CM|2=|BM|2+|DM|2,即证. 10.(10分)如图,过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程. 解:设点M的坐标为(x,y). ∵M为线段AB的中点, ∴点A的坐标为(2x,0),点B的坐标为(0,2y). ∵ l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4), ∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1. 而kPA=(x≠1),kPB=, ∴·=-1(x≠1), 整理,得x+2y-5=0(x≠1). ∵当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4), ∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0. 综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0. 11.(10分)已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|. (1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程;(3分) (2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.(7分) 解:(1)设点P的坐标为(x,y),则=2 .化简可得(x-5)2+y2=16,故此曲线的方程为(x-5)2+y2=16. (2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图所示. 由题知直线l2与圆C相切,连接CQ,CM, 则|QM|= =, 当CQ⊥l1时,|CQ|取得最小值,|QM|取得最小值,此时|CQ|==4, 故|QM|的最小值为=4. 12.(10分)在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质: ①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆; ②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆. 已知曲线W:x2+y4=4,A(0,t),B(2,0),C(0,),D(-2,0)为曲线W上不同的四点. (1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程;(3分) (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程;(3分) (3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.(4分) 解:(1)因为点A(0,t)在曲线W:x2+y4=4上, 所以t4=4,解得t=-或t=(舍去), 所以A(0,-),B(2,0),C(0,), 设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得 所以圆的方程为x2+y2-x-2=0. 因为△ABC是锐角三角形,所以△ABC的最小覆盖圆的方程是x2+y2-x-2=0. (2)因为BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆,所以BD的最小覆盖圆的方程为x2+y2=4, 又因为OA=OC=<2,所以点A,C在圆内, 所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程是x2+y2=4. (3)因为曲线W:x2+y4=4是中心对称图形, 设P(a,b),则OP2=a2+b2=-b4+b2+4=+(-≤b≤), 当b2=时,OPmin=,所以曲线W的最小覆盖圆的方程是x2+y2=. 学科网（北京）股份有限公司 $$