3.3.1 抛物线的标准方程(Word教参)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.明确抛物线方程中参数p的几何意义. 2.会求抛物线的标准方程,并能应用它解决有关问题. 1.抛物线的定义 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线 焦点 点F叫作抛物线的焦点 准线 直线l叫作抛物线的准线 |微|点|助|解| 　　对抛物线定义的理解 (1)抛物线的定义可归结为“一动三定”:“一动”即一个动点,设为M;“三定”即一个定点F、一条定直线l、一个定值(即动点M与定点F和定直线l的距离的比值为常数1). (2)定义中的隐含条件:定点F不在准线l上,这是动点轨迹为抛物线的必要条件,否则,若定点F在定直线l上,则动点轨迹为过定点F且和定直线l垂直的一条直线. 2.抛物线的标准方程(p>0) 图象 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px (p>0) x=- y2=-2px (p>0) x= x2=2py (p>0) y=- x2=-2py (p>0) y= |微|点|助|解| (1)只有抛物线与轴的交点为坐标原点,焦点在坐标轴上时,抛物线才具有标准形式.抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程只要确定其一,其余两者也就确定了. (2)标准方程的特征:等号的左边是某个变量的平方且系数为1,等号的右边是另一个变量的一次单项式. (3)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=±2py(p>0)通常又可以写成y=ax2(a≠0),这与以前所学习的二次函数的解析式一致,但需要注意由方程y=ax2(a≠0)求焦点坐标和准线方程时,必须先将抛物线的方程化为标准形式. 　　基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x=-2的距离相等,则点P的轨迹是抛物线. (　　) (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x+y-1=0的距离相等,则点P的轨迹是抛物线. (　　) (3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1,则点P的轨迹是抛物线. (　　) (4)抛物线准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.抛物线y=x2的焦点坐标为 (　　) A.(0,4) B. C.(4,0) D. 解析:选A　抛物线y=x2的标准形式为x2=16y,其焦点在y轴上,坐标为(0,4). 3.准线方程为y=2的抛物线的标准方程是 (　　) A.y2=-4x B.y2=8x C.x2=4y D.x2=-8y 解析:选D　由抛物线的准线方程为y=2,可知抛物线的焦点在y轴负半轴上,设其方程为x2=-2py(p>0),则其准线方程为y==2,得p=4.∴该抛物线的标准方程是x2=-8y. 题型(一)　求抛物线的标准方程 [例1]　求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)顶点在原点,准线方程为y=4; (2)顶点在原点,且过点(-3,2); (3)顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上; (4)焦点在x轴上,且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距离为5. 解:(1)由题意顶点在原点,准线方程为y=4, 可知抛物线焦点在y轴负半轴上,且=4,∴p=8, 故抛物线标准方程为x2=-16y. (2)由题意顶点在原点,且过点(-3,2),则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴上,则设抛物线标准方程为x2=2py(p>0)或y2=-2p'x(p'>0), 分别将(-3,2)代入,解得p=,p'=, 故抛物线标准方程为x2=y或y2=-x. (3)由于直线3x-4y-12=0与x轴的交点为(4,0),由题意可知抛物线焦点为(4,0),则=4,∴p=8,故抛物线标准方程为y2=16x. (4)由题意抛物线焦点在x轴上,且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距离为5,则设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),焦点为,准线方程为x=-, 故3-=5, ∴p=4,故抛物线标准方程为y2=8x. 　　|思|维|建|模| 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 [提醒]　当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数. 　　[针对训练] 1.求适合下列条件的抛物线的标准方程. (1)过点M(-6,6); (2)焦点F在直线l:3x-2y-6=0上. 解:(1)因为点M(-6,6)在第二象限, 所以过点M的抛物线开口向左或向上. 若抛物线开口向左,焦点在x轴上, 设其方程为y2=-2px(p>0), 将点M(-6,6)的坐标代入,可得36=-2p×(-6),所以p=3, 所以抛物线的标准方程为y2=-6x. 若抛物线开口向上,焦点在y轴上, 设其方程为x2=2p'y(p'>0), 将点M(-6,6)的坐标代入,可得36=2p'×6, 所以p'=3,所以抛物线的标准方程为x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y. (2)①当焦点F在x轴上时, 因为直线l与x轴的交点坐标为(2,0), 所以抛物线的焦点是F(2,0), 所以=2,所以p=4, 所以抛物线的标准方程是y2=8x. ②当焦点F在y轴上时, 因为直线l与y轴的交点坐标为(0,-3), 所以抛物线的焦点是F'(0,-3), 所以=3,所以p'=6, 所以抛物线的标准方程是x2=-12y. 综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y. 题型(二)　抛物线的定义及应用 题点1　利用定义求值 [例2]　(1)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:选A　由题意,知抛物线的准线方程为x=-.因为|AF|=x0,根据抛物线的定义,得x0+=|AF|=x0,所以x0=1,故选A. (2)抛物线x2=4y上的点P到焦点的距离是10,则P点的坐标为　　　　.  解析:设点P(x0,y0),由抛物线方程x2=4y,知焦点坐标为F(0,1),准线方程为y=-1. 由抛物线的定义,得|PF|=y0+1=10,所以y0=9,代入抛物线方程得x0=±6. ∴P点坐标为(±6,9). 答案:(6,9)或(-6,9) 　　|思|维|建|模| 　　根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化,从而简化某些问题. 题点2　与抛物线有关的轨迹问题 [例3]　已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1 外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (　　) A.x2=-12y 　　B.x2=12y C.y2=12x 　　D.y2=-12x 解析:选A　设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,所以=3,2p=12,其方程为x2=-12y. 　　|思|维|建|模| 解决有关抛物线的轨迹问题的方法 　　求解有关抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于动点到定直线的距离这个条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件. 题点3　与抛物线有关的最值问题 [例4]　已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值. 解: 由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知,当点P,点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线,即P在P'位置时所求距离之和最小,所以距离之和的最小值为d==. 　　[变式拓展] 若将本例中的“点(0,2)”改为“点A(3,2)”,求|PA|+|PF|(F为抛物线的焦点)的最小值. 解:将x=3代入y2=2x,得y=±.所以点A在抛物线内部.设点P到准线(设为l)x=-的距离为d,则|PA|+|PF|=|PA|+d. 由图可知,当PA⊥l,即P在P'位置时,|PA|+d最小,最小值是.即|PA|+|PF|的最小值是. 　　|思|维|建|模| 最值问题的处理方法 　　解决与抛物线上的点到定点、定直线的距离有关的最值问题时,常利用抛物线定义,将抛物线上的点到抛物线的焦点的距离和到准线的距离相互转化.即化折线为直线解决问题. 　　[针对训练] 2.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,若点A(,2)在C上,则|AF|= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　法一　因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,解得p=,所以抛物线的准线方程为y=-.由抛物线的定义,|AF|等于A到准线的距离,即2+=. 法二　因为点A(,2)在C上,所以()2=2p·2,解得p=,所以F,所以|AF|2=()2+=2+=,所以|AF|=,故选C. 3.已知动点P(x,y)满足5=|3x+4y-7|,则动点P的轨迹是 (　　) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:选D　因为5=|3x+4y-7|,得=,即动点P(x,y)到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-7=0的距离相等,且点(2,1)不在直线3x+4y-7=0上,则由抛物线定义知,动点P(x,y)的轨迹为抛物线. 4.已知点P是抛物线C:x2=12y上的一点,过点P作直线y=-1的垂线,垂足为M,若G(4,0),则|PG|+|PM|的最小值为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:选A　由抛物线C:x2=12y可知其焦点为(0,3),准线方程为y=-3,记抛物线C的焦点为F(0,3),所以|PG|+|PM|=|PG|+|PF|-2≥|FG|-2= -2=3,当且仅当点P在线段FG上时等号成立,所以|PG|+|PM|的最小值为3. [课时检测] 1.抛物线y=-x2的准线方程是 (　　) A.x= B.x= C.y=2 D.y=4 解析:选C　将y=-x2化为标准方程x2=-8y,由此可知准线方程为y=2. 2.已知抛物线y=2px2过点(1,4),则该抛物线的焦点坐标为 (　　) A.(1,0) B. C. D.(0,1) 解析:选C　由抛物线y=2px2过点(1,4),可得p=2,∴抛物线的标准方程为x2=y,则焦点坐标为. 3.顶点在原点,且过点(-2,2)的抛物线的标准方程是 (　　) A.y2=-2x B.x2=2y C.y2=2x或x2=-2y D.y2=-2x或x2=2y 解析:选D　点(-2,2)在第二象限.当焦点在y轴上时,可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),把(-2,2)代入解得p=1,所以抛物线的标准方程为x2=2y.当焦点在x轴上时,可设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),把(-2,2)代入解得p=1,所以抛物线的标准方程为y2=-2x. 4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-1的距离为3,则|MF|= (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选A　如图所示,根据题意可得抛物线的准线方程为x=-2,若M到直线x=-1的距离为|MM2|=3,则M到抛物线的准线x=-2的距离为|MM1|=4,利用抛物线定义可知|MF|=|MM1|=4. 5.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是 (　　) A.5 B. C.-1 D.+1 解析:选C　点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离.圆心坐标是(0,4),圆心到抛物线焦点的距离为,即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是-1,这个值即为所求. 6.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为M,点P在抛物线上,且|PM|=|PF|,则△PMF的面积为 (　　) A.4 B.8 C.16 D.32 解析:选B　如图所示,易得F(2,0),过点P作PN⊥l,垂足为N.∵|PM|=|PF|,|PF|=|PN|,∴|PM|=|PN|.∴|MN|=|PN|.设P,则|t|=+2,解得t=±4,∴△PMF的面积为·|t|·|MF|=×4×4=8. 7.设点M为抛物线y2=4x上的动点,点M在y轴上的投影为点N,点A(2,),则|MA|+|MN|的最小值为 (　　) A.3 B.4 C. D.-1 解析:选A　由抛物线方程y2=4x,可得其准线方程为x=-1,焦点坐标为F(1,0),过点M作y轴的垂线,垂足为N,延长MN交抛物线的准线于点B,则|MA|+|MN|=|AM|+|MB|-1=|AM|+|MF|-1≥|AF|-1=-1=3,当且仅当A,M,F三点共线时,取等号,所以|MA|+|MN|的最小值为3. 8.(5分)已知点F(1,0),直线l:x=-1,若动点P到点F和到直线l的距离相等,则点P的轨迹方程是　　　　.  解析:根据抛物线定义可知,点P在以F(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线上,所以=1,p=2,抛物线方程为y2=4x. 答案:y2=4x 9.(5分)已知F是抛物线y2=4x的焦点,M,N是该抛物线上两点,|MF|+|NF|=10,则MN的中点到准线的距离为　　　　.  解析:∵F是抛物线y2=4x的焦点,∴F(1,0),准线方程为x=-1,设M(x1,y1),N(x2,y2),∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=10,解得x1+x2=8,∴线段MN中点的横坐标为4,∴线段MN的中点到准线的距离为4+1=5. 答案:5 10.(5分)已知抛物线x2=4y的焦点为F,点P在抛物线上,且|PF|=5,请写出满足题意的直线PF的一个方程:　　　　　　.  解析:由题意知焦点为F(0,1).设P(x0,y0),则|PF|=y0+1=5,y0=4,=4×4,x0=±4.若P(4,4),则kPF==,直线PF的方程为y=x+1,即3x-4y+4=0.若P(-4,4),则kPF==-,直线PF的方程为y=-x+1,即3x+4y-4=0. 答案:3x-4y+4=0(或3x+4y-4=0) 11.(5分)如图,抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴上,准线l与圆x2+y2=1相切. (1)抛物线C的标准方程为　　　　; (2)若点A,B都在抛物线C上,且=2,则点A的坐标为　　　　　　　.  解析:(1)依题意,可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),其准线l的方程为y=-, 因为准线l与圆x2+y2=1相切,所以圆心(0,0)到准线l的距离d=0-=1, 解得p=2.故抛物线C的标准方程为x2=4y. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2).则由题意得F(0,1),所以=(x2,y2-1),=(x1,y1). 因为=2,所以(x2,y2-1)=2(x1,y1)=(2x1,2y1),即 代入②得4=8y1+4,即=2y1+1,又=4y1,所以4y1=2y1+1,解得y1=,x1=±, 即点A的坐标为或. 答案:(1)x2=4y　(2)或 12.(5分)设抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在坐标轴上,点P在抛物线C上,|PF|=,若以线段PF为直径的圆过坐标轴上距离原点为1的点,试写出一个满足题意的抛物线C的方程为　　　　　　　　　　.  解析:由题意,若抛物线的焦点F在y轴正半轴上,则可设抛物线方程为x2=2py(p>0),P(x0,y0),F,由焦半径公式可知y0+=,圆的半径为,得y0=.并且线段PF中点的纵坐标是=.所以以线段PF为直径的圆与x轴相切,切点坐标为(-1,0)或(1,0).所以x0=±2,即点P的坐标为.代入抛物线方程x2=2py(p>0)得4=2p·,解得p=1或p=4.即当点F在y轴正半轴上时,抛物线方程是x2=2y或x2=8y.同理,当点F在y轴负半轴时,抛物线方程为x2=-2y或x2=-8y,当点F在x轴正半轴时,抛物线方程为y2=2x或y2=8x,当点F在x轴负半轴时,抛物线方程为y2=-2x或y2=-8x. 答案:x2=2y(答案不唯一) 13.(10分)分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)准线方程为2y+4=0;(5分) (2)焦点在直线x+3y+15=0上.(5分) 解:(1)准线方程为2y+4=0,即y=-2,故抛物线的焦点在y轴的正半轴上,设其方程为x2=2py(p>0).∵=2,∴2p=8,故所求抛物线的标准方程为x2=8y. (2)令x=0得y=-5;令y=0得x=-15. ∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0), ∴所求抛物线的标准方程为x2=-20y或y2=-60x. 14.(10分)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程. 解:由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大,所以动点M到F的距离与它到直线l:x=-的距离相等. 由抛物线的定义知,动点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线(不包含原点),其方程应为y2=2px(p>0)的形式,而=,所以p=1,2p=2,故点M的轨迹方程为y2=2x(x≠0). 15.(10分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(-1,1),过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且A,B两点的横坐标之和为. (1)求|AB|;(3分) (2)若P是抛物线上的一个动点,设C(3,2),求|PC|+|PF|的最小值.(7分) 解:因为抛物线y2=2px(p>0)的准线过点(-1,1), 所以=1,即p=2,所以抛物线的方程为y2=4x. (1)根据抛物线的定义可知,|AF|=xA+,|BF|=xB+,所以|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p=+2=. (2)过点P向准线作垂线,垂足为D,过点C向准线作垂线,垂足为E,如图. 根据抛物线的定义可知,|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PD|,所以|PC|+|PF|=|PC|+|PD|. 由图可知,|PC|+|PD|的最小值为点C到抛物线准线的距离. 又|CE|=3+1=4,所以|PC|+|PF|的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$