第3章 3.3.1 抛物线的标准方程（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，通过基础巩固与能力提升双层次设计，实现从抛物线定义及标准方程的单一应用到综合问题解决的进阶，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|抛物线定义、标准方程及简单应用|以选择、填空为主，如定义法求轨迹方程（题1）、焦点弦长计算（题4），夯实概念理解| |能力提升练|定义与几何性质综合、实际问题建模|含综合解答题，如抛物线与三角形面积结合（题4）、隧道截面建模（题7），发展逻辑推理与模型意识|

3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 基础过关练 题组一　抛物线的定义及其应用 1.(2024河南南阳期中)已知动圆M经过点A(2,0),且与直线x=-2相切,则此动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.y2=8x　　　　　B.y2=4x C.y2=-8x　　　　　D.y2=-4x 2.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.4　　　　　D.8 3.(2025重庆万州月考)设O为坐标原点,F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,若|PF|=6,则△POF的面积为(　　) A.2　　　 　　B.4 C.4　　　　　D.4 4.(2025江苏常州高级中学期中)已知抛物线C:y2=16x的焦点为F,点Q(4,3),P为抛物线C上一动点,则|PF|+|PQ|的最小值为(　　) A.8　　 　　　B.9 C.10　　　　　D.11 题组二　抛物线的标准方程及其应用 5.(2025甘肃武威一中期中)已知点A(3,1)到抛物线y2=2px(p<3)的焦点F的距离为,则该抛物线的准线方程为(　　) A.x=-2　　　　　B.x=- C.x=-1　　　　　D.x=1 6.(2025河南南阳期中)已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,4)在C上,且|MF|=2|OF|,则C的方程为(　　) A.y2=4x　　　　　B.y2=8x C.y2=2x　　　　　D.y2=x 7.(多选题)焦点在坐标轴上,且过点P(-3,4)的拋物线的标准方程是　　(　　) A.y2=-x　　　　　B.y2=-x C.x2=y　　 　　　D.x2=-y 8.设抛物线C:y2=2px(p>0)的准线被圆E:x2+y2-8y=0所截得的弦的长度为4,则抛物线C的方程为(　　) A.y2=12x　　　　　B.y2=8x C.y2=4x　　　 　　D.y2=x 9.抛物线x2=ay(a>0)的焦点到准线的距离为,则a的值为　　　　.  10.(2025甘肃天水期中)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三个不同的点,若++=0,则||+||+||=　　　　.   11.若点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,求d1+d2的最小值. 能力提升练 题组一　抛物线的定义及其应用 1.(2025河南焦作期中)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过抛物线上的点P作准线的垂线,垂足为Q,若∠PFQ=30°,且|QF|=,则p=(　　) A.2　　　　　B.　　　　　C.1　　　　　D. 2.(2024重庆巴蜀中学期中)已知Q为抛物线C:y2=4x上的动点,动点M到点A(2,0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离的比值为,则|QM|+|QF|的最小值是(　　) A.3-　　　　　B.4-　　　　　C.4+　　　　　D.4 3.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线,垂足为N,则的最大值为(　　) A.2　　　　　B.　　　　　C.1　　　　　D. 4.已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,线段FA交抛物线于点B,过点B作l的垂线,垂足为M.若AM⊥MF,求三角形AFM的面积. 题组二　抛物线的标准方程及其应用 5.(2024河北衡水二中调研)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点T在C上,且|FT|=,若点M的坐标为(0,1),且MF⊥MT,则C的方程为(　　) A.y2=2x或y2=8x　　　　　B.y2=x或y2=8x C.y2=2x或y2=4x　　　　　D.y2=x或y2=4x 6.(2024河南南阳一中期中)已知P为抛物线C:y2=4x上的动点,抛物线C的焦点为F,点A(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为　　　　;若点B(4,5),则|PB|+|PF|的最小值为　　　　.   7.(2024江苏宿迁沭阳期中)一隧道内设有双行线公路,其截面近似由一长方形和一抛物线构成,如图所示.若车道的总宽度为8米,即|AB|=8米,为保证安全,要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5米. (1)计算车辆通过隧道时的限制高度; (2)现有一辆载重汽车宽3.5米,高4.2米,试判断该车能否安全通过隧道. 答案与分层梯度式解析 第3章　圆锥曲线与方程 3.3　抛物线 3.3.1　抛物线的标准方程 基础过关练 1.A　设M(x,y).因为动圆M经过点A(2,0),且与直线x=-2相切,所以点M到点A(2,0)的距离与其到直线x=-2的距离相等,由抛物线的定义知圆心M的轨迹为抛物线,且焦点为(2,0),准线方程为x=-2,所以所求轨迹方程为y2=8x. 2.A　由抛物线C:y2=x可得p=, ∴|AF|=x0=x0+=x0+,解得x0=1. 3.B　由题意知抛物线C的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2.设P(x0,y0),则|PF|=y0+2=6,解得y0=4,代入抛物线方程得x0=±4,故S△POF=|OF||x0|=×2×4=4. 4.A　抛物线C:y2=16x的焦点为F(4,0),准线方程为x=-4,过点P向准线作垂线,垂足为A,过点Q向准线作垂线,垂足为B, ∵P点在抛物线上, ∴根据抛物线的定义得|PF|=|PA|, ∴|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|≥|BQ|=8, 当且仅当B,P,Q三点共线时取等号, ∴|PF|+|PQ|的最小值为8. 5.C　易知抛物线y2=2px(p<3)的焦点F的坐标为,则|AF|==,又p<3,所以p=2, 故该抛物线的准线方程为x=-=-1. 6.B　由抛物线的定义,可知|MF|=x0+,又2|OF|=p,|MF|=2|OF|,所以x0+=p,即x0=, 由点M(x0,4)在C上,得16=2px0,即16=2p×,又p>0,所以p=4.所以C的方程为y2=8x. 7.AC　∵点P(-3,4)位于第二象限,∴拋物线的焦点在x轴的负半轴上或在y轴的正半轴上. 当拋物线的焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0), ∵点P(-3,4)在抛物线上, ∴42=-2p×(-3),解得p=,∴抛物线的标准方程是y2=-x; 当拋物线的焦点在y轴的正半轴上时,设抛物线的标准方程为x2=2p'y(p'>0), ∵点P(-3,4)在抛物线上,∴(-3)2=2p'×4,解得p'=,∴抛物线的标准方程是x2=y. 综上,抛物线的标准方程是y2=-x或x2=y. 8.B　易得抛物线C的准线方程为x=-,圆E的圆心为E(0,4),半径r=4,则42=+,所以p=4,所以抛物线C的标准方程为y2=8x. 9.答案　5 解析　抛物线x2=ay(a>0)的焦点坐标为,准线方程为y=-,则+=,解得a=5. 10.答案　6 解析　易知F(1,0),因为++=0,所以点F为△ABC的重心,设A,B,C三点的横坐标分别为xA,xB,xC,xA≥0,xB≥0,xC≥0,则=1,故||+||+||=xA+1+xB+1+xC+1=6. 11.解析　设抛物线y2=4x的焦点为F,则F(1,0), 由题意得d1=|PF|, 则d1+d2的最小值即为F到直线x+2y-12=0的距离, 则==. 能力提升练 1.A　设M为准线与x轴的交点, 因为∠PFQ=30°,且|PF|=|PQ|, 所以∠PQF=30°. 因为FM∥PQ,所以∠QFM=∠PQF=30°,在Rt△QFM中,|QF|===p,所以p=,解得p=2. 2.B　由题意得F(1,0). 过点Q作QS垂直于准线于点S,则|QF|=|QS|, 设M(x,y),则=,整理得(x-3)2+y2=2,所以点M的轨迹是以点(3,0)(记为B)为圆心,为半径的圆. 所以|QM|+|QF|≥|QB|-+|QS|, 所以当S,Q,M,B四点共线时,|QM|+|QF|最小, 此时S,Q,M均在x轴上,所以(|QM|+|QF|)min=1+3-=4-. 3.D　设|AF|=a,|BF|=b,分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为Q,P, 由抛物线的定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|. 在梯形ABPQ中,|MN|==. 由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab≥(a+b)2-(a+b)2=(a+b)2,当且仅当a=b时等号成立,所以|AB|≥(a+b),所以≤=,即的最大值为. 4.解析　如图所示. 由抛物线的定义可知|BF|=|BM|,F, 又∵AM⊥MF,∴B为线段AF的中点,∴B, 把代入抛物线方程,得1=2p×,解得p=(负值舍去),∴B, ∴S△AFM=2S△BFM=2××1×=. 5.A　设T(x0,y0),则=(x0,y0-1),因为F,所以=.因为MF⊥MT,所以·=0,即x0-y0+1=0,与=2px0联立,消去x0并整理可得-4y0+4=0,所以y0=2,故T,又因为|FT|=x0+=,所以-=,即p2-5p+4=0,解得p=1或p=4,所以C的方程为y2=2x或y2=8x. 6.答案　4; 解析　抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,过点P作准线的垂线,垂足为点E,如图, 由抛物线的定义得|PF|=|PE|,故|PA|+|PF|=|PA|+|PE|, 易知当点A,P,E三点共线,即AP所在直线与直线x=-1垂直时,|PA|+|PF|取得最小值,且最小值为3+1=4. 易知|PB|+|PF|≥|BF|,由两点间的距离公式可得|BF|=,所以当P是线段BF与抛物线的交点时,|PB|+|PF|取得最小值,为. 7.解析　(1)建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0), 根据题意,可知此抛物线经过点(-5,-5),将(-5,-5)代入抛物线方程,解得p=,所以抛物线的方程为x2=-5y. 将x=-4代入x2=-5y,得y=-,又7--0.5=3.3(米),所以车辆通过隧道时的限制高度为3.3米. (2)对于抛物线方程x2=-5y, 令x=3.5,得y=-, 因为7--0.5=4.05米<4.2米, 所以该车不能安全通过隧道. 7 学科网（北京）股份有限公司 $