3.3.1抛物线的标准方程 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

课题名称：数学选择性必修第1册 第3章3.3.1抛物线的标准方程 教学方法： “一体二化三导四学”教学模式和自主学习模式. （一体二化三导四学：以学生为主体，教学内容问题化，教学活动探究化，引导，指导，督导，自主学习，探究学习，合作学习，体验学习） 教学目标： 1.掌握抛物线的定义、四种标准方程及图象、焦点坐标、准线方程. 2.经历自主探究、讨论，掌握抛物线标准方程的推导过程，掌握坐标法解决实际问题的一般方法. 3.了解抛物线与二次函数图形的异同，体会数学是有趣的、有用的. 教学重点、难点： 教学重点：1.理解抛物线的定义及焦点、准线的意义；掌握抛物线的四种标准方程和p的几何意义. 2.会用定义法、待定系数法求抛物线的标准方程. 教学难点：1.在推导抛物线标准方程的过程中，如何选择适当的坐标系. 2.统一对抛物线概念的认识，做好初高中知识的衔接. 教学过程 【教学过程与设计】 整个教学过程是由问题链驱动的，共分为七个环节： 创设情境启迪思维 实验操作直观猜想 深入探究理论验证 类比研究获得新知 例题讲解提炼方法课堂实练巩固提高小结反思拓展引申 【教学程序与设计意图】 （一）创设情境——启迪思维 我们知道，数学中二次函数的图象是一条抛物线.生活中在重力作用下的平抛或斜抛物体(比如运动场上投出的篮球、水池里喷出的水柱)其运动的轨迹都是抛物线的一部分.还有一些天体运动的轨迹、拱桥的形状等都是抛物线.怎样通过几何性质来刻画抛物线呢? 【设计意图】抛物线对于学生并不陌生，初中学习二次函数就知道二次函数的图象是抛物线，而现实生活中推出的铅球、投出的篮球、水池里喷出的水柱，其运动轨迹都是抛物线的一部分.通过教师补充与学生生活联系紧密的例子，增强其学习兴趣.让学生体会到数学来源于生活,同时统一对抛物线的认识，做好初高中知识的衔接.接下来引导学生动手做教材设计的实验，让学生感受抛物线的几何构造，并由此引出定义. 在引出抛物线的定义之后，还可借助画板工具构造抛物线的轨迹，让学生能够进一步体会抛物线的定义中的几何条件，加深学生对定义的理解. （二）实验操作——直观猜想 问题一：任给一个定点 F 和一条直线l.你能设计适当的方法或装置，画出到F和l距离相等的点的轨迹并观察轨迹的形状吗？ [实验探究]我们将一直尺固定在直线l上，取一个直角三角板，以它的一条直角边靠紧直尺的一边 l,在另一条直角边上取定点A，设三角板的直角顶点为C.再取一条长度正好等于AC的细线,将这条细线的一端固定在三角板上的点A处,另一端用大头针固定在点F处.用铅笔将细线绷紧,使铅笔尖贴在三角板的边AC之上,让三角板沿着直尺滑动,则铅笔尖所在的点P就画出所要作的轨迹的一段. 问题二：观察画出的轨迹的形状是什么呢？ 同学们是不是发现它与二次函数的图象抛物线很相似？ 【设计意图】引导学生动手做教材设计的实验，让学生感受抛物线的几何构造，并由此引出定义.在引出抛物线的定义之后，还可借助画板工具构造抛物线的轨迹，让学生能够进一步体会抛物线的定义中的几何条件，加深学生对定义的理解. （三）深入探究——理论验证 为了验证这个猜想,我们先设法求出轨迹的方程. 已知定点F与一条定直线l （F ∉ l）.动点P到F与到l的距离相等.建立适当的平面直角坐标系,求动点P(x,y)的轨迹方程. 问题三：如何确定坐标轴？如何确定坐标原点？ 如图,过点F作直线l的垂线,交l于点D.设∣FD∣=p.取FD的中点O为原点,以的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系. 点P(x,y)到点F(,0)的距离d1= 点P(x,y)到直线l的距离d2=∣∣. 由d1 =d2，得=∣∣， 两边平方得x2-px++y2= x2+px+, 化简得y2= 2px. 因此所求轨迹的方程y2= 2px.它的图象是将开口向上的抛物线绕顶点沿顺时针方向旋转得到的. 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（ F ∉ l）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. 从上述过程可以看到,对于任意p>0,焦点为F (,0),准线方程为的抛物线方程为y2= 2px,这称为抛物线的标准方程. 问题四：你能总结出抛物线y2= 2px（p>0）的特点吗？ 我们关注到 (1) p的几何意义：p表示焦点到准线的距离. (2) 抛物线上任意一点P的几何特征：P到F与到l的距离相等，即∣PF∣=d. (3) 抛物线开口：向右. (4) 焦点坐标为F (,0). (5)准线方程为. 【设计意图】本环节通过引导学生一步步探究这种几何中的“形”与代数中的“数”的关系是怎样建立起来的，经历抛物线标准方程的推导过程，体会坐标法解决实际问题的一般方法. 在建立坐标系的教学过程中，教师可以先提出问题：如何确定坐标轴？如何确定坐标原点？原则上，我们应该合理建立坐标系，使得方程的推导过程简化、方程的形式最简单. （四）类比研究——获得新知 如果按其他方式建立直角坐标系，可以得出抛物线其他形式的方程，如果建立的坐标系满足条件：原点是焦点到准线的垂线段的中点，一条坐标轴垂直于准线，所得的抛物线方程就称为标准方程. 问题五：如果建系时，使焦点F分别在x轴负半轴上、y轴正半轴上、y轴负半轴上，即F坐标分别为，（0，），（0，），猜想所得抛物线方程分别是什么？请同学们探究以下四种情况抛物线的标准方程并完成下表. 图象 F 标准方程 焦点坐标 准线方程 【设计意图】与求椭圆、双曲线的方程类似，如果所选取的坐标系不同，抛物线在坐标平面内的位置不同，同一条抛物线还有常见的其他三种情形.可以让学生类比学习，自主探究. （五）例题讲解——提炼方法 例1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1) y2=4x; (2) y=ax2，其中a>0. 解(1)方程具有标准形式y2=2px，其中2p=4，从而p=2，=1. 抛物线的焦点在x轴的正半轴上，故焦点坐标为(1，0)，准线方程为x=-1. (2)方程可化为x2=y，具有标准形式x2=2py，其中2p=，从而p==. 抛物线的焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为(0，)，准线方程为y=. 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点为F(0，-4); (2)准线方程为x= 解(1)因为焦点在y轴的负半轴上，并且=-4, 即 p=8. 因此，所求抛物线的标准方程为x2=-16y. (2)由准线方程为x=知，焦点在x轴的负半轴上，并且=. 即 p=1 因此，所求抛物线的标准方程为y2=-2x. 【设计意图】例1 由标准方程写出焦点坐标和准线方程。通过本例，让学生熟悉抛物线的开口方向和p的值。（1）中2p=4，即可得所求的问题；（2）应先化为标准形式，再来确定p. 这里可以分析抛物线的标准方程与二次函数的解析式y=ax2的区别与联系，初中是从函数角度来研究抛物线，关心的是函数的形式和系数；高中是从几何角度（焦点和准线）来研究抛物线及其方程. 例2与例1相反，由焦点坐标或准线方程来确定抛物线的标准方程.由解答过程可知p的值非常关键. （六）课堂实练——巩固提高 变式训练1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图. (1)y2=16x; (2)y=16x2; (3)y2=-; (4)y= - 变式训练2.求适合下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点为F(-2，0); (2)准线方程为y=-4; (3)焦点到准线的距离为6. 拓展训练1.抛物线y2=x上一点M到焦点的距离为1，求点M的横坐标. 说明：抛物线焦半径公式的理解与应用. 答案：点M的横坐标为. 拓展训练2. 已知P为抛物线y=上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是，则|PA|+|PM|的最小值是（ ） A . 8 B . C .10 D . 答案：设F是抛物线的焦点，则|PA|+|PM|的最小值为,选B. 【设计意图】 通过变式训练巩固求抛物线的标准方程, 通过拓展训练强化抛物线的定义. （七）小结反思——拓展引申 1．课堂小结 确定抛物线的标准方程，从形式上着，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论。有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论,如焦点在至轴上的抛物线标准方程可设为y2=2mx(m≠0),焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2=2my(m≠0). 2．作业:教材p140；1,2,3,4,5,6 学科网（北京）股份有限公司 $$